4. Проверка гипотезы о виде распределения

4.1Критерий согласия Пирсона. Проверка гипотезы о виде распределения

Пусть имеется выборка x = (x1; x2; : : : ; xn) из некоторого распределения F . Будем проверять гипотезу о принадлежности наблюдаемой в опыте случайной величины некоторому семейству распределений. То есть будем проверять сложную гипотезу H0 = fF 2 fF gg против сложной альтернативы H1 = fF 62Ff gg.

Чтобы воспользоваться критерием Пирсона, выборочные данные предварительно группируют. Разделим область выборочных данных на интервалы 1; 2; : : : ; k. Обозначим за j (j = 1; 2; : : : ; k) число элементов выборки, попавших в интервал j ( 1 + + k = n). Эмпирические вероятности попадания элементов выборки в j обозначим qj:

qj = nj ; j = 1; : : : ; k:

За pj( ) обозначим теоретические вероятности попадания значения случайной величины в интервал группировки j в случае, если выполняется гипотеза H0.

Составим статистику, характеризующую отклонение выборочных данных (вероятностей qj) от соответствующих гипотетических значений (pj):

2	= 2	( ) = n	n	(qj pj( ))2	:
n	n			pj( )
			=1
			Xj

Непосредственно использовать эту статистику для построения критерия нельзя - для начала надо исключить неопределенной, связанную с неизвестным параметром . Для этого поступают следующим образом - заменяют некоторой оценкой en = en(x), найденной по выборке x.

23

2	= 2	( n) = n	n	(qj pj( n))2		:
f	f e		Xj		e e
n	n				pj( n)
			=1

Такую статистику уже можно однозначно вычислить для каждой заданной реализации выборки x.

Теорема 4.1 Если верна гипотеза H0 и l - размерность векторного параметра , то при фиксированном k и при n ! 1

f2n ! ;

где имеет распределение 2 с k l 1 степенями свободы.

Приведем схему использования критерия согласия 2:

1.По заданной выборке x найти оценку векторного параметра .

2.Найти теоретические вероятности попадания значений случайной величины в интервалы группировки j.

3.Вычислить значение статистики f2n

4.По заданному уровню значимости " найти пороговое значение статистики C" из условия 2k l 1(C") = 1 " = q.

5.Если f2n < C" то гипотезу H0 принимаем, иначе - отклоняем.

Замечание: Малочисленные частоты ( j < 5), следует объединить, объединив соответствующие интервалы группировки. Теоретические частоты следует вычислять уже после объединения интервалов. При определении числа степеней свободы в этом случае вместо k следует взять число интервалов, получившихся после объединения.

4.2Проверка гипотезы о виде распределения в Mathcad

Одной из полезных возможностей Mathcad является наличие встроенной функции для вычисления квантиля распределения 2. Это функция qchisq(p; d), где d - число степеней свободы, p - значение вероятности.

Приведем пример использования критерия 2 для проверки параметрической гипотезы о виде распределения.

Пусть имеется выборка объема n = 500 из некоторого распределения F . Требуется проверить гипотезу H0 = fF = 1; g. На рис. 4.1 приведен текст программы для проверки этой гипотезы с помощью критерия2. Обратите внимание на то, что так как один из параметров гаммараспределения уже задан, то по выборке оценивается только .

24

Задается объем выборки. Вектор, задающий выборку, считывается из файла

Определяются границы области выборочных данных

Определяется число интервалов группировки Формируется таблица частот: для i-го столбца

В 1-й строке записано начало интервала группировки Во 2-й строке - конец этого интервала

В3-й строке - число попаданий значений

вi-й интервал

Формируется новая таблица частот, в которой объединены интервалы группировки, количество попаданий в которые незначительны.

Методом моментов находится оценка параметра .

Находятся эмпирические частоты.

Находятся теоретические частоты.

В данном случае h < h , поэтому гипотеза о том, что случайная величина имеет гамма-распределение с пара-

метрами = 1; = 3:173 принимается

Рис. 4.1. Проверка гипотезы о том, что случайная величина имеет гаммараспределение 1;.

25

4.3Задание к лабораторной работе

C помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о распределении случайной величины по указанному в вашем варианте закону.

Варианты заданий:

1.В ходе испытания 300 ламп накаливания была получена выборка, элементы которой - длительности их горения. Данные приведены в таблице 4.1. Проверить гипотезу о распределении времени горения ламп по показательному закону с уровнем значимости 0:05.

2.В тепличном хозяйстве проводился контроль урожайности томатов некоторого сорта. Было измерено, сколько томатов было собрано за сезон с каждого из 150 выбранных кустов. Полученные данные приведены в таблице 4.2. Проверить гипотезу о нормальном распределении урожайности с уровнем значимости 0:02.

Таблица 4.1.

Ресурс		Число ламп,
лампы,	w,	ресурс кото-
тыс.час.		рых составил
		w
w 2 [0; 0:5)		185
w 2 [0:5; 1)		57
w 2 [1; 1:5)		32
w 2 [1:5; 2)		14
w 2 [2; 2:5)		6
w 2 [2:5; 3)		3
w 2 [3; 3:5)		2
w 2 [3:5; 4)		1

Таблица 4.2.

Урожай,		Число	ку-
собранный		стов, с	ко-
с куста	то-	торых	было
матов,	w,	собрано	w
кг		томатов
w 2 [9; 10)		18
w 2 [10; 11)		23
w 2 [11; 12)		13
w 2 [12; 13)		27
w 2 [13; 14)		27
w 2 [14; 15)		30
w 2 [15; 16)		12

3.Опыт, состоящий в одновременном подбрасывании пяти игральных костей, повторили 150 раз. Событие A в единичном испытании состоит

втом, что на кости выпало не более двух очков. Данные о том, сколько раз в каждом опыте повторилось событие А, приведены в таблице 4.3. Проверить гипотезу о распределении данной случайной величины по биномиальному закону с уровнем значимости 0:05.

4.В течение 4 месяцев (122 дня) в магазине вели статистику о количестве проданных за день буханок белого хлеба. Полученная выборка приведена в таблице 4.4. Проверить гипотезу о распределении количества проданных в день буханок по закону Пуассона с уровнем значимости 0:05.

26

Таблица 4.3.

Количество повторений события А в	0	1	2	3	4	5
рамках одного опыта, k
Количество опытов, в результате кото-	25	46	46	20	12	1
рых событие А повторялось k раз

5. По 110 магазинам города был проведен мониторинг цен на красную икру. В таблице 4.5 приведены цены за 100 граммов икры в каждом из магазинов (в рублях). Проверить гипотезу о нормальном распределении цен на икру с уровнем значимости 0:01.

Таблица 4.4.

Количество	Число	дней,
проданных	когда	было
булок хлеба,	продано	k
k	булок хлеба
k 2 [7; 9)	2
k 2 [9; 11)	8
k 2 [11; 13)	11
k 2 [13; 15)	18
k 2 [15; 17)	24
k 2 [17; 19)	27
k 2 [19; 21)	14
k 2 [21; 23)	10
k 2 [23; 25)	5
k 2 [25; 27)	2
k 2 [27; 29)	1

Таблица 4.5.

Стоимость 100	Число мага-
г. икры, w,	зинов, в кото-
руб.	рых икра сто-
	ит w
w 2 [190; 192)	1
w 2 [192; 194)	4
w 2 [194; 196)	4
w 2 [196; 198)	12
w 2 [198; 200)	16
w 2 [200; 202)	23
w 2 [202; 204)	26
w 2 [204; 206)	19
w 2 [206; 208)	3
w 2 [208; 210)	2

6.В некоторой местности в течение 100 суток регистрировалась среднесуточная температура воздуха (в градусах Цельсия). В результате была получена выборка, приведенная в таблице 4.6. Проверить гипотезу о логнормальном распределении температуры воздуха с уровнем значимости 0:03.

7.В результате испытания 250 батареек на длительность их работы (в часах) в одинаковых плеерах была получена выборка, приведенная в таблице 4.7. Проверить гипотезу о распределении длительности работы батареек по показательному закону с уровнем значимости q = 0:03.

27

Таблица 4.6.

СреднесуточнаяЧисло		дней
температура	со	средне-
воздуха, w	суточной
	температурой
	w
w 2 [12; 13)	1
w 2 [13; 14)	7
w 2 [14; 15)	18
w 2 [15; 16)	23
w 2 [16; 17)	23
w 2 [17; 18)	21
w 2 [18; 19)	7

Таблица 4.7.

Длительность			Количество
работы		бата-	батареек, про-
рейки,		w,	работавших w
час.			час.
w 2 [5;		6)	14
w 2 [6;		7)	76
w 2	[7;	8)	88
w 2	[8;	9)	58
w 2	[9;	10)	12
w 2	[10; 11)		2

8. Опыт состоял в том, что человек одновременно вытягивал из четырех карточных колод (по 36 карт) по 1 карте и складывал их обратно. Опыт было повторен 120 раз и каждый раз подсчитывалось, сколько вынималось карт пиковой масти. Данные приведены в таблице 4.8. Проверить гипотезу о распределении исследуемой случайной величины по биномиальному закону с уровнем значимости 0:04.

Таблица 4.8.

Количество карт масти "пики" , k	0	1	2	3	4
Количество опытов, в результате кото-	38	48	23	10	1
рых из четырех колод было вынуто k
карт масти "пики"

9.В ходе школьного медицинского осмотра был измерен рост 200 первоклассников. Полученные данные приведены в таблице 4.9. Проверить гипотезу о распределении роста учеников по нормальному закону

суровнем значимости 0:05.

10.В результате взвешивания 300 бильярдных шаров была получена выборка, представленная в таблице 4.10. Проверить гипотезу о логнормальном распределении веса шаров с уровнем значимости 0:02.

11.Для проверки качества работы заводского оборудования было подсчитано количество нестандартных деталей, изготовленных каждым из 200 станков за неделю. Выборка приведена в таблице 4.11. С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о распределении количества нестандартных изделий по закону Пуассона с уровнем значимости 0:05.

28

Таблица 4.9.

Рост первоклас-	Число перво-
сника, w, см.	классников,
	имеющих рост w
w 2 [118; 119)	1
w 2 [119; 120)	3
w 2 [120; 121)	2
w 2 [121; 122)	17
w 2 [122; 123)	13
w 2 [123; 124)	30
w 2 [124; 125)	38
w 2 [125; 126)	36
w 2 [126; 127)	30
w 2 [127; 128)	21

Таблица 4.10.

Вес	бильярд-	Количество
ного	шара w,	шаров	с
г.		весом w
w 2 [280; 281)		30
w 2 [281; 282)		26
w 2 [282; 283)		38
w 2 [283; 284)		40
w 2 [284; 285)		26
w 2 [285; 286)		28
w 2 [286; 287)		28
w 2 [287; 288)		23
w 2 [288; 289)		37
w 2 [289; 290)		24

Таблица 4.11.

Число нестандартных деталей, k	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Количество станков, изготовив-	6	33	50	41	38	15	11	4	2
ших k нестандартных деталей

12. После поступления на склад 300 коробок стеклянных елочных игрушек кладовщик проверил, сколько игрушек в каждой коробке было повреждено в результате транспортировки. Результаты его проверки приведены в таблице 4.12. Проверить гипотезу распределении количества поврежденных игрушек в 1 коробке по закону Пуассона с уровнем значимости 0:05.

Таблица 4.12.

Число поврежденных игрушек, k	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Число коробок с k поврежденны-	41	82	84	56	23	9	3	1	1
ми игрушками

13. Производителем компьютерной техники проводился мониторинг длительности безотказной работы жестких дисков, выпущенных им 15 лет назад. Было исследовано 300 жестких дисков, результаты представлены в таблице 4.13. Проверить гипотезу о распределении длительности безотказной работы дисков по показательному закону с уровнем значимости 0:02.

29

14. Была собрана статистика о продолжительности жизни жителей одного из пригородов Красноярска. Данные о продолжительности жизни 2000 человек приведены в таблице 4.14. Проверить гипотезу о распределении продолжительности жизни красноярцев по логнормальному закону с уровнем значимости 0:02.

Таблица 4.13.

Длительность	Число	жест-
безотказной	ких дисков,
работы w,	прорабо-
лет	тавших	w
	лет
w 2 [6; 6:5)	1
w 2 [6:5; 7)	1
w 2 [7; 7:5)	0
w 2 [7:5; 8)	6
w 2 [8; 8:5)	6
w 2 [8:5; 9)	20
w 2 [9; 9:5)	64
w 2 [9:5; 10)	49
w 2 [10; 10:5)	58
w 2 [10:5; 11)	50
w 2 [11; 11:5)	20
w 2 [11:5; 12)	18
w 2 [12; 12:5)	6
w 2 [12:5; 1)	1

Таблица 4.14.

Продолжитель	-Число людей,
ность жизни,	проживших
w, лет	w лет
w 2 [14; 19)	5
w 2 [19; 24)	6
w 2 [24; 29)	18
w 2 [29; 34)	42
w 2 [34; 39)	98
w 2 [39; 44)	178
w 2 [44; 49)	232
w 2 [49; 54)	277
w 2 [54; 59)	297
w 2 [59; 64)	287
w 2 [64; 69)	238
w 2 [69; 74)	163
w 2 [74; 79)	95
w 2 [79; 84)	41
w 2 [84; 89)	17
w 2 [89; 94)	6

15. Среди студентов третьего курса (250 человек) был проведен тест по теории вероятностей, состоявший из 20 вопросов. Данные о количестве правильных ответов студентов приведены в таблице 4.15. Проверить гипотезу о распределении количества правильных ответов по биномиальному закону с уровнем значимости 0:02.

Таблица 4.15.

Число правильных отве-	8	9	10	11	12	13	14	26	16	17	18	19
тов, k
Число студентов, дав-	2	0	8	12	22	32	44	51	35	33	9	2
ших k правильных отве-
тов

30

16.В одном из родильных домов была собрана статистика о весе новорожденных мальчиков, родившихся в течение года. Данные о весе 400 детей приведены в файле таблице 4.16. Проверить гипотезу о нормальном распределении веса новорожденных мальчиков с уровнем значимости 0:01.

17.Оператор сотовой связи провел учет времени разговоров 500 своих абонентов по исходящей связи за одни сутки. Данные о длительности разговоров в таблице 4.17. Проверить гипотезу о длительности разговоров абонентов по исходящей связи по показательному закону с уровнем значимости 0:03.

Таблица 4.16.

Вес	новорож-		Число ново-
денного, w, кг.			рожденных,
			родившимся
			с весом w
w 2 [2:5; 2:75)			1
w 2 [2:75;		3)	1
w 2 [3; 3:25)			15
w 2 [3:25;		3:5)	53
w 2 [3:5; 3:75)			110
w 2 [3:75;		4)	112
w 2 [4; 4:25)			66
w 2	[4:25;	4:5)	34
w 2	[4:5; 4:75)		7
w 2	[4:75;	5)	1

Таблица 4.17.

Длительность	Число абонен-
вызова, w,	тов, проговорив-
мин.	ших w мин.
w 2 [0; 1)	17
w 2 [1; 2)	111
w 2 [2; 3)	144
w 2 [3; 4)	88
w 2 [4; 5)	55
w 2 [5; 6)	38
w 2 [6; 7)	20
w 2 [7; 8)	10
w 2 [8; 9)	9
w 2 [9; 10)	3
w 2 [10; 11)	2
w 2 [11; 12)	1
w 2 [12; 13)	0
w 2 [13; 14)	1
w 2 [14; 15)	1

18.Опыт, состоящий в одновременном подбрасывании 5 монет повторили 150 раз. Данные о том, сколько "гербов" выпало при каждом из повторений опыта приведены в таблице 4.18. Проверить гипотезу о распределении числа одновременно выпадающих "гербов" по биномиальному закону с уровнем значимости 0:03.

19.В обувном магазине решили выявить наиболее ходовой размер женской обуви. Продавцы фиксировали размер каждой проданной пары обуви. Данные приведены в файле таблице 4.19. Проверить гипотезу о распределении предпочтений покупателей относительно размера обуви по закону Пуассона с уровнем значимости 0:04.

31

Таблица 4.18.

	Число выпадений "герба" , k		0	1		2		3		4		5
	Количество испытаний, при кото-		5	20		47		46		26		6
	рых выпало k "гербов"
	Таблица 4.19.
Размер обуви, k		34	35		36		37		38		39		40
Число покупателей, приобретших		2	8		14		21		37		25		8
k-й размер обуви

20.Имеются данные о количестве электроэнергии, потребленной за 1 месяц жителями 500 квартир. Данные приведены в таблице 4.20. Проверить гипотезу о логнормальном распределении количества потребленной энергии с уровнем значимости 0:05.

21.Любительница бразильских сериалов стала записывать, сколько серий продолжался каждый из просмотренных ею фильмов. Данные о количестве серий в 120 сериалах приведены в таблице 4.21. Проверить гипотезу о распределении количества серий в сериалах по биномиальному закону с уровнем значимости q = 0:05.

Таблица 4.20.

Таблица 4.21.

Расход элек-	Число потребите-
троэнергии w,	лей, израсход. w
кВт/час	кВт/час
w 2 [250; 260)	2
w 2 [260; 270)	13
w 2 [270; 280)	38
w 2 [280; 290)	79
w 2 [290; 300)	96
w 2 [300; 310)	119
w 2 [310; 320)	76
w 2 [320; 330)	49
w 2 [330; 340)	18
w 2 [340; 350)	8
w 2 [350; 360)	2

Количество се-	Число	се-
рий, w	риалов	с
	количеством
	серий w
w 2 [120; 125)	45
w 2 [125; 130)	29
w 2 [130; 135)	17
w 2 [135; 140)	12
w 2 [140; 145)	9
w 2 [145; 150)	4
w 2 [150; 155)	3
w 2 [155; 160)	0
w 2 [160; 165)	1

22. Оператор сотовой связи ведет учет количества смс, отправленных за день ее абонентами. Данные о числе смс, отправленных 500 абонентами за 1 день приведены в таблице 4.22. Проверить гипотезу о распределении количества смс по закону Пуассона с уровнем значимости 0:01.

32

Таблица 4.22.

Количество смс, k	0	1	2	3	4	5
Число абонентов, отправивших за	142	200	103	39	13	3
день k-й смс

23.На молочной ферме в течении месяца регистрировали удои коров.

Втаблице 4.23 приведены среднесуточные удои 120 коров. Проверить гипотезу о нормальном распределении удоев коров на молочной ферме с уровнем значимости 0:04.

24.На месторождении было взято 100 проб руды на содержание железа. Данные о процентном содержании железа в пробах приведены в таблице 4.24. Проверить гипотезу о распределении содержании железа в руде по логнормальному закону с уровнем значимости 0:05.

Таблица 4.23.

Среднесуточный			Число коров
удой, w, л			с удоем w
w 2 [10; 10:25)			1
w 2 [10:25;		10:5)	5
w 2 [10:5; 10:75)			8
w 2 [10:75;		11)	18
w 2 [11; 11:25)			27
w 2 [11:25;		11:5)	22
w 2	[11:5; 11:75)		16
w 2	[11:75;	12)	14
w 2	[12:25;	12:5)	1
w 2	[12:5; 12:75)		2

Таблица 4.24.

Содержание		Число проб с
железа	в	содержанием
руде w, %		железа w
w 2 [25; 30)		1
w 2 [30; 35)		4
w 2 [35; 40)		13
w 2 [40; 45)		25
w 2 [45; 50)		28
w 2 [50; 55)		13
w 2 [55; 60)		10
w 2 [60; 65)		5
w 2 [65; 70)		1

25. В таблице 4.25 приведены результаты социологического опроса о том, сколько книг за год прочитал каждый из опрошенных (всего 1000 человек). Проверить гипотезу о распределении числа прочитанных по закону Пуассона с уровнем значимости 0:02.

Таблица 4.25.

Количество прочитан-	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ных книг, k
Число опрошенных, про-	58	138	209	241	172	99	53	17	10	2	1
читавших k книг

33