Актуарная математика

						1n1	2n2 ... mnm	m	nk
								k		, получим
	Обозначая
							n
								k 1	n
	F P e n .								(2.41)
	n

2.4 Решение типовых заданий

Задача 1.

Предприниматель получил в банке ссуду в размере 50 тыс.руб. на 39 месяцев под процентную ставку 27% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предприниматель должен будет вернуть банку по истечении срока при использовании схемы сложных процентов и при использовании смешанной схемы.

Решение.

Так как период начисления равен одному году, то n 1239 3,25

F3,25 50(1 0,27)3,25 108,726 тыс.руб.

Если использовать смешанную схему, то при w 3, f 0,25 , получим

Fn P(1 r)w (1 fr) , F3,25 50(1 0,27)3 (1 0,25 0,27) 109,332

Задача 2.

Некоторая сумма инвестируется под процентную ставку 30% годовых. Определить время, необходимое для увеличения первоначальной суммы в 4 раза при начислении в конце года сложных и простых процентов.

Решение.

ln

Fn

Для сложных процентов n

ln k

или n

P

ln(1 r)

r(m)

m ln 1

m

F 4P , m 1 , r(m)

r(1) 0,3

n

ln 4

n

5,284

года

ln(1 0,3)

Для простых процентов n

k 1

4 1

10 лет.

0,3

r

Задача 3.

Вкладчик хотел бы за 7 лет утроить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка при начислении сложных процентов каждые полгода, каждый месяц.

Решение.

Так как n 7 , F7 3P , m 2 , то

23

						1
				F
	(m)						mn
					n
r		m						1	,
				P
		1
r(2)		2(32 7 1)						0,1633 , т.е. номинальная ставка должна быть не ме-

нее 16,33% годовых.

r(12) 0,1580

Задача 4.

Предприниматель может получить ссуду: а) на условиях ежемесячного начисления сложных процентов из расчета 32% годовых; б) на условиях ежеквартального начисления сложных процентов из расчета 34% годовых. Какой вариант более предпочтителен?

Решение.

а)

б)

				(m)			m				12
			r							0,32
ref	1							1 1						1 0,3714
			m							12
			r	(m)			m			0,34			4
ref	1							1 1						1 0,3859 .
				m						4

Первый вариант предпочтительнее.

Задача 5.

Из какого капитала можно получить 45 тыс. руб. через 6 лет наращением сложными процентами по процентной ставке 16%, если наращение осуществляется ежегодно.

Решение.

P	Fn		45	18,4699	тыс.руб.
	(1 r) n		(1 0,16)6

Задача 6.

Определить современную ценность 20 тыс.руб., если: а) эта сумма будет получена через 4 года 9 месяцев; б) эта сумма была получена 2 года 6 месяцев назад; в) эта сумма получена в настоящий момент. Учесть возможность помещения денег на депозит под сложную процентную ставку 10% в год.

Решение.

а)	P	Fn		20	12,7178	тыс.руб.
		(1 r) n		(1 0,1) 4,75
б)	F P(1 r)n 20(1 0,1)2,5 25,381

n

в)так как в настоящий момент, то современная стоимость 20 тыс.руб.

24

24,1 Р

Задача 7.

Клиент поместил в банк 40 тыс.руб. на условиях начисления каждые полгода сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 14%. Через полтора года клиент снял со счета 18 тыс.руб., а через 3 года после этого закрыл счет. Определить сумму, полученную клиентом при закрытии.

Решение.

F n P(1	r(m)		mn					0,14		2 1,5
		)		,	F1,5	40 1				49,0017 тыс.руб.
	m
								2

так как были сняты 18 тыс.руб., то осталось 31,0017 тыс.руб.

			0,14		2 3
Через 3 года:	F 31,0017 1				46,525 тыс.руб.
			2

Задача 8.

Имеется возможность поместить денежные средства в долларах США на полтора года в банке на валютном депозите под процентную ставку 4 % годовых с ежемесячным начислением сложных процентов или в другом банке эту же сумму поместить на рублевом депозите под процентную ставку 12% годовых с полугодовым начислением сложных процентов. Как лучше поступить, если курс покупки долларов на начало срока – 24 руб. 10 коп., а ожидаемый курс продажи через полтора года – 26 руб. 80 коп.

Решение.

Обозначим имеющееся количество долларов через Р. Помещая их на валютный депозит, через полтора года можно получить:

		0,04	12 1,5	1,06173 P долларов
P 1
		12

Если же имеющиеся Р долларов обменять на рубли, то в соответствии с курсом покупки можно получить руб. Через полтора года:

		0,12		2 1,5
24,1Р 1				28,7035 Р руб.
		2

	или при конвертации	28,7035 Р	1,071026 Р долларов. Следова-
		26,8

тельно, лучше поместить на рублевый депозит.

Задача 9.

Найти величину дисконта, если долговое обязательство на выплату 40 тыс.руб. учтено за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке 20% годовых.

Решение.

25

P Fn (1 d)n 40(1 0,2)3 20,48 тыс.руб.

Dd 40 20,48 19,52 тыс.руб.

Задача 10.

Определить, какую сумму получит владелец векселя на 30 тыс.руб. со сроком погашения через 25 месяцев, если он учтет вексель сразу при его выдаче по номинальной учетной ставке 20 % годовых, начисление ежеквартальное. Сравнить два способа дисконтирования.

Решение.

n	25	,	m 4			, F	F	30 тыс.руб.
	12					n	2512
					(m) mn						4	25
				d					0,2			12
P Fn 1							30 1							19,565 тыс.руб.
				m					4

				25			25					25				1
по смешанной схеме. w 4									8 ,	f
				12			3						3			3

P F 1

n

d (m)

m

w

1 f

d (m)				0,2	8		1			0,2
		30 1			1							19,571 тыс.руб.
m				4			3			4

Задача 11.

Определить номинальную учетную ставку, если годовая эффективная учетная ставка равна 30% и дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется а) каждые полгода; б) ежемесячно.

Решение.

def 0,3

								d (m) m								1
а) m 2 def										d				m 1	(1 def )
			1 1										(m)			m
								m
				1
	(1	0,3)2				0,3267 32,67%
d (2) 2 1
											1
б) m 12 d (12)			12 1				(1 0,3)12						0,3514		35,14%

Обе полученные номинальные ставки эквивалентны эффектив-

ной.

Задача 12.

Вклад в размере 20 тыс.руб. помещен в банк сроком на 5 лет, причем предусмотрен следующий порядок начисления сложных процентов по плавающей годовой учетной ставке: в первые два года – 16%, в последующие два года – 19% и в последний год –23%. Найти наращенную сумму. При использовании какой постоянной учетной ставки можно получить такую же сумму?

26

Решение.

За первые два года		Fn			P			20
					d )n			(1 0,16)2
			(1
За следующие два					20
		(1 0,16)2 (1				0,19)2
За последний год						20					56,106	тыс.руб.
	(1 0,16)2 (1 0,19)2 (1 0,23)

Годовая (постоянная) учетная ставка:

(1 d )5 (1 0,16)2 (1 0,19)2 (1 0,23)2 d 1 5 (1 0,16)2 (1 0,19)2 (1 0,23)

Задача 13.

Предприятие приобрело станок за 320 тыс.руб. Срок службы станка – 8 лет, после чего он реализуется по остаточной стоимости 50 тыс. руб. Используя способ фиксированного процента, составить таблицу уменьшения стоимости станка по годам.

Решение.

Способ фиксированного процента: стоимость имущества снижается к концу каждого периода на одно и то же число процентов от его стоимости на начало года.

Пусть F – первоначальная стоимость, Pn - остаточная через п

лет.

Вконце первого года F Fd F(1 d)

Вконце второго F(1 d) F(1 d)d F(1 d)2 и т.д. Поскольку в конце п-го года остаточная стоимость Pn , то

P F (1 d ) n d 1 n		Pn		, d 1 8			50		0,2071 20,71%
n		F					320
Далее находим амортизационные отчисления
В конце первого года F Fd 320 320 0,2071 320 66,272 253,728
Год службы					Амортизационные						Стоимость на ко-
					отчисления за год						нец года
0							0				320
1							66,272				253,728
2							52,547				201,181
3							41,665				159,516
4							33,036				126,48
5							26,194				100,286
6							20,769				79,517
7							16,468				63,049
8							13,057				49,992
							27

2.5 Задания для самостоятельного решения

1.Банк предоставил ссуду в размере 250 тыс. руб. на 33 месяца под процентную ставку 14% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока при использовании схемы сложных процентов и при использовании смешанной схемы?

2.Банк предоставил ссуду в размере 150 тыс. руб. на 39 месяцев под процентную ставку 10% годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных сложных процентов. Проанализируйте, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов: а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

3.На вклад в конце каждого полугодия начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 10%. За какой срок первоначальный капитал увеличится в четыре раза? Как изменится результат, если сложные проценты начисляются ежемесячно?

4.Что выгоднее: вложить средства под 12% в год при начислении процентов раз в полгода или под 10% годовых при начислении ежемесячно.

5.Фирме нужно накопить 2 млн долл., чтобы через 10 лет приобрести здание под офис. Менеджеры этой фирмы предпочли приобретение государственных ценных бумаг, генерирующих годовой доход по сложной ставке 8% при полугодовом начислении процентов. Каким должен быть первоначальный вклад фирмы?

6. Предприниматель приобрел оборудование стоимостью 400 тыс. руб. в кредит под сложную процентную ставку 20% годовых. Через 2 года 6 месяцев он уплатил 250 тыс. руб., а еще через год полностью погасил долг. Определите, какую сумму предприниматель при этом выплатил.

7.Строительная фирма продает квартиры стоимостью 520 тыс. руб. в кредит под сложную процентную ставку 20% годовых. Эта же фирма учредила банк, аккумулирующий средства на строительство квартир. Господин N внес в этот банк 100 тыс. руб. за год до получения квартиры и еще 150 тыс. руб. - через 2 года после получения квартиры. Еще через год после этого он внес некоторую сумму, а еще через год погасил долг, внеся 300 тыс. руб. Определите, какую сумму господин N внес в банк через 3 года после получения квартиры.

8. Клиент поместил в банк некоторую сумму под сложную процентную ставку 10% годовых. В конце каждого года клиент расхо-

28

дует четвертую часть наращенной к этому моменту суммы. Через сколько лет наращенная сумма составит 85% от первоначальной величины помещенных денежных средств?

9.Инвестор собирается разместить эффективно свои свободные денежные средства. Если он вложит средства в ценные бумаги трастовой компании, то должен будет заплатить налог с полученной прибыли в размере 8%. Если же он положит деньги в банк, то начисленные проценты не будут облагаться налогом. Определите наиболее прибыльную схему вложения капитала с 1 января по 31 марта, если налоги платятся в конце каждого квартала и услуги на финансовом рынке предлагают две фирмы: трастовая компания - на условиях начисления сложных процентов по процентной ставке 1,5

%за месяц по вкладу, составляющему целое число месяцев, но не менее месяца; банк – с ежемесячным начислением сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 14% годовых при таких же ограничениях на срок вклада.

10.Вкладчик может свои свободные денежные средства в долларах на один год поместить в одном банке на валютном депозите под процентную ставку 3% годовых с полугодовым начислением сложных процентов или в другом банке эту же сумму поместить на рублевом депозите под процентную ставку 10% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Как ему лучше поступить, если курс покупки долларов на начало срока - 26 руб. 80 коп., а ожидаемый курс продажи через год - 27 руб. 50 коп.?

11.За 3 года 9 месяцев до срока погашения в банк предъявлен вексель на сумму 80 тыс. руб. Банк согласился учесть вексель по сложной учетной ставке 24% годовых при осуществлении дисконтирования раз в год и выплатил предъявителю векселя 28,797 тыс. руб. Какую из двух схем дисконтирования (только по сложной учетной ставке или смешанную) использовал банк?

12.Вексель был учтен за 21 месяц до срока погашения, при этом владелец векселя получил 0,8 от написанной на векселе суммы. По какой сложной годовой учетной ставке был учтен этот вексель?

13.Какие условия учета при дисконтировании по сложной учетной ставке более выгодны банку: а) 12% годовых, полугодовое дисконтирование; б) 13% годовых, поквартальное дисконтирование?

14.Какая сумма должна быть написана на векселе, чтобы при его учете по сложной учетной ставке 10% годовых, было получено 20 тыс. руб., если учет осуществляется за 3 года до срока погашения поквартальным дисконтированием?

15.Фирма приобрела оборудование за 950 тыс. руб. Срок

службы оборудования -10 лет, после чего фирма намеревается

29

- аннуитет, период которого совпадает с базо-

реализовать изношенное оборудование за 100 тыс. руб. Используя способ фиксированного процента, составьте таблицу уменьшения стоимости оборудования по годам.

3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3. ФИНАНСОВЫЙ АНАЛИЗ БАЗОВЫХ РЕНТ ПРЕНУМЕРАНДО И ПОСТНУМЕРАНДО

3.1 Цель занятия

Овладеть методикой нахождения наращенной суммы и приведенной суммы для аннуитетов постнумерандо и пренумерандо.

3.2 Задачи занятия

Освоить навыки определения наращенной и дисконтированной сумм для переменного, постоянного и отсроченного постоянного аннуитетов пост- и пренумерандо.

3.3Краткие теоретические сведения

иформулы для расчета

Один из основных элементов финансового анализа – оценка денежного потока C1,C2 ,...,Cn генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Считается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ: либо в его начале, либо в его конце. В первом случае поток называется потоком пренумерандо, или авансовым, во втором – потоком постнумерандо.

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, а именно, это поток, в котором длительности всех периодов равны между собой.

Пусть С1,C2 ,...,Cn

вым периодом начисления процентов по ставке r . Требуется найти стоимость данного аннуитета с позиции будущего и с позиции настоящего.

Прямая задача предполагает оценку с позиции будущего, т.е. на конец периода n , когда реализуется схема наращения. Исходные и наращенные элементы аннуитета постнумерандо представлены на рисунке 1.

30

С2

Сп

С1

С3

Сп-1

…

0

1

2

3

…

п-1

п

Сп

Сп-1(1+r)

С2(1+r)n-2 С1(1+r)n-1

Рисунок 1 – Графическая иллюстрация решения задачи нахождения наращенной суммы для аннуитета постнумерандо.

Таким образом, на первое денежное поступление С1 начисляются сложные проценты за (п-1) период и оно в конце 1-го периода станет равным С1(1+r)n-1. На второе денежное поступление С2 начисляются сложные проценты за (п-2) периода и оно в конце (п-1)-го периода станет равным С2(1+r)n-2 и т.д. На предпоследнее денежное поступление Сп-1 проценты начисляются за один период и оно в конце станет равным Сп-1(1+r).

Следовательно, наращенный денежный поток для исходного потока постнумерандо имеет вид

С (1 r)n 1,C		(1 r)n 2 ,...,C	(1 r),C	(3.1)
1	2	n 1	n
и будущая стоимость		FVpsta исходного денежного потока (аннуитета)

постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступлений, то есть:

n
FVpsta Ck (1 r)n k .	(3.2)

k 1

Обратная задача подразумевает оценку с позиции текущего момента, т.е. на конец момента 0 (или, что то же самое, на момент начала первого периода). В этом случае реализуется схема дисконтирования, а расчеты необходимо вести по приведенному потоку, все элементы которого с помощью дисконтных множителей приведены к одному моменту времени, а именно – к настоящему моменту. Элементы приведенного денежного потока уже можно суммировать; их сумма характеризует приведенную, или текущую, стоимость аннуитета, которую можно сравнивать с величиной первоначальной инвестиции. Схема дисконтирования исходного потока постнумерандо представлена на рисунке 2.

31

С2

Сп

С1

С3

Сп-1

…

0

1

2

3

…

п-1 п

С1/(1+r) С2/(1+r) 2 С3/(1+r) 3 Сп/(1+r)n

Рисунок 2 – Графическая иллюстрация решения задачи нахождения приведенной суммы для аннуитета постнумерандо.

Таким образом, приведенный денежный поток для исходного

потока постнумерандо:	С1	,		C2	,...,		Cn	. Приведенная стоимость
				r)2			r)n
	1 r (1				(1

денежного потока (аннуитета) постнумерандо PV psta				в общем случае
n	Ck		n
PVpsta			Ck vk	(3.3)
	(1 r)	k
k 1			k 1

Логика оценки аннуитета пренумерандо аналогична вышеописанной; некоторое расхождение в вычислительных формулах объясняется сдвигом элементов потока к началу соответствующих подынтервалов. Для прямой задачи схема наращения будет выглядеть как на рисунке 3.

С1

С3

Сп

С2

…

0

1

2

3

…

п-1

п

Сп(1+r)

…

С3(1+r)n-2

С2(1+r)n-1

С1(1+r)n

Рисунок 3 – Графическая иллюстрация решения задачи нахождения наращенной суммы для аннуитета пренумерандо.

32