Практикум_по_математике(2семестр)

Подставляя найденное выражение в решение (9), имеем:

y e				C2 f (x)e	.
			p( x)dx		p( x)dx

Пример 3.3. Решить уравнение y 3y e2 x методом вариации постоянной.

Решение.

y 3y 0,

dy

3 dx,

ln

y

3x ln

C1

,

y C1e 3x

y

или

y Ce 3x .

Пусть C=C(x),

тогда

y C(x)e 3x

подставим

в

исходное

уравнение:

3x

3x

3x

2 x

5x

1

5x

C (x)e

3C(x)e

3C(x)e

e

,

C (x) e

, C(x)

e

C2 .

5

Подставив полученный результат в уравнение

y Ce 3x ,

найдем

решение:

y

1

e5x

C2

e3x

1

e2 x C2e 3x .

(12)

5

5

3.3.2. Метод Бернулли. Решение неоднородного дифференциального уравнения (8) ищется в виде произведения двух неизвестных функций:

y(x) u(x)v(x) ,

тогда
u (x)v(x) u(x)v (x) p(x)u(x)v(x) f (x)
и уравнение (5) примет вид:
		(13)
u (x) u(v p(x)v) f (x)
(здесь u u(x) , v v(x) ).
Выберем функцию v	так, чтобы выражение в скобках равнялось
нулю:

v (x) p(x)v 0.

91

Тогда

				dv	p(x)dx èëè v e p( x)dx .
				v
Уравнение (13) примет вид:
						u v f (x) .
После разделения переменных, получим
	du		f (x)			u	f (x)	dx C,
	dx		v(x)				v(x)

тогда

y v(x) f (x) dx C. v(x)

Учитывая найденное значение функции v(x), имеем формулу (12).

Пример 3.4. Решить уравнение y 3y e2 x методом Бернулли.

Решение. Положив y(x) = u(x)v(x) получим: u (x)v(x) + u(x)(v (x) + 3 v(x)) = e2x

Приравняв к нулю выражение в скобках, имеем уравнение:

	dv			dv	3 dx;			3x
v (x) 3v(x) 0;		3dx;				ln v 3x;	v e
	v			v

(константу интегрирования не берем, так как нас устраивает любая функция, превращающая в нуль скобку). Теперь вернемся к

исходному уравнению:

u (x)v(x) = e2x или u (x)e–3x = e2x.

Разделив переменные в этом равнение, получим

	du e5xdx или u				1	e5 x C.
				5
	В результат решение примет вид
	1			e 3x			1	e2 x Ce 3x .
	y(x) u(x)v(x)		e5 x C
	5						5

Решить уравнения.
292.	xy y x2 cos x .	293. y 2xy xe x2 .
294.	y cos x y 1 sin x .

92

y

y 0 0 .

295.

1 x2

y arcsin x ;

296.

y

y

x ln x ; y e

e2

.

2

x ln x

1

297.

y

3ytg 3x sin 6x;

y 0 3 .

*

Решить уравнения, приняв за неизвестную функцию x .

298.* y4

2x y y .

299.* 2xy 3 dy y2dx 0.

300.*

Сила тока в цепи с сопротивлением R , индуктивностью L и

электродвижущей силой E

удовлетворяет дифференциальному

уравнению L dJdt RJ E . Найти зависимость силы тока от времени

t , считая R и L постоянными; если электродвижущая сила возрастает

пропорционально времени, т.е. E kt , сила тока в начальный момент времени равна нулю.

ОТВЕТЫ

292. y x sin x c .

294. y cos x x c .

1 sin x

296. y 12 x2 ln x .

298.* x cy2 y4 .

2

300.* J t Rk t RkL2 e RL t 1 .

293.y e x2 x2

2

295. y e arcsin x

297.* y cos3x

c .

arcsin x 1.

		2
1			cos3x .
		3

299. x cy2 1y .

93

3.4. Уравнение Бернулли
y p(x) y f (x) yn	(n 0, 1).	(14)

Метод решения

Разделим обе части уравнения (14) на yn :

yn p(x)

1

f (x)

yn 1

и сделаем замену:

1

y

yn 1 z, z

(1

n) yn .

Таким образом, уравнение Бернулли свели к линейному

неоднородному уравнению.

1

y y2 .

Пример 3.5. Решить уравнение 3y

Решение.

1

2

2

3

3

2

y y2 (: y

y

1,

z y

3y

3y

),

3y y

, z

y ,

z z 1,

dz

1 z,

dz

dx,

dx

1 z

ln

z 1

x ln c z 1 c e x

;

z 1 c e x ,

y 3 1 c e x .

1

1

1

1

Проинтегрировать уравнения Бернулли:

301. xy y xy2 .

yy 4x y2

302.

x 0.

Найти интегральные кривые, проходящие через точку 0;1 , для дифференциальных уравнений.

303.y xy x3 y2 .

304.y 3x2 y y2 x3 1 sin x . x3 1

94

305. y y e	x				9
			y ; y 0
	2					. Найти частное решение данного
					4

дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.

ОТВЕТЫ

301.	y		1			.
			x ln cx
	1	2 x2				e		x2
303.							2 .
	y
			1						2
305.	y e x					ex 1 .
			2

302.	x	y4		ln2 cx .
	4
304.	y		sec x		.
			x3 1

3.5. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

1) уравнение вида y f (x)

Введем новую функцию z(x) y , тогда

z (x) f (x) ,

y

z(x) f (x) c1

y

f (x) c1 dx c1x c2 .

Пример 3.6. Решить уравнение

y x .

Решение. y

x2

c1;

y

x3

c1x c2 .

2

6

2) уравнение вида

y

f (x, y )

Пусть z(x) y , тогда

z f (x, z) z (x, c1) , так как

z y y (x, c1 )dx c2 .

95

Пример 3.7. Решить уравнение y 3 yx x .

Решение. Пусть z(x) y . Тогда получаем уравнение z 3xz x

(линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка).

Решая его, найдем z(x) :

z(x) c x3

x2 ,

следовательно

1

1

2

,

1

x4

x3

2 .

y

c x

3

x

2

dx c

y c

c

4

3

3) уравнение вида y

( y, y )

Введем новую функцию: y p (p=p(y)),

тогда

y

p ,

p

т.е.

p p f ( y, p) p ( y, c1 )

dy

dy

dx,

dy

x c2.

( y, c )

( y, c )

dx

1

1

Пример 3.8. Решить уравнение yy 2y 2

0 .

Решение. Произведем

замену

y p ,

в

результате

придем к

2

.

уравнению yp p 2 p

Если в этом уравнении

уравнение выполнено и

y (x) p(x) 0,

получаем решение у(х) = С.

После сокращения на р получаем уравнение с разделяющимися

переменными

yp 2 p,

dp

2

dy

, ln

p

2 ln

y

ln C1; p C1 y2.

p

y

Пришли к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными

y C1 y2 ;	dy	C1dx,		1	C1x C2 ,	y		1	.
	y2			y
							C x C
							1	2

96

Знак минус внесли в произвольные константы С1 и С2. Отметим, что полученное промежуточное решение практически является частным для последнего более общего решения. Исключением является решение у(х) = 0, которое является решением уравнения, но не входит в последнее решение.

Решить дифференциальные уравнения.

306.	y xe x ; y 0 1,				y 0 0 .
307. y x2 sin 2x .					308.
309.	y			sin 2x .	310.
			y tgx
311. 1 y 2				2 yy .	312.
313.	3 y 2 4 yy y2 .
					ОТВЕТЫ
306.	y x 2 e x x 1.

xy y ln		y
			.
xy y .		x

yy y 2 y2 y .

307.	y	x5				1		cos 2x							c1		x2	c2 x c3 .
		60													2
					8
	y	1					1 c x					1				1 c x		c
308.					xe 1										e		1
			c										c2					2 .
		1										1
309.	y x						sin 2x						c1 sin x c2 .
					2
310.	y c x2 c .																	311. x c	2	4c			y c			.
		1									2							2				1			1
	c1x c2 ln											y						313. y c2 cos			4			x
312.																.						c1			.
											y c1													4

97

3.6.	Линейные однородные		дифференциальные	уравнения
с постоянными коэффициентами
	Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения вида
				(15)
	y	py qy 0 ,
где	p, q R . Уравнение (15)		называется однородным линейным

дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для нахождения решения этого уравнения составляется характеристическое уравнение:

	2 p q 0.	(16)
Теорема 3.2
Пусть 1, 2 – корни характеристического уравнения (16).
1) если 1 2 ,	1, 2 R , то любое решение (15)	имеет вид:

y c1e 1x c2e 2 x ;

2) если 1 2 , 1, 2 R , то любое решение (15) имеет вид:

y c1e 1x xc2e 2 x ;

3) если 1, 2 C, 1 i , 2 i , то любое решение (15) имеет вид:

y e x c1 cos x c2 sin x .

Замечание. Решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами является линейной комбинацией так называемых фундаментальных решений, получаемых из характеристического уравнения. Такое решение называют общим.

Пусть 1, 2 – корни характеристического уравнения (16).

1) если 1 2 , 1, 2 R , то фундаментальная система состоит из функций e 1x , e 2 x ;

98

2) если 1 2 ,	1, 2 R , то фундаментальная система состоит из
функций e 1x ,	xe 1x ;
3) если 1, 2 C, 1 i , 2		i , то фундаментальная система
состоит из функций e x cos x,		e x sin x.

Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, порядок которых выше второго, является линейной комбинацией так называемых фундаментальных решений, получаемых из характеристического уравнения.

Если является вещественным корнем кратности k, то в фундаментальную систему решений войдет ровно k функций:

e x , xe x ,..., xk 1e x .

Если же i – комплексный корень характеристического уравнения кратности m, то в фундаментальную систему решений войдет ровно 2m функций:

e x cos x, xe x cos x,..., xm 1e x cos x, e x sin x, xe x sin x,..., xm 1e x sin x.

Всего фундаментальных решений должно получиться точно равным порядку дифференциального уравнения.

Примеры 3.9. Найти общее решение уравнений:

1) y 3y 2y 0 ; 2) y 2y 5y 0; 3) y 3y 3y y 0 .

Решения.

1) рассмотрим уравнение y 3y 2y 0 , его характеристическое

уравнение	2 3 2 0	имеет	корни	1,		2,
				1	2

следовательно, решение имеет вид:

y c1e x c2e 2x ;

2) для уравнения y 2y 5y 0 характеристическое уравнение

имеет вид 2 2 5 0 , его корни		1 2i,	следовательно,
	1,2
решение имеет вид:

y e x c1 cos 2x c2 sin 2x ;

99

3) уравнение		3 3 2 3 1 0 является характеристическим для
y 3y 3y y 0 , его			решением является		1 кратности
s 3, следовательно, решение исходного уравнения имеет вид:
		y C C x C x2 ex .
		1	2	3
Найти общее решение дифференциального уравнения.
314.	y 7 y 12y 0.		315.	y 6 y 9 y 0.
316.	y 2y 2y 0 .		317.	yIV 2 y 2 y y 0 .
318.	yVI yIV	0.	319.	y IV 6 y 5y 0 .
320.	yIV 6y 9y 0 .
			ОТВЕТЫ
314.	y c e3x c e4 x .		315.	y c e 3x c xe 3x .
	1	2		1	2

316.y ex c1 cos x c2 sin x .

317.y c1ex c2e x c3 xe x c4 x2e x .

318.y c1 c2 x c3 x2 c4 x3 c5 cos x c6 sin x .

319.y c1ex c2e x c3e5x c4e 5x .

320.y c1e 3x c2 xe 3x c3 x2e 3x c4ex cos 2x c5ex sin 2x .

3.7. Линейные неоднородные		дифференциальные		уравнения
с постоянными коэффициентами y			py gy f (x)
Теорема 3.3
Общее решение уравнения
		gy f (x)		(17)
y	py

есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

100