mu-pad

найти из условия прочности. В данном случае можно рассчитать значения моментов сопротивления каждой из ступенек стержня в отношении к d3, а затем вычислить значения максимальных касательных напряжений в сечениях в долях от d3:

	max	(z ) T (zi )		,
		i	Wpi
						Di4
где i – номер ступени стержня (i = 1, 2, 3),					Wpi		di4		–
						16Di

полярный момент сопротивления круглого концентричного полого

сечения с		наружным диаметром Di и внутренним диаметром di,
Wpi	Di3	Wpi	Di4 di4		– полярный момент сопротивления
			16Di
	16

круглого сплошного сечения с наружным диаметром Di.

В нашем случае стержень имеет полое поперечное сечение на 1 и 2 ступенях и сплошное на третей. Определим значения полярных

моментов сопротивления:

4

4

4

4

1,6d

0,8d

Wp1

D1 d1

0,754d 3 ;

16 1,6d

16D1

Wp2

D24 d24

2,2d 4 0,8d 4

2,054d 3 ;

16D2

16

2,2d

3

1,8d

3

Wp3

D3

1,145d 3.

16

16

Представим значения полярного момента сопротивления в виде

Wpi ki d3.

Тогда

коэффициенты

ki

будут

– k1=0,754; k2=2,054;

k3=1,145.

4.5.Построение эпюры максимальных касательных напряжений

вдолях от d3.

Определим значение максимальных касательных напряжений на каждом из расчетных участков:

24

max

(z )d3

T (zi ) ;

i

ki

max

(z )d3

T (z1 )

16,0

21,2кНм.

1

k1

0,754

36,0

z2

0 :

17,5кНм;

T (z

)

2,054

max

(z2 )d

3

k2

2

40,0

z

l :

19,5кНм;

2

2

2,054

max

(z )d3

T (z3 )

22,0

19,2кНм.

3

k3

1,145

По полученным данным строим эпюру Э(z)d3 (рис. 4.4, в).

4.6. Определение условного диаметра стержня d. Расчет диаметров ступенчатого стержня.

Материал конструкции АМг6. Относительное остаточное удлинение = 24% > 9%, а значит материал является пластичным.

Предел текучести T=170МПа [8].

Опасное сечение конструкции будет конструкции, нас интересует только наибольшее по абсолютной величине напряжение, возникающее в ней. Из сопоставления полученных в предыдущем пункте данных можно сделать вывод, что опасным является сечение C первого расчетного участка, где действуют наибольшие по абсолютной величине нормальные напряжения:

	max (z)					21,2кНм.
			max				d 3
Запишем условие прочности:
		max (z)			max		,
где 0,5...0,6 [ ] 0,5...0,6							– допускаемые касательные
						T
						n

напряжения, [ ] – допускаемые нормальные напряжения для материала, n – коэффициент запаса прочности (для пластичных материалов n = 1,5÷3,0). Примем n = 2 и коэффициент снижения [ ] 0,5, тогда

0,51702 42,5МПа. 25

Подставляя в условие прочности полученные значения, и выражая его относительно d, получим:

d3 21, 2кН 3 21, 2 103 79,3мм.

42,5 106

Всоответствии с условием прочности, значение условного диаметра стержня по рядам нормальных линейных размеров Ra40

[14]примем равным 80,0 мм.

Рассчитаем диаметры для каждой ступени стержня:

D1 1,6d 1,6 80 128мм;d1 0,8d 0,8 80 64мм; D2 2,2d 2,2 80 176мм;d2 0,8d 0,8 80 64мм;

D3 1,8d 1,8 80 144мм.

Найденные значения диаметров обеспечивают выполнение условия прочности. Определим полярные моменты сопротивления для каждой ступени:

						128 10				3				4					64		10	3			4
Wp1																													3,86	10 4 м3;
								16 12810 3
							176 10				3				4					64	10		3			4
Wp2																													1,05	10 3 м3 ;
								16 176 10 3
					144 10				3				3
Wp3																5,86 10 4 м3.
								16

4.7. Построение эпюры максимальных касательных напряжений. Рассчитаем значения нормальных напряжений на каждом из

расчетных участков и построим эпюру (рис. 4.4, г):

max (zi ) T (zi ) ;

Wpi

		(z )	T (z )				16,0 103							41,4МПа;
	max		1
		1	Wp1				3,86 10 4
									0 :				36,0 103				34,3МПа;
			T (z		)		z2					1,05 10			3
max		(z2 )
				2
			Wp2				z	2	l	2	:		40,0 103				38,1МПа;
													1,05 10			3
														26

max (z3 )	T (z	)		22 103	37,5МПа.
	3
				5,86 10 4
	Wp3

4.8. Построение эпюры касательных напряжений в опасном сечении.

Касательные напряжения в поперечном распределены линейно по радиусу в соответствии с зависимостью:

z, T z ,

I p

где Ip – полярный момент инерции сечения, – расстояние от исследуемой точки до оси стержня.

Касательные напряжения на внешних волокнах стержня при

=max были определены ранее в п. 4.7 и равны max (z1 ) 41,5 МПа. Определим напряжения на внутреннем диаметре стержня:

							d		64 10 3		32 10 3 м,
							1		2
							2				64 10 3 4
I p1		D14		d14		128 10 3 4						2,471	10 5	м4 ,
			32						32
			z , d1					16,0 103			32 10 3 20,7 МПа.
										5
				1	2			2,471 10

По полученным данным построим эпюру распределения касательных напряжений в поперечном сечении (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Эпюра распределения касательных напряжений в опасном сечении

27

5. Проектировочный расчет на прочность при изгибе

Для чугунного стержня (рис. 5.1.), работающего на изгиб, необходимо выполнить расчет на прочность, построив эпюру перерезывающих сил, изгибающих моментов. Построить эпюру распределения нормальных напряжений в опасном сечении стержня с указанием наиболее нагруженных точек. Предложить наиболее оптимальный вариант расположения сечения. Исходные расчетные данные в табл. 5.1.

Рис. 5.1. Схема нагружения стержня

Таблица 5.1. Исходные расчетные данные

F, кН

q, кН/м

M, кНм

l1, м

l2, м

l3, м

Материал

40

50

18

0,3

0,6

0,2

СЧ21

Решение.

5.1. Построение расчетной схемы.

Построим расчетную схему стержня. Для этого зададим систему координат, обозначим буквами A, B, C, и D характерные сечения стержня. Вычертим в масштабе стержень с учетом соотношения длин ступеней и заменим опоры возникающими в них реакциями (рис. 5.2).

Рис. 5.2. Расчетная схема стержня

5.2. Определение неизвестных.

Для определения реакций составим уравнения статического равновесия:

28

		Z 0; ZA 0; ZA 0;
M AX	0;	Fl1			l2		M YD l1	l2	l3 0;
			ql2 l1		2

				Fl ql				l			l2				M
					1		2 1					2
		YD
						l1		l2			l3
										0,6
		40 0,3 50 0,6 0,3									2		18
																	43,64кН;
		0,3			0,6	0,2
M DX 0; YA l1 l2 l3 F l2 l3																		l2				l3		0;
																ql2				2			M
			F l2 l3 ql2								l2
												2		l3 M
		YA
						l1		l2			l3
	40 0,6 0,2 50 0,6								0,6				0,2
									2							18
																				26,36кН.
		0,3			0,6	0,2

Выполним проверку найденных реакций:Y 0; YA F ql2 YD 0; 26,36 40 50 0,6 43,64 0.

Реакции найдены верно.

5.3. Построение эпюр внутренних силовых факторов. Рассматриваемый стержень имеет три расчетных участка. В

рамках этих участков выберем сечения и определим значения перерезывающих сил Qy(z) и изгибающих моментов Mx(z) (рис. 5.3).

Определим перерезывающую силу и изгибающий момент на первом расчетном участке ( 0 z1 l1 ). Составим расчетную схему

(рис. 5.3, а), запишем уравнение равновесия и выразим внутренние силовые факторы:

Y 0; YA Qy (z1 ) 0; Qy (z1 ) YA 26,36кН.M x 0; YA z1 M x (z1 ) 0; M x (z1 ) YA z1.

29

а

б

в

Рис. 5.3. Схемы расчетных участков стержня

Рассчитаем значение изгибающего момента в начале и конце расчетного участка:

z1 0 : YA 0 0;
M x (z1 )	l1 :YAl1	26,36	0,3	7,9кНм.
z1

Определим перерезывающую силу и изгибающий момент на втором расчетном участке ( 0 z2 l2 ). Составим расчетную схему

(рис. 5.3, б), запишем уравнение равновесия и выразим внутренние
силовые факторы:
Y 0; YA F qz2 Qy (z2 ) 0; Qy (z2 ) YA F qz2 .
M x 0; YA l1 z2 Fz2			qz2	z2	M x (z2 ) 0;
			2
		M x (z2 ) YA l1 z2	Fz2 q			z22	.
			2
Рассчитаем значение перерезывающей силы и изгибающего
момента в начале и конце расчетного участка:
z2	0 : YA F 26,36 40,0 13,64кН;
Qy (z2 )	l2 : YA F ql2 26,36 40,0 50,0 0,6 43,64кН.
z2
		0 : Y l 26,36 0,30 7,9кНм;
z
	2	A 1	l2
M x (z2 ) z2		l2 : YA l1 l2 Fl2 q 2
			2
		26,36 0,3 0,6 40 0,6 50 0,6						2
								9,3кНм.
			2

Определим перерезывающую силу и изгибающий момент на третьем расчетном участке ( 0 z3 l3 ). Составим расчетную схему

(рис. 5.3, в), запишем уравнение равновесия и выразим внутренние силовые факторы:

30

Y 0; Qy (z3 ) YD 0; Qy (z3 ) YD 43,64кН.

M x 0; M x (z3 ) YD z3 0; M x (z3 ) YD z3.

Рассчитаем значение изгибающего момента в начале и конце

расчетного участка:

z3 0 : YD 0 0;

M x (z3 )

z3 l3 :YDl3 43,64 0,2 8,7 кНм.

По полученным данным строим эпюры перерезывающих сил и

изгибающих моментов (рис. 5.4, б, в). Как видно из эпюры

изгибающих моментов, опасное сечение находится в точке С балки

слева, где действует наибольший изгибающий момент Mmax=9,3 кНм.

а

б

в

Рис. 5.4. Расчетная схема стержня (а) и эпюры:

б– перерезывающих сил, в – изгибающих моментов.

5.4.Определение геометрических характеристик поперечного сечения стержня.

Заданное сечение стержня (рис. 5.5, а), является симметричным относительно вертикальной оси y и может быть представлено в виде

31

комбинации двух простейших сечений – треугольника (рис. 5.5, б) и полукруга (рис. 5.5, в).

а

б

в

Рис. 5.5. Поперечное сечение

Положения центров тяжести простейших сечений c1 и с2 известны и показаны на рисунке. Положение центра тяжести составного сечения с неизвестно, его необходимо определить, чтобы рассчитать геометрические характеристики сечения относительно центральной оси х, т.е. той оси относительно которой происходит изгиб стержня.

Выберем систему координат в которой будем производить определение положения центра тяжести (рис. 5.6). Координаты центров тяжести в выбранной системе координат и площади простых поперечных сечений:

	y	c1	2 d		;
				3
A		1	d	2	d		2
							;
1		2	4		8
y	1 2d					2d		;
c2			3		3

A2 12 2d 2d 2d 2 .

Рис. 5.6. Определение центра тяжести сечения

32

Координата центра тяжести составного сечения определяется по соотношению:

Sxi

y		i	,
c		Ai

i

где i – количество простых сечений, на которые разбили составное, Sxi yci Ai – статический момент i-го сечения относительно оси x,

Ai – площадь i-го сечения. При суммировании площадь и статический момент берутся ос знаком «–», если она вырезана из другой фигуры.

Определим положение центра тяжести составного сечения:

							2 d			d 2						2d	2d	2
		Sx1	Sx2				3				8					3
y																				0,7777d.
		A A									d 2
c													2d		2
		1	2								8

Определим момент инерции сечения относительно центральной оси xc. Момент инерции составного сечения будет складываться из моментов инерции составляющих этого сечения. Причем моменты инерции составляющих должны быть выражены относительно оси xc.

Для вычисления моментов инерции относительно параллельных осей воспользуемся теоремой Штейнера:

Ix Ixc a2 A,

где Ix – момент инерции сечения относительно оси x, параллельной оси xc; Ixc – момент инерции сечения относительно центральной оси xc; a – расстояние между осями x и xc; A – площадь сечения.

В случае заданного сечения моменты инерции простейших составляющих сечения относительно собственных центральных осей xc1 и xc2:

d 4

8

3

4

2d 2d 3

4d 4

4

Ixc1

6,86 10 d

; Ixc2

0,4444d

;

16

36

9

8

9

расстояния между осями xc1, xc2 и осью xc:

a

y

c

y

c1

0,7777d 2d

0,56549d;

1

3

a2

yc yc2

0,7777d

2d

0,1110d.

3

Тогда моменты инерции относительно центральной оси xc: 33