- •1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
- •2. Классическое определение вероятности (ков). Урновая схема. Пример.
- •3. Геометрическое определение вероятности. Пример.
- •4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
- •5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.
- •6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.
- •10. Дискретные св. Закон распределения (зр) дискретной св.
- •11. Важнейшие дискретные св.
- •12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.
- •13. Важнейшие непрерывные св.
- •14. Математическое ожидание дискретных и непрерывных св.
- •15. Основная теорема о мо. Свойства мо.
- •16. Моменты, дисперсия и среднеквадратическое отклонение св. Свойства дисперсии.
- •17. Числовые Характеристики важнейших св.
- •18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
- •19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
- •20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
- •21. Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
- •22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
- •23. Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
- •24. Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
- •Понятие о моментах
- •25. Теоремы о числовых характеристиках.
- •26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
- •27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
- •28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
- •29. Функции от св и их законы распределения.
- •Функции случайных аргументов
- •Функции от случайных величин
- •Функции от случайных векторов
- •30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
- •31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.
- •Неравенство Чебышева
- •Виды сходимости последовательностей с.В. И связи между ними.
- •32. Закон больших чисел (збч) для последовательностей св. Теоремы Маркова и Чебышева.
- •33. Збч для последовательностей независимых одинаково распределенных св. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.
- •34. Характеристическая функция св и ее свойства.
- •Свойства хф.
- •35. Характеристические функции важнейших св. Устойчивость нормального закона распределения.
- •Характеристические функции случайных векторов
- •36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
- •37. Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •38. Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.
- •39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном збч.
- •40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (гс), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
- •Способы представления статистических данных
- •41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •42. Гистограмма и полигон частот.
- •Интервальный статистический ряд.
- •Вероятностный смысл гистограммы
- •43. Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
- •44. Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
- •Точечные оценки неизвестных параметров распределения.
- •45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.
- •46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример.
- •Метод моментов.
- •47. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
- •48. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Доверительные интервалы (ди) для мо нормально распределенной гс (при известной и неизвестной дисперсии).
- •49. Ди для дисперсии нормально распределенной гс (при известном и неизвестном мо).
- •50. Асимптотические ди для мо и дисперсии произвольно распределенной гс.
- •51. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.
- •52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.
- •53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки гипотезы независимости.
10. Дискретные св. Закон распределения (зр) дискретной св.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
СВ заданная на вероятностном пространстве называется дискретной, если множество ее возможных значений является конечным или счетным:
.
Для полной вероятностной характеристики СВ достаточно указать (перечислить) все ее возможные значения и указать вероятности . Поскольку событияобразуют ПГС, то должно выполнятся условие нормировки:.
… |
… | ||||
… |
… |
(она является законом распределения ДСВ).
ФР ДСВ определяется формулой:
.
Иначе, ФР ДСВ, имеющее конечное число значений записывают как:
По скачкам в графике функции распределения можно однозначно установить закон распределения этой ДСВ.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
11. Важнейшие дискретные св.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Вырожденная случайная величина.
Любую константу С можно рассматривать как случайную величину, принимающую одно значение: для любого.
Закон распределения вырожденной случайной величины имеет вид:
С | |
1 |
Выражение для функции распределения вырожденной случайной величины и ее график также имеют вырожденный вид:
С x F(x) 1 0
2. Индикаторная случайная величина.
С любым случайным событием А можно связать случайную величину вида:
.
Случайная величина называетсяиндикатором случайного события А или индикаторной случайной величиной. Она принимает только два значения и, при этом
, .
0 |
1 | |
q |
p |
Аналитическое выражение и график функции распределения имеют вид:
3. Биномиальная случайная величина.
Биномиальной называется дискретная случайная величина , представляющая собойчисло успехов в n независимых испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, с вероятностью успеха в одном испытании равной р.
Множество возможных значений биномиальной случайной величины:
.
Вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:
.
Закон распределения имеет вид:
0 |
1 |
n | ||
и называется биномиальным законом распределения.
Условие нормировки при этом следует из формулы Бернулли или непосредственно из бинома Ньютона: .
(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).
Сокращенное обозначение для биномиальной случайной величины: .
4. Геометрическая случайная величина.
Геометрической называется дискретная случайная величина , представляющая собойчисло испытаний, проводимых по схеме Бернулли, до появления первого успеха с вероятностью успеха в одном испытании равной р.
Геометрическая случайная величина имеет счетное множество возможных значений:
.
Вероятности значений определяются по формуле:
.
Закон распределения имеет вид:
1 |
2 |
n | |||
и называется геометрическим законом распределения.
Условие нормировки при этом следует из формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: .
(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).
Сокращенное обозначение для геометрической случайной величины: .
5. Пуассоновская случайная величина.
Пуассоновской называется целочисленная случайная величина, множество возможных значений которой ,
а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:.
Число называется параметром пуассоновской случайной величины.
Закон распределения имеет вид:
0 |
1 |
n | |||
и называется пуассоновским законом распределения.
Условие нормировки при этом следует из разложения экспоненты в ряд Тейлора:
.
(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).
Сокращенное обозначение для пуассоновской случайной величины:.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\