Практикум_по_математике(2семестр)

Покажем,

как

частное

решение

неоднородного

дифференциального уравнения второго порядка ( yч.н ) находится с помощью метода вариации произвольных постоянных.

Пусть известно общее решение соответствующего однородного уравнения

yo.o c1 y1 (x) c2 y2 (x) .

Здесь y1 и y2 – фундаментальная система решений однородного

уравнения. Тогда частное решение неоднородного уравнения

будем искать в виде:
		yч.н c1 (x) y1 (x) c2 (x) y2 (x) .
Обозначим y1 y1 (x), y2 y2 (x),c1 c1 (x),c2					c2 (x) .
y
		c1 y1	c1 y1	c2 y2 c2 y2 .
Подберем c1 и c2 такие, чтобы
				0.
		c1 y1	c2 y2

yч.н

(18)

Тогда

y
		c1 y1	c2 y2		c1 y1	c1 y1	c2 y2	c2 y2 .

Подставляя выражения для y, y , y в уравнение группируя, получим:

c1 y1	py1	gy1 c2 y2	py2	gy2 c1 y1	c2 y2

(17) и

f (x) .

Так как выражения в квадратных скобках равны 0, получаем

уравнение
			f (x).
c1 y1		c2 y2

Таким образом, функция (18) – решение уравнения (17), если c2 удовлетворяют следующей системе уравнений:

		0,
c1 y1	c2 y2
		f (x)	.
c1 y1	c2 y2

Система (3) имеет единственное решение:

c1 и

(19)

c (x)

1

c (x)1

1 (x),

1 (x),

		(x)	1 (x)dx,
c1
							(20)
c (x)						(x)dx.
	2				2

101

Подставляя (20) в (18), получим yч.н .

Замечание. В системе (20) постоянные не пишем, так как ищем какое-нибудь частное решение.

Пример 3.10. Найти частное решение уравнения y y x . Решение. Так как характеристическое уравнение имеет корни

= 1, то решение однородного уравнения имеет вид:

yo.o c1ex c2e x ,

тогда ищем частное решение неоднородного уравнения в виде

yч.н c1 (x)ex c2 (x)e x .

Составляем систему (3.15):

c ex1c ex

1

c e x 0,

2

c e x x.

2

Сложив уравнения в системе, получим:

1 x

1

xe

x

dx

1

xe

x

e

x

dx

1

x

(x 1).

c1

2

xe

, c1

2

2

2

e

Подставим выражение для c1

в первое уравнение системы:

1

x

1

x

x c2e

0,c2

xe

,

2

2

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

y÷.í 12 e x (x 1)ex 12 (x 1)exe x x.

Метод неопределенных коэффициентов

Если в правой части равенства (17):

многочлен Pn (x) ;

показательная функция e x ;

тригонометрическая функция sin x или cos x ;

102

линейная комбинация перечисленных функций,

то yч.н может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, без интегрирования.

1) пусть	f (x) P (x)	, где	P (x) a xn a xn 1			... a	x a
	n		n	0	1	n 1	n ,

тогда	y	xsQ (x)	,
	ч.н	n

где Qn (x) – многочлен n-ой степени, коэффициенты которого находятся методом неопределенных коэффициентов; s – число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Пример 3.11. Решить уравнение y 2y y x 1.

Решение. В правой части дифференциального уравнения многочлен первой степени.

1) 2 2 1 0 – характеристическое уравнение.

	1	,	y	c ex xc ex ex (c xc ).
1,2			o.o	1	2	1	2
2)	yч.н.		x0 Ax B		(корней	равных	0	характеристического

многочлена нет и s = 0). Найдем производные от yч.н. и подставим их в уравнение:

	A,		0. .
yч.н.		yч.н.

2A Ax B x 1.

Сравнивая коэффициенты у одинаковых степеней, получим: x1 : A 1, x0 : 2A B 1 B 3.

Ответ. y ex (c1 xc2 ) x 3.

2) пусть f (x) e x Pn (x) , тогда yч.н xse xQn (x) .

Здесь s – кратность корня характеристического уравнения, равного

. (Если 0 , f (x) Pn (x) (случай 1)).

Пример 3.12. Решить уравнение y 4y 3y xex .

Решение. 1) 2 4 3 0, 1 1, 2 3;	yo.o c1ex c2e3x .
2) 1, yч.н x1ex (Ax B) ex ( Ax2 Bx),

103

x

(Ax

2

x

x

(Ax

2

(B

2A)x B);

y÷.í e

Bx) e

(2Ax B) e

x

( Ax

2

(B 4A)x

2B 2A;

y÷.í e

(Ax2 4Ax Bx 2B 2A) 4(Ax2 (B 2A)x B) 3(Ax2 Bx) x

4Ax 2B 2A x A

1

, B

1

.

4

4

y c ex c e3x

1

ex

(x2 x).

Ответ.

1

2

4

3) Пусть

f (x) a cos x bsin x , тогда

yч.н

(Acos x B sin x)xs ,

где А и В – неизвестные коэффициенты, s – число корней характеристического уравнения, равных i .

Пример 3.13. Решить уравнение y y sin 2x .

	Решение.		2 1,		i;	y		c cos x c sin x.
				1,2		o.o		1	2
Так	как		a 0,	b 1, 2,			i i 2 i		(не	корень
характеристического уравнения), то
			yч.н Acos 2x B sin 2x .
	Коэффициенты А и В находятся сравнением коэффициентов у
одинаковых		тригонометрических				функций: дифференцируя				yч.н и

подставляя в уравнение: А=0, B 13 .

Ответ. y c1 cos x c2 sin x 13 sin 2x.

4)	Пусть	f (x) e ( x) Pn (x) cos x Pm (x) sin x , тогда
		y÷.í	xse x Qk (x) cos x Hk (x)sin x ,
где	Qk (x) и	Hk (x)	– многочлены степени k max[n, m], s – число

корней характеристического уравнения, равных i .

104

Пример 3.14. Решить уравнение y y 3e2 x cos x .

	1, 1,					y		c ex c e x					.
	Решение. 1) 1	2				o.o		1		2
	2) 2, 1, n m 0,
	тогда r =0, i 2 i	не совпадает с 1 или с 2 s 0 :
	yч.н x0	e2 x Acos x B sin x ;							A		3	, B		3	.
										10				5
			3				3
	Ответ. y c1ex c2e x e2 x				cos x			sin x .
			10				5

Найти общее решение дифференциального уравнения методом неопределённых коэффициентов.

321.y 2 y y ex x2 1 .

322.y 3y 2y 2cos3x 4sin 3x .

323.y y xsin x .

324.y 6y 9y 2x2 x 3.

325. 2 y y y 2ex . 326.* y y xex 2e x . 327.* y y 2y x ex .

328.* y 6y 10y 80ex cos x ; y 0 4, y 0 10 .

Решить дифференциальные уравнения методом вариации

произвольных постоянных.

329. y 7 y 6y sin x . 330. y 2y 2y 2x .

331. y 4 y 4 y 3e2 x .			y y	1
		332.			.
				cos x
333.* y 4y ctg2x .		334.* y 5y 6 y					1
								.
							e2 x
					1
335.* y y tg x ; y 0			0 .
	y
		6

105

321.

322.

323.

324.

325.

326.*

327.*

328.*

															ОТВЕТЫ
					x		2							x		4
y ex c1	c2 x																			.
				2								12
y c1e 2 x	c2e x								5		cos3x												1			sin 3x .
							13															13
y c cos x c			sin x											x2						cos x					x				sin x
																																.
1	2											4										4
y c1 c2 x e3x						2			x2											5	x			11				.
																		27
				9																		27
y c e x	c e	x		ex .
		2
1	2
y c cos x c				sin x											1			x 1 ex									e x				.
1	2											2
y c1 c2ex c3e 2 x													1			x x 1											1			xex .
												4
																											3
y 4e 3x sin x 2ex 2cos x sin x .

329. y c1e6 x c2ex 5sin x 7 cos x . 74

330.y ex c1 cos x c2 sin x x 1.

331.y e2 x c1 c2 x 32 x2e2 x .

332.y c1 cos x c2 sin x xsin x cos x ln cos x

333.*

334.*

335.*

	y c1 cos 2x c2 sin 2x						1	sin 2x ln					tg 2x		.
							4
	y c1e 2 x c2e 3x				1	e 2 x ln 1 e2 x					e 2 x e 3xarctg ex .
					2
								x
		3
	y			ln 3 sin x cos x ln tg									.
		2							2		4

106

3.8. Системы дифференциальных уравнений (для самостоятельного изучения)

3.8.1. Общие понятия.

Определение 3.6

Нормальной системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений вида

		f1 (t, x1, x2 ,..., xn ),
x1
		f2 (t, x1, x2	,..., xn ),
x2
..............			(21)
		fn (t, x1, x2	,..., xn ),
xn

где x1, x2 ,..., xn – искомые функции, t – аргумент.

Порядком нормальной системы дифференциальных уравнений называется число входящих в нее уравнений. Система дифференциальных уравнений (21) – n -го порядка.

Определение 3.7

Общим решением системы называется совокупность n функций от t и n произвольных постоянных:

x	x (t, c , c ,..., c ),
1	1	1	2	n
x2	x2 (t, c1 , c2 ,..., cn ),
.........
x	x (t, c , c ,..., c )
n	n	1	2	n
которые удовлетворяют всем уравнения системы.
Замечание. Решение,	получающееся			из общего при

фиксированных значениях ci (i 1, n) , называется частным.

3.8.2. Решение нормальных систем дифференциальных уравнений методом исключений. Основная идея: Из уравнений системы дифференциальных уравнений и из уравнений, получающихся дифференцированием уравнений, входящих в систему, исключают все неизвестные функции, кроме одной, для определения которой

107

получают одно дифференциальное уравнение более высокого порядка. Интегрируя это уравнение, находят одну из неизвестных функций, остальные неизвестные функции определяются из исходных уравнений и уравнений, получившихся в результате их дифференцирования.

Пример 3.15. Решить систему дифференциальных уравнений

dy y z x,dx

dz 4 y 3z 2x. (22)dx

y(0) 1,

при начальных условиях z(0) 0.

Решение. Дифференцируя по переменной x первое уравнение, будем иметь:

d 2 y dy dz dx2 dx dx 1.

Подставляя в полученное уравнение выражение

уравнения системы (22), получим:

d 2 y dy 4 y 3z 2x 1. dx2 dx

Из первого уравнения системы (22) находим z dydx y x

и подставляем в полученное уравнение, получаем:

dz

dx из второго

(23)

	d 2 y		dy		dy
				4 y 3			y x	2x 1
	dx2		dx
					dx
или
				y	2y y 5x 1.

Решение этого неоднородного линейного дифференциального уравнения ищется стандартно:

yо.н c1 c2 x e x 5x 9 .

108

Учитывая равенство (23), получим:

z(c2 2c1 2c2 x)e x 6x 14.

Сучетом начальных условий найдем частные решения системы:

1 c		9,	c	10,
	1	2c1 14,	1	6.
0	c2		c2

Таким образом,

y (10 6x)e x 5x 9,

z ( 14 12x)e x 6x 14.

3.8.3. Матричный метод решения систем линейных однородных дифференциальных уравнений. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

		dx1			a	x	... a	x ,
			11			1	1n	n
	dt
	dx2				a21x1		... a2 n xn ,
	dt							(24)
	.........
	dxn				a	x	... a	x ,
					n1 1		nn n
	dt

где aij const .

Будем искать частное решение системы дифференциальных уравнений в виде

x1 1e t , x2 2e t ,..., xn ne t .

Подставляя их в систему дифференциальных уравнений (24),

получим:

a11 1 a12 2

... a1n n

e

,

1e

t

t

e t

a

a

... a

e t

,

2

2

n

21 1

22

2 n

...................

a a

... a

e

.

e

t

t

n

n1 1

n 2

2

nn

n

Данная система уравнений после преобразований примет вид:

109

a11 1			a12 2 ... a1n n							0,
a	a					2	... a			0,
21 1		22						2 n n
...................										(25)
					... a
a	a			2					n	0.
n1 1		n 2					nn
Эта система линейных		однородных						уравнений относительно

1, 2 ,..., n . Ненулевые решения данная система имеет только при таких , при которых определитель системы (25) обращается в нуль:

		a11	a12	...	a1n
		a21	a22	...	a2n	0
		...	...	...	...
		an1	an2	...	ann

– характеристическое уравнение для системы дифференциальных уравнений (24).

Пусть i i		– корни
	1, n		характеристического уравнения.
Рассмотрим случай, когда i R			и различны. Для каждого корня i

напишем систему (25) и определим коэффициенты 1(i ) ,... n(i ) . Таким образом, получаем:

для 1 решение системы дифференциальных уравнений (24):

x1(1) 1(1)e 1t ,...,xn(1) n(1)e 1t ;

для 2 : x1(2) 1(2)e 2t ,...,xn( 2) n( 2)e 2t ;

…………..

для n : x1(n) 1(n)e nt ,...,xn(n) n(n)e nt .

Тогда общее решение системы дифференциальных уравнений:

	n
	x1 ci 1(i )e it
	i 1
	n
	x2 ci 1(i )e it
			, ci i 1,n const.
	i 1
	.................
	n
	xn ci 1(i )e it
	i 1

110