45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

–с.в., ,

1. Выборочное среднее

, – копии,– оценка

а) является несмещенной оценкой.

б) является сотоятельной оценкой

I способ.

Поскольку – несмещенная оценка, то,

II способ.

(по ЗБЧ)

в) является эффективной оценкой неизвестногов нормальной модели наблюдений

Воспользуемся неравенством Рао-Крамера:

Поэтому , что означает эффективность оценки.

2. Выборочная дисперсия

а) не является несмещенной оценкой, она является асимптотической несмещенной оценкой

При получаем 0.

Вывод: Т.к. , тоявляется несмещенной оценкой. Ее смещение. Т.к., то– асимптотическая несмещенная оценка дисперсии.

Учитывая, что , то, домноживна, получим несмещенную оценку дисперсии.

, называется исправленной выборочной дисперсией.

б) иявляются состоятельными оценками.

.

В соответствии с ЗБЧ:

, ,

это и означает состоятельность оценки. Т.к. , то иявляется состоятельной оценкой.

в)

и являются асимптотически эффективными оценками в нормальной модели наблюдений:, т.е., если– эффективная оценка дисперсии.

Методы получения точечных оценок

1. Метод моментов, принадлежащий К. Пирсону. Пусть – выборка объема, имеющая функцию распределения;;. Предполагают, что у с.в.существуют единственные начальные моменты до порядкавключительно:. Моменты

Для заданной выборки являются числами. Суть метода состоит в приравнивании теоретических моментов к выборочным. При этом получается система уравнений:

, (1)

Если система уравнений (1) имеет единственное решение, то оно называется оценкой параметра , полученной по методу есть некоторый вектор.

Замечание.

В системе уравнений (1) можно также использовать уравнения, основанные на приравнивании центральных моментов

, (2)

Не обязательно использовать именно первые моментов, получаемые в этом случае оценки будут вообще говоря отличны от оценкикак решение системы уравнений (1), но при большомэто отличие мало. В случае двумерномего оценку по методу моментов обычно ищут как решение системы уравнений

;

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Метод моментов.

Пусть - выборка из генеральной совокупности, имеющей функцию распределения, зависящую от векторного параметра. Предположим, что у наблюдаемой случайной величинысуществуют первыемоментовкоторые являются функциями от:. Метод моментов состоит в нахождении решениясистемы уравнений, получаемой приравниванием теоретических моментов соответствующим выборочным моментам:.

Для нахождения оценки может быть использована также система уравнений, основанных на приравнивании центральных теоретических и выборочных моментов:

.

Использование именно первых rмоментов является необязательным.

В случае двумерного неизвестного параметра его оценка по методу моментовобычно определяется как решение системы уравнений:

Оценки, получаемые по методу моментов являются:

- состоятельными (при весьма общих предположениях);

- несмещенными не всегда;

- вообще говоря, неэффективными.

На практике оценки, получаемые по методу моментов, часто используются как первое приближение, на основе которого находятся более «хорошие» оценки.

Достоинство метода моментов заключается в том, что системы уравнений для нахождения оценок решаются довольно просто. Однако имеет место произвол в выборе уравнений для нахождения оценок и метод вообще неприменим, когда моментов необходимого порядка не существует (пример - закон распределения Коши).

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\