Практикум_по_математике(2семестр)

где k – знаменатель дроби р;

3-й случай

если

m 1

p – целое число, то применяется

n

подстановка

a + bxn = xntk,

где k – знаменатель дроби р.

13.

Универсальная подстановка tg

x

t .

R sin x, cos x dx

2

Если R(-sin х, cos x) = - R(sin x, cos x),

то подстановка cos x = t.

Если R(sin х, - cos x) = - R (sin x, cos x),

то подстановка sin x = t.

Если R(-sin х, - cos x) = R(sin x, cos x),

то подстановка tgx = t.

14.

Применяется подстановка th

x

t . При этом

R shx, chx dx

2

shx

2t

,

chx

1 t

2

,

dx

2dt

.

1 t

t2

1 t2

2

1

1.8. Формула Ньютона-Лейбница

Если F x f x , то

b

b

F b F a .

f (x)dx F (x)

a

a

F x

Первообразная

вычисляется путем нахождения

неопределенного интеграла

f x dx F x C .

3

Пример 1.22. Вычислить интеграл

x4 dx .

1

3

5

5

5

Решение. x4dx

x

3

3

1

48

4

.

1

5

1

5

5

5

Вычислить интегралы.

41

	2														1			2
146.					x																	dx .						147.
	1														x
	0													dx
148.																						.						149.
	3										25 3x
	4										dx
150.																		.										151.
						x				2			4
	3
		2
	2												dx
152.																				.
											1 x2
	0
																												ОТВЕТЫ
146.	4			5				.											147.				45			1	.
				6
																										6
					1				ln					13		.							1		ln			5	.
149.																			150.
																								4				3
				5									3
152.	4 .

9					1					dx .
			x						x
4
3				dx
						.
		2 5x
1
1				dx
								.
				x2 3
0

2

148. 3 .

151. ln 3 .

1.9. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 1.4

Если:

1)функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] ;

2)отрезок [a, b] является множеством значений функции x (t) , определённой на отрезке [ , ] и дифференцируемой на нём, причем

(t) непрерывна на [ , ];

3) ( ) a, ( ) b ,

то справедлива формула:

b
f (x)dx f [ (t)] (t)dt				.
a
		x	dx

2

Пример 1.23. Вычислить интеграл 4x 1dx .

0

42

Решение.

1способ.

2

4x 1dx

dx

0

1

32

=

6

5

2способ.

4x 1 t

dx

1

dt

1

4

4

x 0,

t 1

x 2,

t 9

3 способ.

4x 1 t2

dx

1

tdt

2

x 0,

t 1

x 2,

t 3

	1						2		(4x 1)32			2
		d (4x 1)
	4						3 4
												0
	1			1	(27 1)			13		.
			6						2

	9			1		2		3		9		26		13
		tdt
							t	2
														2 .
	1			4		3				1		6

		1	3	1		3	26		13
			t2dt		t3
		2		6			6			2 .
			1			1

Вычислить интегралы.

4dx

153.0 1 x .

1

155. 4 x2 dx .

0

4

157.tgx dx .

4

		1	ex dx
	159.						.
			1 e		2 x
		0
		9
				1 x
	161.	2						dx .
		0		1 x

2

154.sin x cos2 x dx .

0

2

156.	e			dx			.
			x ln x
	e
	1
					x dx
158.										.
	0			1 x

160. ln 2 ex 1 dx .

0

2 dx

162.0 3 2cos x .

43

ОТВЕТЫ

	4 2ln 3					.					1	.					3			.
153.									154.					155.
											8				3		2
156.	ln 2 .								157. 0.					158.	2ln 2 1.
						.							.	161.*
159.* arctg e										160.* 2								3	1.
						4							2		6		2
*	2				arctg	1				.
162.
	5					5

1.10. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла

Теорема 1.5
Если функции	u u(x) ,			v v(x) имеют непрерывные
производные на отрезке [a, b] , то справедлива формула:
b				b
			b
uv dx uv			a vu dx.
a				a

Вычислить интегралы.

2

163. x ln x dx .

1

165. ln 2 xe x dx .

0

4

167.x sin 2x dx .

0

a

169. a2 x2 dx .

0

164. x sin x dx .

3

166. ln x 3 dx .

0

2

168. ex sin x dx .

0

170. x2 cos x dx .

0

44

	1									1
171.	x arctg x dx .							172.		arcsin x dx .
	0									0
							ОТВЕТЫ
163.	2ln 2			3	.	164.					165.		1		ln			e			.
				4			2 .					2						2
166. 3 ln12 1 .						167.		1	.		168.*			1		e 2 1 .
								4
														2
*	a2		.				*			.		*						1			.
169.						170.					171.
	4						2					4						2
172.*		1.
	2

1.11. Вычисление площадей

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл от непрерывной функции f (x) 0 по

отрезку a,b численно равен площади криволинейной трапеции.

а) кривая задана в прямоугольных декартовых координатах

1.Если S1 ограничена графиками функций y2=f2(x) и y1=f1(x)

соответственно сверху и снизу и слева и справа – прямыми x=a, x=b

b

(рис. 1), то

S

f

2

(x) f (x) dx

1

1

.

a

y

y2=f2(x)

S2

x

y1=f1(x)

0

x1 1 ( y) ,

2.

Если

S2

ограничена графиками

функций

x2 2 ( y)

и соответственно

слева

и справа

и снизу и

сверху –

y d (рис. 2), то S2

d

прямыми y c ,

2 ( y) 1 ( y) dy .

c

y

y=d

d

Рис. 1

45

x1=φ1(y)

x2=φ2(y)

S3

c

Рис. 2

Пример 1.24. Вычислить площадь S , заключенную между

кривыми y 2 x2		и y3 x2 (рис. 3).
Решение. Решая совместную данную систему уравнений, находим
пределы интегрирования:					x1 1 и x2				1.
Таким образом,
1			2			2				x	2		3			5	1		2
						3										3
S	2	x		x			dx 2x								x			2			.
1										3			5					1	15

Рис. 3

б) кривая задана параметрическими уравнениями

x (t),y (t),

t , г де ( ) a, ( ) b.

В этом случае

	b
	S f (x)dx (t) (t)dt,
	a
здесь f (x) (t),
	x (t) dx		(t)dt .

Пример 1.25. Вычислить площадь эллипса

46

x a cos t

y b sin t,0 t 2 .

Решение. В силу симметричности эллипса:

/2	/2			/ 2
			2	tdt 2ab (1	cos 2t)dt ab.
S 4 b sin t(a cos t) dt 4ab sin
0	0			0
в) кривая задана в полярных координатах p ( ),
где ( ) 0	непрерывная функция	на секторе [ , ].

Определение 1.1

Плоская фигура, ограниченная кривой AB и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы и , называется криволинейным сектором.

Утверждение 1.1

Площадь криволинейного сектора равна

S 1 2 ( )d

2 .

Пример 1.26. Вычислить площадь фигуры OABC, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда: a , a>0.

Решение.

	1	2		a	2		3	|2	4
S			(a )2 d							3a3.
	2	0	2			3		0	3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

173.y2 2x 1, x y 1 0 .

174.y x2 , y x .

175.y2 8x 16 0, y2 24x 48 0 .

176.	y		1	, y	x2	.
			x2		2
	1

177. y x x 1 2 , y 0.

47

x t	sin t,		t 2 .
178.	cost,	0
y 1

x cos3 t,

179. y sin3 t, 0 t 2 .

		x 3t2 ,
180.								3			t 3 .
	y 3t				3t3 ,
	x t		2	1,
181.							1 t 1.
	y t3			t,							a 0
182.				, 0										.
		a						2
							0
											2 .
183.		sin 2			,
	tg ,				0
184.									4		.

185.1 cos , 0 .

186.x2 y2 16 , y2 6x 6x y2 .

187.

188.

	ln x
y		, y x ln x .
	4x
x 2cost cos 2t,			0 t .
	2sin t sin 2t,
y

		x 3cost cos3t,				t			2 .
	189.			3sin t sin 3t,	0
		y
	190.	3 cos 4 , 2 cos 4 , 0 2 .
						ОТВЕТЫ
		16					1			32
	173.		.	174.				.	175.		16 .
		3				3				3

48

176.								1	.	177.	1				.							178.			3 .
	2							3
												12
	3										72															8	.
179.						.				180.							3 .					181.
	8										5														15
182.	4			3a2 .						183.		.										184.				4		.
	3																								8
											8
	3
185.						.				186.*			4	4						3 .
	4
											3
187.*		1					3 2ln 2 2ln2			2 .														188.* 3 .
	16
189.* 12 .										190.*			37				5
																						3 .
											6

1.12. Вычисление объемов

Утверждение 1.2

Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями

x=a и x=b, и для любого х из отрезка [a; b] известна площадь его поперечного сечения S = S(x).

Тогда объем этого тела равен

b

S (x)dx .

a

В частности, тело, образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком непрерывной функции y = f(x) ( f (x) 0 ), осью Ох и прямыми

х = а, х = b, имеет объем:

b

VX f 2 (x)dx.

a

Замечание. Объем тела, образованного вращением около оси OY фигуры, ограниченной кривой x g y , осью OY и двумя параллельными прямыми y c и y d c d , можно определить по формуле:

49

d

VY g 2 y dy ,

c

получающейся из приведенной выше формулы путем перестановки координат x и y .

Пример 1.27. 1) вычислить объем тела ограниченного поверхностью

	x2			y2				z2		1.
	a2			b2
								c2
2) вычислить объем эллипсоида, полученного вращением
эллипса:
			x2				y2		1
			a2				b2

вокруг оси Ох.

Решение. 1) сечение берем в плоскости параллельной плоскости хОу, в этом случае z меняется от – c до с, в сечении получается эллипс

		x2							y2					1,
	a2			z	2			b2			z	2
		1							1
				c	2						c	2

площадь которого (см. пример 1.25) равна

ab 1 z2 .

c2

Тогда объем заданного тела будет равным

c

z

2

3

4

V ab

1

dz

ab z

z

abc.

2

2

c

c

3c

3

y2

b2

(1

x2

)

2) в силу симметрии при вращении кривой

a

2

получаем

2 b2

a

4

V

(a2 x2 )dx

ab2 .

a

2

3

0

Замечание. В задаче 1 примера 1.27 был найден объем произвольного эллипсоида.

50