Практикум_по_математике(2семестр)

x3

x2

x2

x 1

74.

ln

c .

3

2

x

75.

ln

x 1

ln

x2

2x 2 arctg x 1 c .

76.

2ln

x 2

ln x2 4x 8

5

arctg

x 2

c .

2

2

77.

2ln

x 1

1

ln x2

2x 10

2

arctg

x 1

c .

1

3

2

x

3

3

78.*

x

arctg x

c .

2

2

1 x2

79.*

80.*

81.*

1			ln		x2	x	2 1				1			arctg	x2 1				c
																				.
				x2		x	2 1
4 2											2 2				x 2

1		arctg x ln
2 x2 1
x				5x
6 1 x2 3				24 1 x2 2

x c .

	15x			15	arctg x c .
	48 1 x2			48

1.4.Интегрирование

выражений вида R x, k

дробно-линейных иррациональных

ax b			m
cx d

В некоторых случаях интегралы от иррациональных функций удаётся рационализировать, т.е. с помощью подходящей подстановки свести к интегралам от рациональных дробей.

Рассмотрим некоторые типичные случаи.

1. R x, nxm , qx p , s xr ,... dx.

В этом случае подстановка x tk , где k HOK(n, q, s...) преобразует подынтегральное выражение в рациональную дробь.

21

2. R x, n(ax b)m , q(ax b) p , s (ax b)r dx .

Подынтегральное выражение приводится к рациональной дроби с помощью подстановки

ax b tk , где k HOK(n, q, s) .

Пример 1.9. Свести интеграл 3x 1 x 1 dx к интегралу от рационального выражения.

Решение. 3

dx

k HOK (3, 2) 6,

t2 t3 5t5dt.

x 1

x 1

x 1 t6 ,

dx 6t5dt,

ax b

m

ax b

r

3.

R x, n

,

q

dx.

cx d

cx d

Подстановка tk

ax b

,

k HOK(n, q, s) .

cx d

Пример 1.10. Найти интеграл

1 x

dx

.

1 x

x

Решение.

Сделаем подстановку

1

x

t2 .

1

x

Отсюда 1

x

1

x t2

, т.е. x

1

t2

и значит

1

t2

dx

4t

dt.

1

t2

2

Таким образом,

22

																											1 t2 4t
	1 x											dx			t																													dt
																							1			t		2			1					t				2
1 x x
															t	2		1									dt																	dt
4
						t				2					1 t						2	1													t	2		1 t									2
																																																1
													dt									1											1										1
4																																														dt
									t		2			1											2						2										2
																											t							1 t											1
4				dt											2					dt							2						dt																		1
																																								2 arctgt													ln
			t	2	1														t	2	1									t		2		1																	2

t 1 C t 1

																							1	x		1
2arctg										1						x			ln			1		x					C						2arctg												1		x
									1							x																													1				x
																						1		x	1
																						1		x
ln				1					x					1					x				C		2arctg				1						x								ln		1				x					1		x			C.
		1							x					1					x										1						x										1				x					1		x
Найти интегралы.
82.						dx									.											83.									x								dx .
		1								x																			1
																																					x
84. x																										85.						2 x											dx .
							1 x dx .
																																		x									dx
86.						x	3																			87.*
												dx .																																									.
																																															x 1 3
							1
						x																											1 x

23

88.* x

x 1

dx .

89.*

x 3

dx .

x 1

x

2

2x

3

x 1 x 1

90.*

dx . 91.

1 1 x

dx .

2

x 1

x 1

x

x

ОТВЕТЫ

82.2 1 x 2ln 1 x c .

83.x 2x 2ln 1 x c .

84.152 3x2 x 2 1 x c .

								2 x			2			c
85.	2 2 x 2 ln														.
								2 x
										2

						x 1 3		3 x 1 2
	86.	2 x 1							x	c	.
						7		5

87.* 2arctg x 1 c .

x2 1

x 2

1

88.*

ln

x

x2 1

c .

2

2

89.*

2x 3

c .

x2

x

c .

1

90.*

x

x2 1 ln

x

x2 1

2

2

1 x 3

91.*

c .

3

x

1.5. Интегрирование тригонометрических выражений

24

1) универсальная тригонометрическая подстановка. Рассмотрим неопределённый интеграл

R sin x, cos x dx .

Интегралы такого вида с помощью универсальной подстановки tg 2x t

сводится к интегрированию рациональной функции. При этом используются следующие равенства:

sin x		2t		, cos x	1 t2		, x 2arctgt	, dx	2dt
											.
		t	2		1 t	2			1 t	2
1

В результате указанной замены переменной получим:

2t

1 t

2

2dt

R sin x, cos x dx R

,

R1 (t)dt ,

2

2

2

1

t

1 t

1 t

где R1 (t) – рациональная функция переменной t.

Пример 1.11. Найти

dx

I.

1 sin x cos x

Решение. Полагая tg

x

t, будем иметь:

2

2dt

dt

x

I

1 t2

ln

1 t

C ln

1 tg

C.

2t

1 t2

1 t

2

1

1

t2

1 t2

2) универсальная тригонометрическая подстановка очень часто приводит к сложным выкладкам, поэтому используются следующие правила.

Если имеет место тождество

R sin x, cos x R sin x,cos x ,

то для приведения интеграла (1) к рациональному виду можно применить подставку tg x t. Здесь

sin x			t		, cos x			1
			t2					t2
1				1

25

и

x arctg t,

dx

dt

.

t2

1

Пример 1.12. Найти

dx

I.

1 sin2 x

Решение. Полагая

tg x t,

sin

2 x

t2

,

dx

dt

,

1 t2

1 t2

будем иметь:

d t

I

dt

dt

1

2

2

1 2t2

2

t

2

t

2

1 t2 1

1

1 t

2

1

t

C

1

arctg

tg x C.

arctg

2

2

2

2

Заметим, что данный интеграл вычисляется более быстро, если предварительно числитель и знаменатель дроби разделить на cos2 x .

К указанному типу интегралов относятся интегралы вида

sinn x cosm xdx In,m ,

(2)

где m и n целые четные числа.

Пример 1.13. Найти интеграл

tg 4 x dx .

Решение. 1 способ.

1

tg3 x

tg4 x dx

tg 2 x

1 dx

tg 2 x dx

cos2 x

3

tg3 x

1

tg

3 x

1 dx

tg x

x C.

3

cos2 x

3

2 способ. Пусть tgx t,

dx

1 tg 2 x

dx dt , dx

dt

.

2

2

cos

x

1 t

Тогда

26

tg 4 x dx

t4

dt

t4 1 1

dt t 2 1 dt

1

dt

1 t

2

2

1 t

2

1 t

1

t3

t arctgt c

tg3 x

tg x x C.

3

3

3) можно также использовать формулы тригонометрии для упрощения подынтегрального выражения в (1.2), в частности, формулы понижения порядка:

sin2 x	1 cos 2x	,	cos2 x	1 cos 2x	,	cos x sin x	sin 2x
								.
2			2			2

Пример 1.14. Найти интеграл cos2 3xsin4 3xdx.

Решение.

cos2 3xsin4 3xdx cos3xsin 3x 2 sin2 3xdx

				sin2			6x					1 cos 6x				1					sin2 6x sin2 6x cos 6x dx
														dx
						4							2			8
	1			1 cos12x															1 x					sin12x		1
											sin2		6x cos 6x dx															sin3	6x	C.
	8					2													8 2					24		18

4) если в интеграле (2) хотя бы одно из чисел n или m – нечетное, то от нечетной степени отделяется множитель и вводится новая переменная.

В частности, если m 2k 1, то

In,m sinn x cos2k 1 xdx sinn x cos2k cos xdxsinn x(1 sin2 x)k d (sin x) un 1 u2 du.

Полученный интеграл находится непосредственно, как интеграл от алгебраического многочлена.

27

	Пример 1.15. Найти интеграл sin10 x cos3 xdx.
	Решение.
			sin10 x cos3 xdx												sin10				x 1 sin2 x d															sin x									sin11 x								sin13 x				C.
																																													11								13
	Пример 1.16. Найти интеграл																												dx			.
																												sin3 x
	Решение.
									dx											sin x										dx										dt
										3																			2																2
								sin x
																		1 cos					2		x													1 t			2
	1			1		1						1									1												1						1 t								1						1
=																										dt											ln																		C
	4			1 t		1 t					1	t				2				1 t				2									4						1 t								1 t						t
																																																	1
									1				1 cos x														1											1							C.
						=				ln
									4				1 cos x																					1
																					1 cos x																cos x

5) неопределённые интегралы вида sin axsin bxdx, cos ax cosbdx,

sin ax cos bdx с помощью тригонометрических формул:

sin sin	1		cos cos ;
	2
cos cos	1			cos cos ;
	2
sin sin	1		sin sin .
	2

приводятся к интегралам:

cos kxdx cos k 1k d (kx) k1 sin kx C,

sin kxdx 1k cos kx .

Пример 1.17. Найти интеграл sin 9xsin x dx .

Решение.

sin 9xsin x dx 12 cos8x cos10x dx 161 sin8x 201 sin10x C.

28

Найти интегралы.

dx

92. 4sin x 3cos x 5 .

dx

94. 5cos x 3 .

2 sin x

96. 2 cos x dx .

98. sin4 x cos2 x dx . 100. sin2 x cos2 x dx .

102. sin6 x dx .

dx

104. 3sin2 x 5cos2 x .

106. sin3 xcos x dx .

cos3 x dx

108. sin4 x .

110. sin4 x cos5 x dx. 112. sin 3xcos 6x dx

xx

114.cos 2 cos 3 dx

116.* cos x cos 2x cos 4x dx .

x

118.* tg 4 2 dx .

120.* ctg6 x dx .

dx

93. sin x .

dx

95. 1 sin x .

dx

97. 2sin x cos x 5 .

99. cos4 x dx .

101. sin5 x dx .

dx

103. 1 sin2 x .

dx

105. sin5 x cos x .

dx

107. sin xsin 2x .

sin 2x dx

109. cos7 x .

111. sin 2x cos5x dx .

113. sin 3xsin x dx .

115. sin 5xsin 4x dx .

117.* ctg3 3x dx .

119.* tg7 x dx .

29

																												ОТВЕТЫ
						1								c .																								x				c .
92.																														93. ln							tg
						x																																2
		tg								2
						2
										tg			x			2															2
	1																																									c .
				ln						2									c .
94.																													95.										x
	4												x																						1 tg
										tg						2
																																						2
													2
																														tg		x
	ln 2 cos x																						4					arctg
96.																																2			c .
																															3
																			3
																	3tg		x		1
	1
97.								arctg											2								c .
				5															5
	1										sin 4x											sin				3		2x
98.						x																							c .
	16									4									3

99.83 x 14 sin 2x 321 sin 4x c .

100.18 x 321 sin 4x c .

101.c 15 cos5 x 23 cos3 x cos x .

102.165 x 14 sin 2x 643 sin 4x 481 sin3 2x c .

	1			arctg	2tgx c .			1
103.							104.				arctg
	2							15

105. c 14 ctg4 x ctg2 x ln tg x .

3tgx c

.

5

30