3. Интервальное оценивание

Пусть имеется выборка x = (x1; : : : ; xn) из распределения F с неизвестным параметром 2 R. Задача интервального оценивания заключается в том, чтобы найти интервал, который накрывает оцениваемый параметр с заданной наперед вероятностью.

Интервал ( ; +) называется доверительным интервалом для параметра с надежностью q, если для любого 2

P ( < < +) q

(3.1)

Величина " = 1 q называется уровнем значимости.

Если в соотношении (3.1) вероятность в точности равна q (или стремится к q), то интервал называют точным (или асимптотически точным) доверительным интервалом с надежностью q.

3.1Построение точных доверительных интервалов для параметров нормального распределения

Пусть x = (x1; : : : ; xn) - выборка объема n из нормального распределения Na; 2 . Рассмотрим возможные задачи интервального оценивания:

1.Пусть известно 2, а a 2 R - неизвестный параметр. Требуется построить точный доверительный интервал для параметра a.

Pa; 2

X

pn

< a < X +

1 pn

= 1 ";

(3.2)

1

"=2

"=2

где 1 "=2 - квантиль уровня 1 "=2 стандартного нормального распределения.

16

2.Пусть известен параметр a, требуется построить доверительный интервал для 2.

Pa; 2		n s12	< 2 <	n s12	= 1 ";	(3.3)
		g2		g1

где s21 - выборочная дисперсия, g1 и g2 - квантили распределения "хи-квадрат" с n степенями свободы (Hn) уровня "=2 и 1 "=2 соответственно.

3. Доверительный интервал для 2 при неизвестном a:

n

1)

s2

(n

1)

s2

= 1 ";

Pa; 2

(

0

< 2 <

0

(3.4)

g2

g1

где s20 - несмещенная выборочная дисперсия.

4. Доверительный интервал для a при неизвестном 2:

Pa; 2

X

n 1;1pn

< a < X +

pn

= 1 "; (3.5)

t

"=2

s0

tn

1;1 "=2

s0

где tn 1;1 "=2 - квантиль распределения Стьюдента с n 1 степенью свободы (Tn 1) уровня 1 "=2.

3.2Построение доверительных интервалов в Mathcad

Для того, чтобы работать в выборками большого объема, удобно записывать их в отдельные файлы, а затем считывать в векторную переменную.

Для этого используйте команду vector=READPRN("name"), где vector - имя векторной переменной, а name - имя считываемого файла. После этого можно воспользоваться функцией length(vector) для определения объема выборки.

Как видно из формул (3.2)-(3.5), для нахождения доверительных интервалов требуются определять значение квантилей распределений. Их можно вычислить с помощью следующих функций:

qnorm(p; a; ) (возвращает значение квантиля нормального распределения N; a; 2 уровня p);

qchisq(p; d)(находит значение квантиля распределения "хи-квадрат" c d степенями свободы уровня p);

17

qt(p; d)(возвращает значение квантиля распределения Стьюдента с d степенями свободы уровня p).

Приведем пример построения доверительного интервала.

Пусть имеется выборка объема N из нормального распределения, для которого известен параметр 2 = 4, а параметр a неизвестен. Требуется построить точный доверительный интервал для параметра a. На рис. 3.1 приведен текст программы, реализующей метод построения доверительного интервала в среде Mathcad.

Выборка считывается из файла.

Элементы выборки выводятся на экран

Задаются значения среднеквадратического отклонения и надежности.

Определяется объем выборки.

Вычисляется среднее выборочное.

Находится квантиль стандартного нормального распределения уровня 1 "=2.

Находятся границы доверительного интервала.

Вычисляется его длина.

Рис. 3.1. Построение доверительного интервала для параметра a нормального распределения при известном

18

3.3Задание к лабораторной работе

Анализ динамики курса акций некоторого предприятия в течение 2011 года дал следующие результаты: была принята гипотеза о том, что распределение значений стоимости акций является нормальным, среднее значение цены 1 акции равно M рублей. Вам необходимо проанализировать динамику курса акций за первый месяц 2012 года (торги на бирже проходили в течение 22 рабочих дней).

Вектор x - значения изменения цены на 1 акцию предприятия по сравнению с M (в рублях). Считая, что выполняется гипотеза о нормальности распределения, найдите доверительные интервалы для тех параметров распределения, которые указаны в вашем варианте задания.

Для вариантов с нечетным номером:

1. Построить доверительный интервал для параметра a c надежностью q0

а) считая неизвестным, б) считая известным и равным 0.

2. В одной системе координат построить графики зависимости длины доверительного интервала от надежности q для обоих случаев случаев ( неизвестно и известно). При этом q придать минимум 50 разных значений через равные промежутки.

Проанализировать и объяснить взаимное расположение полученных графиков.

Для вариантов с четным номером:

1. Построить доверительный интервал для параметра 2 c надежностью q0.

а) считая a неизвестным,

б) считая a известным и равным a0.

2. В одной системе координат построить графики зависимости длины доверительного интервала от надежности q для обоих случаев случаев ( a неизвестно и a известно). При этом q придать минимум 50 разных значений через равные промежутки.

Проанализировать и объяснить взаимное расположение полученных графиков.

Варианты заданий

1.0 = 2, q0 = 0:9

x = ( 1:04; 4:33; 2:69; 5:59; 1:94; 3:21; 3:59; 5:29; 0:31; 0:36; 2:55; 0:98;

0:58; 4:92; 0:97; 3:9; 0:59; 6:17; 4:59; 0:02; 0:31; 3:91)

19

2.a0 = 0, q0 = 0:8

x = (0:52; 0:31; 2:77; 0:25; 2:86; 0:73; 0:63; 2:17; 2:2; 1:7; 1:11; 0:62;

1:71; 3:5; 1:5; 0:05; 0:92; 0:88; 0:34; 2:91; 3:47; 0:74)

3.0 = 3, q0 = 0:7

x= ( 3:35; 1:65; 0:7; 1:35; 5:32; 5:27; 3:76; 2:25; 2:33; 1:66; 2:77;

6:34; 5:42; 2:47; 0:28; 6:99; 2:71; 2:17; 3:26; 3:89; 0:33; 0:31)

4.a0 = 2, q0 = 0:5

x= (6:05; 6:65; 7:62; 1:61; 3:52; 8:45; 0:98; 2:97; 3:52; 1:26; 0:66; 0:89;

3:23; 4:38; 1:74; 3:16; 1:28; 3:82; 0:87; 4:64; 0:97; 1:74)

5.0 = 1, q0 = 0:6

x = (0:83; 2:45; 1:82; 1:12; 0:73; 0:53; 1:49; 0:52; 1:18; 0:98; 1:73; 0:32;

0:64; 0:72; 1:61; 0:19; 0:99; 1:4; 1:12; 0:29; 0:56; 1:82)

6.a0 = 3, q0 = 0:9

x = ( 3:35; 1:03; 7:26; 2:5; 4:25; 3:72; 5:32; 2:4; 8:52; 7:93;

6:65; 4:86; 4:5; 1:13; 1:23; 0:27; 3:76; 3:2; 2; 7:07; 1:57; 0:66)

7.0 = 0:5, q0 = 0:8

x = ( 3:15; 5:23; 5:08; 5:8; 4:74; 4; 4:8; 4:44; 4:97; 6:19;

4:93; 4:5; 5:14; 4:94; 5:11; 5; 4:71; 5:46; 4:63; 5:49)

8.a0 = 1, q0 = 0:8

x = ( 4:54; 3:61; 0:72; 6:37; 0:26; 0:42; 0:14; 0:81; 6:44; 0:63; 5:86;

0:29; 2:23; 0:47; 2:12; 4:75; 2:58; 1:23; 2:97; 0:31; 4:22; 1:15)

9.0 = 1:5, q0 = 0:7

x = (2:14; 4:16; 2:47; 0:05; 1:4; 3:68; 3:97; 3:52; 3:84; 4:1; 1:33; 2:3; 2:32; 2:63;

4:16; 0:52; 2:07; 3:14; 4:9; 1:53; 3:27; 3:24)

10.a0 = 0:5, q0 = 0:8

x = (0:65; 0:04; 4:78; 4:99; 0:54; 4:74; 2:29; 2:69; 0:76; 1:53; 3:11;

6:45; 8:17; 6:05; 1:25; 7:21; 0:2; 3:42; 3:2; 3:24; 0:85; 4:79)

20

11.0 = 1, q0 = 0:5

x = ( 5:35; 1:78; 2:13; 1:23; 1:1; 1:37; 2:33; 2:22; 1:85; 0:14;

3:78; 1:25; 2:5; 4:96; 0:2; 2:75; 1:95; 3:8; 0:98; 0:6; 2:05; 1)

12.a0 = 5, q0 = 0:6

x = ( 6:23; 4:9; 5:47; 5:08; 4:44; 5:92; 5:1; 6; 5:2; 6:13; 4:36;

5:72; 4:25; 5:48; 3:46; 2:6; 5:07; 4:45; 6:42; 4:89; 6:34; 4:1)

13.0 = 1:2, q0 = 0:7

x = (9:91; 9:26; 12:76; 10:35; 9:14; 9:33; 9:81; 9:22; 9:95; 9:76; 9:94; 11:42;

10:75; 11:9; 10:75; 9:94; 8:71; 8:65; 12:6; 11:08; 10:17; 8:09)

14.a0 = 4, q0 = 0:8

x = (3:4; 4:49; 5:39; 4:3; 2:76; 7:18; 8:95; 5:85; 2:76; 4:09; 1:97; 5:84; 7:22;

1:28; 9:74; 4:73; 1:61; 3:14; 2:26; 8:03; 4; 6:98)

15.0 = 2:5, q0 = 0:75

x = ( 2:67; 10:87; 2:78; 8:82; 0:42; 0:3; 1:61; 4:18; 3:86; 4:5;

5:73; 0:73; 4:4; 7:67; 3:42; 5:22; 4:2; 1:98; 0:57; 0:4; 6:5; 4:55)

16.a0 = 10, q0 = 0:6

x = (7:53; 7:02; 8:04; 12:2; 8:55; 9:99; 10:69; 12:08; 13:66; 12:57; 6:5; 10:66;

8:89; 9:77; 10:84; 10:14; 10:91; 10:61; 11:77; 9:42; 9:84; 11:33)

17. 0 = 3:2, q0 = 0:9

x = (1:12; 0:87; 3:44; 0:64; 5:58; 7:04; 4:83; 0:36; 3:65; 2:73; 3:22;

1:55; 6:26; 1:09; 1:39; 0:93; 4:71; 3:52; 1:14; 1:61; 0:58; 3:62)

18.a0 = 0, q0 = 0:75

x = ( 0:36; 0:93; 0:12; 0:65; 0:63; 0:23; 0:86; 0:35; 0:04; 0:41; 0:42;

2:15; 0:2; 0:47; 0:31; 0:52; 0:41; 1:57; 1:37; 0:03; 0:64; 0:91)

19.0 = 3, q0 = 0:75

x = ( 0:69; 1:75; 4:39; 4:68; 5:16; 2:01; 0:01; 10:18; 0:44; 0:65; 0:81; 0:11;

1:3; 2:08; 0:84; 1:83; 1:11; 0:93; 5:33; 3:4; 1:52; 9:87)

21

20.a0 = 3, q0 = 0:5

x = (2:49; 1:46; 3:95; 1:7; 3:27; 4:17; 3:52; 1:33; 2:44; 1:69; 3:33; 2:9; 2:31;

3:98; 2:21; 2:55; 2:14; 2:86; 5:49; 3:48; 3:51; 3:42)

21. 0 = 2:1, q0 = 0:6

x = ( 0:34; 1:91; 2:82; 2:54; 2:79; 5:01; 0:58; 2:59; 0:55; 1:65;

0:31; 1:55; 1:33; 0:12; 0:49; 0:31; 1:43; 1:9; 1:03; 0:52; 2:47; 2:29)

22.a0 = 5, q0 = 0:7

x = ( 5:93; 2:76; 6:21; 5:77; 3:3; 3:88; 6:62; 4:95; 4:98; 3:48;

5:64; 3:9; 5:04; 3:7; 3; 7:61; 5:47; 4:2; 7:4; 4:12; 4:76; 4:39)

23.0 = 1:5, q0 = 0:8

x = ( 1:85; 1:16; 0:9; 4:57; 1:28; 1:57; 0:41; 1:8; 0:68; 0:37; 2:53;

0:56; 0:12; 1:34; 2:7; 1:22; 1:34; 0:15; 1:06; 0:93; 2:54; 1:18)

24.a0 = 1, q0 = 0:75

x = (0:36; 0:72; 0:6; 0:07; 1:68; 1:81; 0:08; 2:48; 1:77; 2:41; 2:77; 1:41; 1:57;

0:23; 1:41; 0:47; 0:29; 0:37; 3:74; 2:77; 0:42; 2:55)

25.0 = 0:8, q0 = 0:85

x = (2:58; 1:12; 3:01; 2:63; 2:24; 2:77; 2:78; 1:35; 3:62; 2:31; 3:19; 1:65; 2:06; 2:1;

2:13; 1:35; 0:86; 0:38; 1:36; 3:04; 0:36; 3:12)

22