17. Числовые Характеристики важнейших св.

Индикаторная случайная величина.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Индикаторная случайная величина имеет вид:

а ее закон распределения:

	0	1
	q	p

где .

Найдем математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

.

.

Окончательно,

, .

Биномиальная СВ. Числовые характеристики (ЧХ) биномиальной СВ.

Биномиальная СВ(БСВ) – ДСВ, представляющая собой число успехов внезависимых испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью появления успеха в одном испытании равным. Обозначается:.

Вероятности: .

Рассчитаем МО и Д БСВ:

.

Геометрическая СВ. ЧХ геометрической СВ.

Геометрическая СВ – ДСВ , представляет собой число испытаний по схеме Бернулли до наступления первого успеха, с вероятностью успеха в каждом испытании равным.

.

Вероятности: .

Рассчитаем МО и Д ГСВ:

.

Пуассоновская СВ. ЧХ пуассоновской СВ.

ДСВ называется Пуассоновской, если множество ее значений, а вероятности значений определяются по формуле:

.

Рассчитаем МО и Д ПСВ:

.

Равномерная СВ. ЧХ равномерно распределенной СВ.

Говорят, что НСВ имеет равномерный закон распределения на отрезке(), если, а- постоянна на отрезке:

.

Выберем из условия нормировки:

.

Рассчитаем МО и Д равномерной СВ:

Показательная(Экспоненциальная) СВ. ЧХ показательно распределенной СВ.

Говорят, что НСВ имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения (), если, аопределяется, как:

.

Рассчитаем МО и Д равномерной СВ:

Нормальная (Гауссовская) СВ. ЧХ нормальной(гауссовской) СВ.

Говорят, что НСВ имеет нормальный (гауссовский) закон распределения с параметрамиии обозначается, если множество ее возможных значений, а плотность вероятностей:

, где.

Случайная величина, имеющая распределение Коши.

Случайная величина , распределенная по закону Коши, имеет плотность вероятностей вида:

.

Найдем математическое ожидание этой случайной величины:

.

В связи с этим проверим выполнения условие существования математического ожидания, а именно абсолютную сходимость интеграла:

.

Поскольку интеграл абсолютно расходится, то у случайной величины, распределенной по закону Коши, математического ожидания не существует. А, следовательно, у данной случайной величины не существует дисперсии и других моментов более высоких порядков.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Определение. Совокупность случайных величин, определенных на одном и том же вероятностном пространстве, значения которых совместно описывают результат некоторого случайного эксперимента, называется-мернымслучайным вектором(многомерной случайной величиной или системой случайных величин) и обозначается. При этом сами случайные величины,называюткоординатами(компонентами, составляющими) случайного вектора.

Как и в одномерном случае, исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного вектора является его функция распределения. Рассмотрим вначале случай двумерного случайного вектора , как наиболее часто встречающийся в практических приложениях, а потом полученные результаты обобщим на случай многомерный.

Двумерный случайный вектор обычно обозначают (без введения индексов).

Определение.Функцией распределения случайного вектораназывается функциядвух действительных переменныхи, определяемая при каждомравенством:

. (3.1)

Функцию распределения случайного вектораназывают также двумерной функцией распределения или совместной функцией распределения случайных величини.

Геометрически функция распределения представляет собой вероятность попадания случайной точкив квадрант с вершиной в точке.

Свойства двумерной функции распределения

2F0).для любых.

2F1). Функция распределенияявляется функцией неубывающей по каждому из своих аргументов.

2F2).;

,.

где и- одномерные функции распределения случайных величинисоответственно.

2F3). Функция распределенияявляется функцией непрерывной слева по каждому из своих аргументов.

2F4). Вероятность попадания случайного векторав прямоугольниксо сторонами, параллельными осям координат, определяется по формуле:

Аналогичными являются определение и свойства многомерной функции распределения.

Определение. Функциядействительных переменных, определяемая для любогоравенством

,

называется функцией распределенияслучайного вектораили многомерной (-мерной) функцией распределения или совместной функцией распределения случайных величин.

Свойства многомерной функции распределения

nF0).для любых.

nF1).является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов.

nF2)., если хотя бы один из аргументов;

по функции распределения случайного вектораможно найти функцию распределения любой совокупностиизего координат, для этого следует у функции распределенияположить аргументыдля(свойство согласованности);

.

nF3).является непрерывной слева функцией по каждому из своих аргументов.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\