mu-pad

Ix1 Ixc1 a12 A1

6,86 10 3 d 4 0,56549d 2

d 2

0,1324d 4 ;

8

Ix2 Ixc2 a22 A2

0,44d 4 0,1110d 2 2d 2 0,4691d 4 .

Момент инерции составного сечения:

Ixc Ix1 Ix2

0,1324d 4 0,4691d 4

0,3367d 4.

Определим моменты сопротивления сечения относительно

верхних yверх 0,7777d

и

нижних

yниз 2d 0,7777d 1,2223d

точек сечения:

I

0,3367d 4

W

верх

xc

0,4329d

3

;

xc

yверх

0,7777d

W

низ

I

xc

0,3367d

4

0,2755d

3

.

xc

yниз

1,2223d

5.4. Определение допускаемых напряжений.

Материал СЧ21 является хрупким, для него указаны пределы прочности на растяжение и сжатие B = 210 МПа, C = 950 МПа [8]. Коэффициент запаса прочности для хрупких материалов n 2 5 , примем n 3. Определим допускаемые напряжения:

		B 210 70МПа;
		n	3
		C	950 317 МПа.
		n	3

5.5. Расчет на прочность. Выбор оптимального расположения сечения.

Максимальный изгибающий момент Mmax=9,3 кНм, действующий в сечении, приводит к тому, что нижние волокна стержня будут сжаты, а верхние растянуты (эпюра моментов, построенная на «сжатом» волокне находится снизу от оси).

Определим величину характерного размера d для двух вариантов расположения сечения.

Запишем условия прочности для исходного варианта расположения сечения и выразим из них характерный размер:

34

	M		max			; d 3	9,3		103				67,45мм;
										6
			верх				0,4329		70 10
	Wxc
	M	max		; d 3			9,3		103				47,39мм.
											6
		низ					0,2755 317 10
	Wxc

Из полученных значений выбираем максимальное, так как только при нем будет обеспечиваться прочность всего поперечного сечения. Округлим полученный размер в соответствии с рядом нормальных линейных размеров Ra40 и примем d 71 мм.

Перевернем сечение на 180° и запишем условия прочности для данного варианта, выразив из них характерный размер:

		M		max			; d 3	9,3		103				78,42мм;
											6
				низ				0,2755		70 10
		Wxc
		M	max		; d 3				9,3103					40,77мм.
												6
			верх					0,4329 317 10
	Wxc

Из полученных значений выбираем максимальное, так как только при нем будет обеспечиваться прочность всего поперечного сечения. Округлим полученный размер в соответствии с рядом нормальных линейных размеров Ra40 и примем d 80 мм.

Определим наибольшие и наименьшие нормальные напряжения в опасном сечении в обоих вариантах расположения сечения.

Исходный вариант:

					Mmax						9,3103			60,0МПа;
				0,4329d3						0,4329 71 10 3 3
					Mmax						9,3103			94,3МПа.
					0,2755d3						0,2755 71 10 3 3
Вариант повернутого сечения:
					Mmax						9,3103			65,9МПа;
				0,2755d3						0,2755 80 10 3 3
					Mmax						9,3103			41,9МПа.
					0,4329d3						0,4329 80 10 3 3
										35

Эпюры распределения нормальных напряжений в обоих вариантах расположения сечения показаны на рис. 5.7.

а

б

Рис. 5.7. Распределение напряжений в опасном сечении.

Как видно из расчета, при повороте сечения не будет достигаться уменьшение его линейных размеров. Наиболее рациональным будет вариант, когда наименьшим допускаемым напряжениям соответствует наибольший момент сопротивления сечения, в этом случае сечение будет более компактным.

Так площади поперечного сечения, определяемые по формуле

A 2d 2 d 2 , 8

будут равны Aвар1 8102,4мм2 и Aвар2 10286, 7 мм2 . Значит площадь

поперечного сечения, а следовательно и масса конструкции будет больше на

	A	Aвар2	Aвар1	100%		10286,7 8102,4	100%	27%.
		Aвар1				8102,4

36

6. Проверочный расчет на прочность при изгибе

Для стального стержня из стандартных прокатных профилей (рис. 6.1.), работающего на изгиб, необходимо построить эпюру перерезывающих сил, изгибающих моментов. Проверить выполнение условия прочности. Построить эпюру распределения нормальных напряжений в опасном сечении стержня с указанием наиболее нагруженных точек. Исходные расчетные данные в табл. 6.1.

Рис. 6.1. Схема нагружения стержня

Таблица 6.1. Исходные расчетные данные

F, кН

q, кН/м

M, кНм

l1, м

l2, м

l3, м

Материал

54

40

25

0,40

1,45

0,25

Сталь 40

Решение.

6.1. Построение расчетной схемы.

Построим расчетную схему стержня. Для этого зададим систему координат, обозначим буквами A, B, C, и D характерные сечения стержня. Вычертим в масштабе стержень с учетом соотношения длин ступеней и заменим опоры возникающими в них реакциями (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Расчетная схема стержня

6.2. Определение неизвестных.

Для определения реакций составим уравнения статического равновесия:

37

M BX 0;

YC

Z 0; ZB 0; ZB 0;

ql1

l1

ql2

l2

M YCl2

l3

F l2

l3 0;

2

2

ql3 l2

2

ql1

l1

ql2

l2

M ql3

l3

F l2 l3

2

2

l2

2

l2

		40 0, 4	0, 4			40 1, 45			1, 45		25		40 0, 25			0, 25
				2						2				1, 45			2
										1, 45
							54 1, 45 0, 25						62,0кН;
						1, 45
	MCX			0; q l1 l2				l1		l2				l	Fl3			0;
										2		YBl2 M ql3 3
								l1						2
					q l1 l2					l2			l
										2		M ql3 3 Fl3
		YB											2
											l2
				0, 4 1, 45
	40 0, 4 1, 45									25 40			0, 25 0,25	54 0, 25
						2							2					56,0 кН.
								1, 45
	Выполним проверку найденных реакций:
		Y 0; q l1 l2 YB YC ql3 F 0;
		40		0, 40 1, 45 56 62 40 0, 25 54 0.

Реакции найдены верно.

6.3. Построение эпюр внутренних силовых факторов. Рассматриваемый стержень имеет три расчетных участка. В

рамках этих участков выберем сечения и определим значения перерезывающих сил Qy(z) и изгибающих моментов Mx(z) (рис. 6.3).

Определим перерезывающую силу и изгибающий момент на первом расчетном участке (0 z1 l1 ) (рис. 6.3, а):

Y 0; qz1 Qy (z1 ) 0; Qy (z1 ) qz1.

38

M x 0; qz1	z1	M x (z1 ) 0; M x
	2
а		б

(z1 ) qz212 .

в

Рис. 6.3. Схемы расчетных участков стержня

Рассчитаем значения перерезывающей силы и изгибающего момента в начале и конце расчетного участка:

z1 0 : q0 0;
Qy (z1 )
z1 l1 : ql1 40 0, 4 16 кН;
	0 :		q 02	0;
z1			2
M x (z1 )		: ql12 40 0, 42
z	l				3,20кНм.
1	1		2	2
Определим перерезывающую силу и изгибающий момент на
втором расчетном участке ( 0 z2				l2 ). Составим расчетную схему

(рис. 6.3, б), запишем уравнение равновесия и выразим внутренние
силовые факторы:
Y 0; q l1 z2 YB Qy (z2 ) 0; Qy (z2 ) q l1 z2 YB .
M x 0; q l1 z2	l1	z2		YB z2 M x (z2 ) 0;
		2

M x (z2 ) q l1 z2 2 YB z2 . 2

Рассчитаем значение перерезывающей силы и изгибающего момента в начале и конце расчетного участка:

	2	0 : q	1	0		B	40		0, 4	0		56	40кН;
z			l			Y
Qy (z2 )		l2 : q l1		l2 YB 40 0, 4 1, 45 56 18кН.
z2

39

				q l1 0 2								40	0, 42
z		0 :						Y		0				3, 2кНм;
						2							2
	2								B
					q l1 l2		2
M x (z2 ) z2		l2	:						YBl2
						2
						40 0, 4 1, 45 2
											56 1, 45 12,75кНм.
							2

Функция изгибающего момента будет иметь экстремум, поскольку перерезывающая сила меняет свой знак в рамках

расчетного участка. Определим положение данной точки:
	Qy (z2 ) q l1 z2						YB 0;
z2	ql1 YB			40 0, 4 56 1м.
	q				40
Рассчитаем значение изгибающего момента в точке перегиба
функции:
M x (z2 1м)		40		0, 4	1 2		56 1 16,8кНм.
				2

Определим перерезывающую силу и изгибающий момент на третьем расчетном участке ( 0 z3 l3 ). Составим расчетную схему

(рис. 6.3, в), запишем уравнение равновесия и выразим внутренние силовые факторы:

Y 0; Qy (z3 ) qz3 F 0; Qy (z3 ) qz3 F.

	M x 0; M x (z3 ) qz3	z	3	Fz3 0; M x (z3 )	qz	2	Fz3.
					3
		2
					2

Рассчитаем значение перерезывающей силы и изгибающего момента в начале и конце расчетного участка:

	z3 0 : q 0 F 54 кН;
Qy (z3 )		l3 : ql3 F 40 0, 25 54 44 кН;
	z3
	0 :	q 02
z3		2	F 0 0;
M x (z3 )	l : ql32			40 0, 252
z			Fl		54	0, 25	12, 25кНм.
3	3	2	3	2
				40

По полученным данным строим эпюры перерезывающих сил и

изгибающих моментов (рис. 6.4, б, в). Как видно из эпюры

изгибающих моментов, опасное сечение находится в точке перегиба

функции момента, где действует наибольший изгибающий момент

Mmax = 16,8 кНм.

а

б

в

Рис. 6.4. Расчетная схема стержня (а) и эпюры:

б– перерезывающих сил, в – изгибающих моментов.

6.4.Определение геометрических

характеристик поперечного сечения стержня.
Сечение стержня составлено из двух
швеллеров №16, эскиз профиля показан на рис. 6.5.
Поскольку	изгиб	происходит	относительно
центральной оси x швеллера, то изменения
положения сечения, при добавлении к нему еще
одного, не происходит.			Рис. 6.5.
		41

Момент инерции составного сечения:

Ix[ ] Ix[ Ix] 2Ix[ ,

а поскольку ymax = h/2, как и в случае одного швеллера, получаем для момента сопротивления сечения:

	I[ ]		I[
W [ ]	x	2	x	2W [ .
x	ymax			x
			ymax

В соответствии с [10], для профиля с уклоном внутренних граней полок Wx[ 93, 4см3 , тогда Wx[ ] 2 93, 4 186,8 см3.

6.5. Проверка выполнения условия прочности.

Стержень имеет постоянное поперечное сечение и изготовлен из пластичного материала – сталь 40 ( = 19% [8, c.646]).

Запишем условие прочности:

max (z) M x max (z) ,

Wx[ ]

где T / n – допускаемые напряжения, Т = 335 МПа [8, c. 646] –

предел текучести материала, n – коэффициент запаса прочности (для пластичных материалов n = 1,5÷3,0). Примем n = 1,5, тогда

3351,5 223МПа.

Проверим выполнение условия прочности:

	max (z)	16,8103	89,9 МПа 223МПа,
		186,8 10 6

условие прочности выполняется, вносить изменения в конструкцию не требуется.

6.6. Построение эпюры нормальных напряжений в

опасном сечении. В соответствии с эпюрой изгибающих моментов,

построенной на сжатом волокне, в нижней части стержня в опасном сечении будет растяжение, в верхней – сжатие. Эпюра показана на рис. 6.6.

Рис. 6.6.

42

7. Проектировочный расчет на прочность плоской рамы

Для стальной рамы (рис. 7.1.) необходимо построить эпюру продольных, перерезывающих сил, изгибающих моментов. Проверить выполнение условия прочности. Построить эпюру распределения нормальных напряжений в опасном сечении с указанием наиболее нагруженных точек. Исходные расчетные данные в табл. 7.1.

Рис. 7.1. Схема нагружения рамы

Таблица 7.1. Исходные расчетные данные

F, кН

l1, м

l2, м

l3, м

Материал

54

0,6

0,2

0,1

Сталь 40

Решение.

7.1. Построение расчетной схемы.

Построим расчетную схему стержня. Для этого зададим глобальную систему координат x–y, обозначим буквами A, B, C, D и H характерные сечения рамы. Вычертим в масштабе раму с учетом соотношения длин ступеней и заменим опору возникающими в ней реакциями (рис. 7.2).

43