Практикум_по_математике(2семестр)

2.3. Тройной интеграл. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Вычисление тройных интегралов 1) в декартовой системе координат

					Рассмотрим				область
				V , ограниченную снизу и
				сверху			поверхностями
				z z1 (x, y)			и z z2 (x, y) ,
				а	с	боковых			сторон
				цилиндрической
				поверхностью (рис. 15).
					Пусть		область			D	–
				проекция			области			V	на
				плоскость				хОу.	Пусть
				каждая					прямая,
				параллельная оси						Oz,
				пересекает				верхнюю			и
				нижнею границу области
				V	не	более		чем	в	двух
				точках.
Рис. 15
Тогда, для любой функции		f (x, y, z) , непрерывной в области D ,
имеет место формула:
		z2	( x, y)
f (x, y, z)dxdydz dxdy				f (x, y, z)dz I (x, y)dxdy,
V	D	z1 ( x, y)				D
	z2 ( x, y )
где I (x, y)dxdy	f (x, y, z)dz .
D	z1 ( x, y )

В случае, когда область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми x = a и x = b (a < b), а снизу и сверху – непрерывными кривыми y = 1(x) и y = 2(x) [ 1(x) 2(x)], каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке, можно от полученного двойного интеграла перейти к повторному интегралу:

71

Рис. 17

	b
	f (x, y, z)dxdydz dx
V	a

2) в цилиндрических координатах

y2 ( x )	z2	( x, y )
dy		f (x, y,

y1 ( x ) z1 ( x, y )

	x cos ,
		0 ,
	y sin ,	z .
	z z.

z)dz .

0 2 ,

Положение точки M(x, y, z) определяется тремя координатами: и– полярные координаты проекции

Рис. 16 точки M на плоскость xOy и z – аппликата точки M(x, y, z).

К данным координатам переходят, если проекция области V на плоскость xOy является кругом или частью круга.

Так же как в двойном интеграле при переходе к цилиндрической

системе появляется множитель :

f (x, y, z)dxdydz f ( cos , sin , z) d d dz.

V V

3) в сферических координатах

x cos cos ,y sin cos ,

z sin .

0 , 0 2 , - /2 /2.

Положение точки M(x, y, z) определяется тремя числами: –

радиус-вектор точки M(x, y, z), – угол между проекцией радиус-вектора на плоскость xOy и осью Ox, – угол между радиус-вектором и проекцией радиус-вектора на плоскость xOy.

При этом если параметры и не могут выходить за рамки указанных значений, то угол может меняться и в других пределах, лишь бы его изменение не превосходило 2 .

72

К данным координатам переходят, если область V является шаром или его частью.

При переходе к сферической системе появляется множитель

2cos :

f (x, y, z)dxdydz f ( cos cos , sin sin , sin ) 2 cos d d d .

V V

Пример 2.9. Вычислить тройной интеграл (x y z)dxdydz ,

V

где V (x, y, z) | x 1, x 1, y 0, y 1, z 0, z 2 (рис 18).

Решение.

z

2

1 y

1

x

Рис. 18

		1	1	2	1	1		z	2	2
	(x y z)dxdydz dx dy (x y z)dz dx dy xz yz									|
								2
	V	1	0	0	1	0				0

1	1			1						1	1	1
dx dy(2x 2 y 2) dx							2				dx dy(2x 2 y 2)
						2xy y		2 y |0
1	0			1							1	0
1				1	1					1
		2			(2x 1)dx			(x	2
dx 2xy y			2 y |0							x)| 1 2.
1					1
	Пример 2.10. Вычислить тройной интеграл (x y z)dxdydz ,
						z 0, x y z 1						V
где V (x, y, z) | x 0,				y 0,							(рис.19).

73

Решение.

Рис. 19

					1		1 x		1 x y
(x y z)dxdydz dx								dy		(x y z)dz
V					0		0		0
1	1 x		z	2		1 x y
dx		dy xz yz				|
			2
0	0					0

1	1 x		1	1	x y	2	1
dx x x2		xy y yx y2				dy ...		.
0	0		2				8

Пример 2.11. Вычислить тройной интеграл (x2 y2 )dxdydz ,

V

где V (x, y, z) | z x2 y2 , z 1 (рис. 20).

D: x2 + y2 1 – проекция области V на плоскость хОу. Поэтому переходим к цилиндрической системе координат:

x2 y2 ( cos )2 ( sin )2 2 ,

0 2 , 0 1 . Так как 2 z 1,

то получаем следующий интеграл:

(x2 y2 )dxdydz.

V

Рис. 20

74

								2			1			1	2	dz
	Решение.	(x2	y2 )dxdydz d d
		V						0			0		2
2	1		2			4			6	1		1		2			.
d 3 (1 )d d										|				d
0	0		0		4			6		0		12		0			6

Пример							2.12.		Вычислить								тройной						интеграл
(x2 y2 z2 )dxdydz ,									где V – шар: x2 y2									z2			R2 (рис. 21).
V
									Решение. ( cos cos )2										+		( sin cos )2 +
									( sin )2 = 2,
									0 R2, 0 2 , - /2 /2.
															2
				θ			Μ			2									R
					ρ																4
		φ								d							cos d					d .
							Μ/
										0									0
																2
									(Все три интеграла можно вычислять
									отдельно, так как они независимы.)
Рис. 21
2								R	2				5						5				4 R
														|		R	2R			2				.
d				cos d 4d 2 d
	2																							5
0		2					0		0	5					0			5					5

Вычислить интегралы.

		dxdydz		,
254.		x y z 1	2		где	D	–	область,	ограниченная
	D
плоскостями x 0, y 0, z 0, x y z 1.
255.	y cos(z x)dxdydz,				где	D	–	область,	ограниченная

D

цилиндром

y x и плоскостями y 0, z 0, x z 2 .

75

256. xydxdydz, где D – область, ограниченная гиперболическим

		D
параболоидом z xy и плоскостями z 0, (z 0), x y 1.
Перейдя в тройном интеграле											к цилиндрическим координатам ,
или			к					сферическим						координатам			, ,
(x cos cos ,							y sin cos ,						z sin )			вычислить
интегралы:
257.	zdxdydz,							если область D ограничена поверхностями
		D
z x2 y2 и z = h, h > 0.
258.	x2dxdydz, если область D – шар x2 y2															z2 R2 .
		D
									ОТВЕТЫ
	1				5								2	1
			ln 2													256. 1/180.
														2 .
254.	2				8 .				255.		16
	h4									3 2 R5
257.	.							258.				.
	4								40

2.4. Некоторые приложения тройного интеграла

1)	V dxdydz
	V
– формула для вычисления объема тела V .
2) механический смысл тройного интеграла.
Пусть в области V	распределено вещество, объемная плотность

которого выражается непрерывной функцией f (x, y, z) 0 .

76

Тогда масса этого тела равна

m f (x, y, z)dV .

V

259.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

цилиндрами z 4 y2 ,			z y2		2	и плоскостями x 1,					x 2 .
260. Найти массу	тела			с	плотностью				z , ограниченного
поверхностями x2 y2		4,		z 0,		z	x2	y2		.
								2
				ОТВЕТЫ
			8
259. 8.	260.
			3	.

2.5.Криволинейные интегралы по длине (первого рода)

Рассматриваются интегралы вида

I f (x, y)dl ,

AB

где AB – контур интегрирования, которые называют криволинейными интегралами 1 рода.

1) пусть гладкая кривая AB задана параметрическими уравнениями:

x (t)	, t t( A) , t(B) .
y (t)

Тогда криволинейный интеграл 1 рода может быть вычислен сведением к определенному интегралу по следующей формуле:

f (x, y)dl				2		2
		f (x(t), y(t)) (t)			(t) dt .
AB
Замечание. Если	AB –	пространственная			кривая		f (x, y, z) , то

интеграл вычисляется по аналогичной формуле.

77

В частности:
б) если кривая задана	уравнением y y(x),		a x b, y(x) –
непрерывно дифференцируемая функция, то
f (x, y)dl f (x, y(x))		1 y 2 (x)dx ,
AB

где 1 y 2 (x)dx – длина дуги.

б) если кривая	задана	уравнением в	полярных координатах
( ), ,		( ) – непрерывно дифференцируемая
функция, то:
f (x, y)dl f ( cos , sin )			2 ( ) 2 ( )d ,
AB

где 2 ( ) 2 ( )d – длина дуги.

Пример 2.13. Вычислить криволинейный интеграл

		x a cost	, 0 t
	где	AB :				.
		y a sin t			2
		Решение.
								a3
	y2dl 2 a2 sin2 t								2
				a2 sin2 t a2 cos2 tdt						(1 cos 2t)dt
	AB	0				2			0

y2dl ,

AB

a3 . 4

Пример	2.14.			Вычислить									криволинейный интеграл ydl ,
																												AB
AB – часть дуги		y2		2x от точки (0,0) до точки (2,2).
																1					2	1
Решение.							y			2x, y										, y		2x .
																	2x
	2												2
							1				1													1
ydl					1			dx										d (2x 1)
			2x												2x 1											(5	5 1).
AB	0						2x				2		0									3

78

Вычислить интегралы.

261. xydl , где L – контур прямоугольника с вершинами А(0,0),

L

B(4,0), C(4,2), D(0,2).

262.

2 ydl ,

где

L

–

первая

арка

циклоиды

L

x a(t sin t), y a(1 cost) .

263.

arctg

y

dl , где L – часть спирали Архимеда

2 , заключенная

L

x

внутри круга радиуса R с центром в начале координат (в полюсе).

x

264.

x2 y2 dl , где

L

–

линия, заданная

уравнением

L

x2 y2 2

a2 x2

y2 , (x 0) (половина лемнискаты Бернулли).

ОТВЕТЫ

1

2

32

261. 24.

262. 4 a

a .

263.

R

4

8 .

12

264. 2a3 23 .

2.6. Криволинейные интегралы по координатам (второго рода)

Рассматриваются интегралы вида

P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy

AB AB AB

– в случае плоской кривой и

P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz

AB

– в случае пространственной кривой, называются криволинейными интегралами 2 рода.

1) пусть гладкая кривая AB задана параметрическими уравнениями:

x x(t),	t ,
y y(t), t( A) ,		t(B) .

79

Тогда

	P(x, y)dx Q(x, y)dy
		P(x(t), y(t))x (t) Q x(t),
AB

2) если кривая AB задана уравнением вида y y(x), y(x) – непрерывно дифференцируемая функция, то:

y(t) y (t) dt.

a x b , где

P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y(x)) Q x, y(x) y (x) dx ,
AB
так как dy y (x)dx .

Криволинейный интеграл второго рода обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла. Однако при перемене направления интегрирования криволинейный интеграл второго рода меняет знак, поскольку в этом случае изменяются знаки проекций элементарных дуг на координатные оси:

Pdx Pdx, Qdy Qdy .

AB

BA

AB

BA

Замечание. Если кривая замкнута, интеграл обозначается:

Pdx Qdy,

L

причем направление положительное, если область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление условимся считать

отрицательным.
		Если кривая AB лежит в плоскости, перпендикулярной оси OX ,
то
				P 0	(все xi		0 ).
				AB
Аналогично,
			Q 0	(если yi	0 , т.е.		AB OY ).
			AB
	Пример		2.15.	Вычислить			криволинейный интеграл
	2	dx xydy ,		x cost,		0 t
	x		где AB :						.
AB				y sin t,				2

80