Актуарная математика

8. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №8. ОЦЕНКА АКЦИЙ

8.1 Цель занятия

Овладеть методикой оценки эффективности инвестирования денежных средств в альтернативные акции.

8.2 Задачи занятия

Освоить навыки определения текущей рыночной цены привилегированных и обыкновенных акций с позиции долгосрочного инвестирования; нахождения доходности акций с позиции краткосрочного инвестирования.

8.3 Краткие теоретические сведения и формулы для расчета

Акция (stock) представляет собой долевую ценную бумагу, свидетельствующую об участии ее владельца в собственном капитале компании. Выделяют две категории акций: обыкновенные и привилегированные.

Обыкновенная акция (common stocks) дает право на получение плавающего дохода, т.е. дохода, зависящего от результатов деятельности общества, а также право на участие в управлении (одна акция — один голос). Распределение чистой прибыли среди держателей обыкновенных акций осуществляется после выплаты дивидендов по привилегированным акциям и пополнения резервов, предусмотренных учредительными документами и решением собрания акционеров. Иными словами, выплата дивидендов по обыкновенным акциям ничем не гарантирована и зависит исключительно от результатов текущей деятельности и решения собрания акционеров.

Владелец привилегированной акции (preferred stocks), как правило, имеет преимущественное право по сравнению с владельцем обыкновенной акции на получение дивидендов в форме гарантированного фиксированного процента, а также на долю в остатке активов при ликвидации общества. Дивиденды по таким акциям в большинстве случаев должны выплачиваться независимо от результатов деятельности общества и до их распределения между держателями обыкновенных акций. Тем самым обусловливается относительно меньшая рисковость привилегированных акций; одновременно это отражается и на величине дивидендов, уровень которых в среднем, как правило, более низок по сравнению с уровнем дивидендов, вы-

83

плачиваемых по обыкновенным акциям. Кроме того, привилегированная акция не дает право на участие в управлении обществом, если иное не предусмотрено уставными документами.

Подобно ситуации с облигациями различают несколько количественных характеристик, используемых для оценки акции: внутренняя, номинальная, балансовая, конверсионная и ликвидационная стоимости, а также эмиссионная и курсовая цены.

Как и в случае с облигациями, внутренняя стоимость акции представляет собой расчетный показатель, исчисляемый, например, по формуле

Vt	Ck		.	(8.1)
	(1 r)	k
k

Конверсионную стоимость можно рассчитывать для привилегированных акций, в условиях эмиссии которых предусмотрена возможность их конвертации в обыкновенные акции.

Номинальная стоимость акции — это стоимость, указанная на бланке акции. В отличие от облигации, для которой номинальная стоимость имеет существенное значение, поскольку проценты по облигациям устанавливаются по отношению к номиналу независимо от курсовой цены, для акции этот показатель практически не имеет значения и несет лишь информационную нагрузку, характеризуя долю уставного капитала, которая приходилась на одну акцию в момент учреждения компании.

Эмиссионная цена представляет собой цену, по которой акция эмитируется, т.е. продается на первичном рынке. Эта цена может отличаться от номинальной стоимости, поскольку чаще всего размещение акций производится через посредническую фирму, являющуюся профессиональным участником фондового рынка. В этом случае посредническая фирма скупает весь выпуск акций по согласованной цене и в дальнейшем реализует их на рынке по цене, которая определяется уже этой фирмой и естественно превышает номинал.

С началом операций компании доля капитала, приходящаяся а одну акцию, немедленно меняется. С этой точки зрения акция характеризуется балансовой стоимостью, которая может быть рассчитана по балансу как отношение стоимости «чистых» активов (общая стоимость активов по балансу за минусом задолженности кредиторам) к общему числу выпущенных акций.

Ликвидационная стоимость акции может быть определена лишь в момент ликвидации общества. Она показывает, какая часть стоимости активов по ценам возможной реализации, оставшаяся после расчетов с кредиторами, приходится на одну акцию. Поскольку учетные цены активов могут значительно отличаться от их рыночных

84

цен в зависимости от инфляции и конъюнктуры рынка, ликвидационная стоимость не равна балансовой.

Для учета и анализа наибольшее значение имеет курсовая (текущая рыночная) цена. Именно по этой цене акция котируется (оценивается) на вторичном рынке ценных бумаг. Курсовая цена зависит от разных факторов: конъюнктура рынка, рыночная норма прибыли, величина и динамика дивиденда, выплачиваемого по акции, и др. Она может определяться различными способами, однако в основе их лежит один и тот же принцип: сопоставление дохода, приносимого данной акцией, с рыночной нормой прибыли. В качестве показателя дохода можно использовать либо дивиденд, либо величину чистой прибыли, приходящейся на акцию. Более оправданно — использование дивиденда, однако в некоторых случаях (например, компания находится в стадии становления или крупной реорганизации, когда значительная часть чистой прибыли реинвестируется) использование показателя чистой прибыли на акцию позволяет получить более реальную оценку экономической ситуации.

Оценка целесообразности приобретения акций, как и в случае с облигациями, предполагает расчет теоретической стоимости акции и сравнения ее с текущей рыночной ценой.

Привилегированные акции, как и бессрочные облигации, генерируют доход неопределенно долго, поэтому их текущая теоретическая стоимость определяется по формуле

V

A

.

(8.2)

t r

Таким образом, наиболее простым вариантом оценки привилегированной акции является отношение величины дивиденда к рыночной норме прибыли по акциям данного класса риска (например, ставке банковского процента по депозитам с поправкой на риск).

В некоторых странах привилегированные акции нередко эмитируются на условиях, позволяющих эмитенту выкупить их в определенный момент времени по соответствующей цене, называемой ценой выкупа (callprice). В этом случае текущая теоретическая стоимость таких акций определяется по формуле

n	A			M			M
Vt					A FM 4(r, n)			,	(8.3)
	(1 r) k			r) n			r) n
k 1		(1			(1

где М заменяется ценой выкупа. Дело в том, что эмиссия бессрочных привилегированных акций, предусматривающих выплату дивиденда по постоянной ставке, является довольно рисковым мероприятием, поскольку невозможно спрогнозировать процентные ставки на длительную перспективу. Именно поэтому условиями выпуска привилегированных акций нередко предусматривается их конверсия в обык-

85

новенные акции.

Что касается обыкновенных акций, то известны различные методы их оценки; наиболее распространенным из них является метод, основанный на оценке их будущих поступлений, т.е. на применении

формулы Vt	Ck		. В зависимости от предполагаемой динамики
	(1 r)	k
k

дивидендов конкретное представление формулы меняется. Базовыми являются три варианта динамики прогнозных значений дивидендов:

•дивиденды не меняются;

•дивиденды возрастают с постоянным темпом прироста;

•дивиденды возрастают с изменяющимся темпом прироста. Вариант с неизменными дивидендами аналогичен ситуации с

привилегированными акциями, т.е. применяется формула Vt Ar . Если

выплачиваются одинаковые дивиденды в течение всего времени, темп прироста дивидендов равен нулю и соответствующая модель называется моделью нулевого роста (zero-growth model).

Во втором варианте прогнозных значений дивидендов предполагается, что выплачиваемые дивиденды растут от периода к периоду в одной пропорции и соответствующая модель называется моделью постоянного роста (constant-growth model). Пусть базовая величина дивиденда (т.е. последнего выплаченного дивиденда) равна D и ежегодно она увеличивается с темпом прироста g.

По окончании первого года периода прогнозирования будет выплачен дивиденд в размере D(1 + g), по окончании второго года

D(1+g)	2	и т.д. Тогда формулаVt				Ck		имеет вид:
						(1 r)	k
					k
			D(1 g)k
		Vt			.			(8.4)
			(1 r)	k
		k 1

Фактически необходимо определить приведенную стоимость аннуитета постнумерандо с постоянным относительным изменением его членов

V

D(1 g)

.

(8.5)

t	r g

Данная формула называется также моделью Гордона и имеет смысл при r>g. Очевидно, что числитель формулы представляет собой первый ожидаемый дивиденд фазы постоянного роста.

При оценке акций, дивиденды которых возрастают с изменяющимся темпом прироста, используется модель переменного роста (multiple-growth model). Согласно формуле (8.5) текущая цена обыкновенной акции очень чувствительна к параметру g: даже незначительное его изменение может существенно повлиять на цену. Поэто-

86

му в расчетах иногда пытаются разбить интервал прогнозирования на подынтервалы, каждый из которых характеризуется собственным темпом прироста g. Так, если выделить два подынтервала с темпами прироста g и q соответственно, то формула (8.5) принимает вид:

s	(1 g)k			(1 q)k
Vt D0			Ds			,	(8.6)
	(1 r)	k		(1 r)	k
k 1			k s 1

где D0 — дивиденд, выплаченный в базисный момент времени; Ds — прогноз дивиденда в s-м периоде; g — прогноз темпа прироста дивиденда в первые s периодов; q — прогноз темпа прироста дивидендов в последующие периоды.

Главная сложность этой модели состоит в выделении подынтервалов, прогнозировании темпов прироста (как правило, в прогнозах темпы прироста в динамике снижаются) и значений ставки дисконтирования для каждого подынтервала. При выделении нескольких подынтервалов модель становится более громоздкой в представлении, однако вычислительные процедуры достаточно просты. Безусловно, модель должна рассматриваться в динамике и постоянно уточняться по мере получения новой информации, в частности, по истечении очередного подынтервала.

В теории и практике оценки акций описана и получила достаточно широкое распространение ситуация, когда темп прироста дивидендов в течение нескольких лет прогнозного периода меняется (фаза непостоянного роста), однако по истечении этих лет он устанавливается на некотором постоянном уровне. Считается, что такое развитие событий характерно для компаний, находящихся в стадии становления, либо уже для зрелых компаний, осваивающих новые виды продукции или перспективные рынки сбыта. Тогда в течение непродолжительного подынтервала темп прироста может быть сравнительно высоким, причем не обязательно одинаковым, а затем он снижается и становится постоянным. Наиболее общая постановка задачи в этом случае такова.

Пусть продолжительность фазы непостоянного роста составляет

s лет, дивиденды в этот период по годам равны Ск, к = 1,2,... ,s; Cs+l — первый ожидаемый дивиденд фазы постоянного роста с темпом g; r –

приемлемая норма прибыли.

Из приведенной схемы видно, что в первые s лет прогнозируется бессистемное изменение величины годового дивиденда, а начиная с момента (s+1), эта величина будет равномерно увеличиваться, т.е.

Cs+1=Cs(1+g); Cs+2=Cs+1(1+g)= Cs(1+g)2 и т.д.

В этом случае формулу Vt			Ck		можно записать в виде
		(1	r)	k
k
	87

s	C			C	(1 g)k s
Vt	k			s			.	(8.7)
	(1 r)	k			(1 r)	k
k 1			k s 1

На основании формулы Гордона преобразуем второе слагаемое в правой части равенства

C

(1 g)k s

1

C

(1 g)k

C

(1 g)

1

Vt

s

s

s

. (8.8)

(1 r)

k

r)

s

(1 r)

k

r g

r)

s

k s 1

(1

k 1

(1

Следовательно, можно получить формулу

s

Ck

Cs (1 g)

1

Vt

.

(8.9)

k

r g

r)

s

k 1 (1 r)

(1

Доходность r бессрочной привилегированной акции, равно как и обыкновенной акции с неизменным дивидендом, находится по формуле

r	D	,	(8.10)
	Pm

где D — ожидаемый дивиденд, Рm — текущая рыночная цена акции.

Следует отметить, что при принятии решения о целесообразности покупки акции на основе этой формулы неявно предполагается, что после покупки акции инвестор не предполагает продать ее в ближайшем будущем.

Если инвестор приобретает акцию в спекулятивных целях, намереваясь продать ее через некоторое время, то доходность операции с акцией можно ориентировочно определить по формуле:

				P P
				1	0
r	D			n			,	(8.11)
	P0			P0

где Ро — рыночная цена акции на момент принятия решения о покупке; Р1 — ожидаемая цена акции на момент предполагаемой ее продажи; n — ожидаемое число лет владения акцией; D — средний дивиденд за n лет (он рассчитывается как среднее арифметическое).

Для оценки значений ожидаемой общей доходности обыкновенных акций с равномерно возрастающими дивидендами можно воспользоваться формулой, полученной на основании модели Гордона:

kt		D(1 g)	g	D1	g ,	(8.12)
		P0		P0

где Do — последний полученный к моменту оценки дивиденд по акции; D1 — ожидаемый дивиденд; P0 — цена акции на момент оценки; g — темп прироста дивиденда.

88

8.4 Решение типовых заданий

Задача 1.

Компания гарантирует выплату дивидендов в размере 6 тыс. руб. на акцию в конце каждого года в течение неопределенно долгого времени. Имеет ли смысл покупать акции этой компании по цене 35 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 15% годовых?

Решение.

Поскольку из Vt Ar следует, что истинная стоимость акции со-

ставляет		6		40	тыс. руб., то акции можно приобретать.
		0,15

Задача 2.

Компания за предыдущий год выплатила 2,7 тыс. руб. на акцию. Согласно прогнозам дивиденды по акциям этой компании будут расти на 4% ежегодно в течение неопределенно долгого времени. Сделать вывод о целесообразности покупки акций компании по цене 20 тыс. руб., если можно поместить деньги на депозит под 14% годовых.

Решение.

Обозначая D = 2,7; g = 0,04 и r = 0,14, по формуле Гордона найдем теоретическую стоимость акции

Vt 2,7(1 0,04) 28,08 тыс. руб. 0,14 0,04

Так как стоимость акции с позиции инвестора превышает ее цену, то имеет смысл приобрести акцию.

Задача 3.

Втечение последующих четырех лет компания планирует выплачивать дивиденды соответственно 1,2; 1,8; 2; 2,4 долл. на акцию. Ожидается, что в дальнейшем дивиденд будет увеличиваться равномерно с темпом 5% в год. Рассчитать теоретическую стоимость акции, если рыночная норма прибыли 14%.

Решение.

Вданном случае s = 4 и по формуле (8.9):

V			1,2		1,8		2			2,4		2,4(1 0,05)		1	21,79 долл.
t	1		0,14		(1 0,14)2		1,143		1,144			0,14 0,05		(1 0,14)4

Таким образом, в условиях эффективного рынка акции данной компании на момент оценки должны продаваться по цене, примерно равной 21,79 долл.

89

Задача 4.

Оценить доходность бессрочной привилегированной акции, для которой дивиденд равен 60 рублей в год, рыночная цена 900 рублей.

Решение.

r 90060 0,06666 , т.е. доходность такой облигации составляет при-

мерно 6, 67%.

Задача 5.

Инвестор приобрел акцию за 5 тыс. руб. и продал через три года за 8 тыс. руб. За первый год инвестору выплатили дивиденд в размере 300 руб., за второй - 450 руб., за третий - 600 руб. Определить доходность операции.

Решение.

Средний дивиденд за три года: D					300 450 600	450 руб.
		3
Полагая Ро = 5000 руб., Р1 = 8000 руб., n = 3, находим
r	450		(8000 5000) / 3	0,29 , т.е. доходность операции с акцией
5000		5000

составила 29% годовых.

8.5 Задания для самостоятельного решения

1.За прошлый год компания выплатила дивиденды в размере 200 рублей на акцию, прогнозируется, что в последующие годы дивиденды будут повышаться на 9% ежегодно. Имеет ли смысл покупать акцию, если ее рыночная цена 1800 рублей. Имеется возможность поместить деньги на депозит под 12% годовых с ежемесячным начислением.

2.Дивиденд за прошлый год составил 350 рублей на акцию, в следующие три года прирост дивидендных выплат будет 2% в год. Через три года планируется реструктуризация предприятия, которая продлится два года, в этот период дивиденды будут постоянными и равны 300 рублей на акцию. После реструктуризации компания гарантирует прирост дивидендов на 5% в год. Найти внутреннюю текущую стоимость акции, рыночная норма прибыли равна 10% годовых с полугодовым начислением.

3.В последнем отчетном году дивиденды компании составили 230 рублей на акцию. На следующие два года планируется прирост дивидендов на 3% ежегодно, после чего предприятие гарантирует в течение следующих трех лет дивиденды в размере 280, 290,295 рублей на акцию. Начиная с шестого года дивиденды будут расти на 8% в

90

год. Проанализировать целесообразность приобретения этой акции за 2500 рублей, если можно положить деньги на депозит под 13% с ежеквартальным начислением.

4.Имеется три альтернативных предложения инвестирования денежных средств в акции:

1) дивиденды за последний год составили 40 рублей на акцию и будут расти на 5% ежегодно, продается за 350 рублей;

2) дивиденды за последний год составили 270 рублей на акцию,

вследующие три года составят 280, 300, 310 рублей на акцию, затем будут расти на 3% ежегодно, продается за 3000 рублей;

3) дивиденды за последний год составили 1400 рублей на акцию, в следующие пять лет будут расти на 2% в год, затем прирост составит 6% в год, продается за 12000 рублей.

Выбрать наиболее доходный актив для инвестирования.

5.За прошлый год компания выплатила дивиденды в размере 1,6 долларов на акцию, прогнозируется, что в последующие годы дивиденды будут повышаться на 3% ежегодно. Имеет ли смысл покупать акцию, если ее рыночная цена 27 долларов. Имеется возможность поместить деньги на депозит под 8% годовых с ежеквартальным начислением.

91

9.РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Четыркин, Е. М. Финансовая математика : учебник .— М. :

Дело, 2004 .— 400 с.

2.Красс, М. С. Математика для экономистов : [учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальностям 060400 "Финансы и кредит", 060500 "Бухгалтерский учет, анализ и аудит", 060600 "Мировая экономика", 351200 "Налоги и налогообложение"] / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов .— СПб. [и др.] : Питер, 2008 .— 464 с.

3.Басовский, Л. Е. Экономическая оценка инвестиций : [учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности 080502 "Экономика и управление на предприятии (по отраслям)"] / Л. Е. Басовский, Е. Н. Басовская .— М. : ИНФРА-М, 2008 .— 240, [1] с.

4.Шапкин, А. С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций / А. С. Шапкин .— 6-е изд. — М. :

Дашков и Ко, 2007 .— 544 с.

5.Фалин, Г. И. Актуарная математика в задачах : [учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности 010200 "Прикладная математика и информатика" и по направлению 510200 "Прикладная математика и информатика"] / Г. И. Фалин, А. И. Фалин

.— Изд. 2-е, перераб. и доп. — М. : Физматлит, 2003.— 192 с.

6.Ковалев, В. В. Сборник задач по финансовому анализу :

[учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности "Финансы и кредит" / В. В. Ковалев .— М. : Финансы и статисти-

ка, 2003 .— 125,[2] с.

7.Ковалев, В. В. Практикум по анализу и финансовому менеджменту : конспект лекций с задачами и тестами / В. В. Ковалев .— 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Финансы и статистика, 2006 .— 448 с.

8.Бочаров, П. П. Финансовая математика : учебник для вузов / П. П. Бочаров, Ю. Ф. Касимов .— Изд. 2-е .— М. : Физматлит, 2005

.— 574 с.

92