Актуарная математика

Следовательно, наращенный денежный поток имеет вид

С (1 r)n ,C		(1 r)n 1,...,C (1 r)	(3.4)
1	2	n

и будущая стоимость исходного денежного потока (аннуитета) пре-

нумерандо FVprea

в общем виде может быть рассчитана по формуле

n

FVprea

Ck (1 r)n k 1

,

(3.5)

k 1

очевидно, что

FVprea FVpsta (1 r) .

(3.6)

Для обратной задачи схема дисконтирования представлена на

рисунке 4.

Сп

С2

С1

Сп-1

С3

…

0

1

2

3

…

п-2

п-1

п

С1

С2/(1+r) С3/(1+r) 2 Сп-1/(1+r)n-2 Сп-1/(1+r)n-1

Рисунок 4 – Графическая иллюстрация решения задачи нахождения приведенной суммы для аннуитета пренумерандо.

Следовательно, приведенная стоимость потока пренумерандо PVprea может быть рассчитана по формуле

n		Ck
PVprea			.		(3.7)
		r)k 1
k 1 (1
Аналогично формуле (3.6)
PVprea PVpsta		(1 r) .			(3.8)
Аннуитет называется постоянным, если все денежные поступ-
ления равны между собой, т.е. С1 С2 ... Сn A . Тогда
n			n
FVpsta Ck (1 r)n k A (1 r)n k				A FM 3(r, n) .	(3.9)
k 1			k 1

Множитель FM 3(r, n) называется коэффициентом наращения аннуитета и определяется следующим образом

33

n		(1 r)	n	1
FM 3(r, n) (1 r) n k					.	(3.10)
		r
k 1

Для определения приведенной суммы постоянного аннуитета постнумерандо:

n		1
PVpsta A						A FM 4(r, n)				(3.11)
	(1 r)			k
k 1
	n			1				1 (1 r)	n
FM 4(r, n)										(3.12)
			(1 r) k					r
	k 1

FM 4(r, n) называется коэффициентом дисконтирования аннуитета или фактором текущей стоимости обычного аннуитета или фактором Инвуда.

Между аннуитетами постнумерандо и пренумерандо существует зависимость:

n
FVprea A (1 r)n k		1	A FM 3(r, n)(1 r) ,	(3.13)
k 1
n	1
PVprea A			A FM 4(r, n)(1 r) .	(3.14)
	(1 r)k 1
k 1

Отсроченным аннуитетом называется такой аннуитет, в котором первый из потока платежей начинает поступать через h периодов. Для аннуитета постнумерандо отсроченный на h периодов аннуитет означает, что первое денежное поступление осуществляется в конце (h+1)-го периода, такой аннуитет представлен на рисунке 5. Пусть платежи поступают в течение п периодов и сложные проценты по ставке r начисляются один раз в конце базового периода, совпадающего с периодом аннуитета.

А		А		А		А

…

0

1

2

h h+1 h+2 h+3

п+h

Рисунок 5 – Отсроченный аннуитет постнумерандо

Для данного аннуитета целесообразно нахождение только при-

веденной суммы:

PV psta	A FM 4(r, n)	.
	(1 r) h

При нахождении будущей стоимости отсроченного число h явным образом в формуле не фигурирует.

(3.15)

аннуитета

34

3.4 Решение типовых заданий

Задача 1.

Клиент в конце первого года вкладывает 3 тыс. руб. в банк, выплачивающий сложные проценты по процентной ставке 12% годовых. Определите сумму, которая будет на счете клиента через 7 лет, если, начиная со второго года, вклад увеличивается на 1 тыс. руб. Если эта сумма получается в результате однократного помещения денег в банк в начале первого года, то какой величины должен быть взнос? Как изменятся найденные величины, если деньги вкладываются вначале каждого года?

Решение.

Первый вариант размещения денег является переменным аннуитетом постнумерандо, первый элемент равен 3 тыс.руб., второй – 4 тыс. руб. и т.д. срок – 7 лет.

n

FV psta Ck (1 r) n k 3(1 0,12) 6 4(1 0,12)5 5(1 0,12) 4 6(1 0,12)3 7(1 0,12) 2

k1

8(1 0,12)1 9(1 0,12) 56,0088

Для определения величины взноса (в начале первого года), который при наращении сложными процентами через 7 лет станет равным 56,0088 тыс.руб., можно воспользоваться формулой дисконтирования

P		F		56,0088	25,33554
		r) n		(1 0,12)7
(1

Если же деньги вкладываются в начале каждого года, то имеем дело с постоянным аннуитетом пренумерандо. Будущая стоимость:

FV prea FV psta (1 r) 56,0088(1 0,12) 62,7299

Задача 2. Решение.

Банк предлагает ренту постнумерандо на 15 лет с ежегодной выплатой 10 тыс.руб., при этом каждые пять лет предполагается индексация выплаты на 12%. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной и равна 10% в год. По какой цене целесообразно приобрести эту ренту, если выплаты начнут осуществляться: а) немедленно; б) через 3 года.

Поскольку каждые пять лет предполагается индексация выплат, то имеем переменный аннуитет постнумерандо:

-первые пять лет выплаты равны 10 тыс.руб. в год;

-вторые пять лет выплаты равны 10 (1 0,12) 11,2 тыс.руб. в год;

35

- третьи пять лет выплаты равны 11,2 (1 0,12) 12,544 тыс. руб. в

год.

а) выплаты осуществляются с первого года:

PV				12,544					12,544		...	12,544		11,2		11,2	...	11,2
		pst	(1		0,1)15				(1 0,1)14			(1 0,1)11		(1 0,1)10		(1 0,1)9		(1 0,1) 6
		10				...		10		82,60342
	(1 0,1)5						(1 0,1)1

Если данная рента продается в настоящий момент по цене ниже, чем 82,60342 тыс. руб., то ее целесообразно приобрести, в противном случае цена ренты завышена.

б) выплаты начнутся через 3 года, т.е. отсроченный аннуитет

h 3 :

PV a		A FM 4(r, n)		82,60342	62,06117
pst		(1 r) h		(1 0,1)3

Вывод аналогичен пункту а).

Задача 3. Решение.

Клиент хочет накопить на своем счете 800 тыс. руб., осуществляя в конце каждого года равные вклады в банк под сложную процентную ставку 10% годовых. Какой величины должен быть каждый вклад, чтобы клиент мог накопить требуемую сумму за 5 лет?

Сумма равная 800 тыс. руб. для данного аннуитета является наращенной суммой, поскольку она будет получена через 5 лет, т.е.

FV pst 800 .

FV pst A FM 3(r, n) A					(1 r) n 1				из этой формулы можно выразить
							r
А
A	FV pst r			800 0,1			131,038 тыс.руб.
	(1 r) n 1			(1 0,1)5 1

3.5Задания для самостоятельного решения

1.Клиент в конце каждого года вкладывает 40 тыс. руб. в банк, выплачивающий сложные проценты по процентной ставке 13% годовых. Определите сумму, которая будет на счете клиента через 3 года. Как изменится ответ, если деньги вкладываются в начале каждого года?

2.Предприниматель в результате инвестирования в некоторый проект будет в течение четырех лет получать в конце каждого года

36

120 тыс. руб. Какова современная ценность этих поступлений, если можно поместить деньги в банк под сложную процентную ставку 12% годовых с начислением процентов ежегодно? Что изменится, если деньги начнут поступать через 4 года после начала существования проекта.

3. Анализируются два варианта накопления средств по схеме аннуитета постнумерандо: а) класть на депозит 30 тыс. руб. каждый год при условии, что банк начисляет 8% годовых; б) делать один вклад в размере 200 тыс. руб. на условиях 7% годовых при ежеквартальном начислении сложных процентов. Какая сумма будет на счете через 10 лет при реализации каждого плана? Какой план более предпочтителен?

4. Страховая компания заключила договор с предприятием на три года, установив годовой страховой взнос в 16 тыс. руб. Страховые взносы помещаются в банк под сложную процентную ставку 5% годовых. Определите сумму, которую получит страховая компания по этому контракту, если взносы будут поступать в конце каждого года.

5.Предлагается инвестировать 300 тыс. руб. на 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 60 тыс. руб.). По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 50 тыс. руб. Принимать ли это предложение, если можно депонировать деньги в банк из расчета 10% годовых?

6.Согласно условиям финансового соглашения на счет в банке в течение 7 лет: а) в конце года; б) в начале года будут поступать денежные суммы, первая из которых равна 6 тыс. руб., а каждая следующая будет увеличиваться на 0,3 тыс. руб. Оцените этот аннуитет, если банк применяет процентную ставку 12% годовых и сложные проценты начисляются один раз в конце года. Как изменятся оценки аннуитета, если денежные суммы будут уменьшаться на 0,3 тыс. руб.?

7.За 10 лет необходимо накопить 500 тыс. руб. Какой величины должен быть первый вклад, если предполагается каждый год увеличивать величину денежного поступления на 4 тыс.руб. и процентная ставка равна 8% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года. Определите, на какую величину необходимо увеличивать каждый год денежное поступление, если первый вклад будет равен 15 тыс. руб.

37

4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №4. БЕССРОЧНЫЕ РЕНТЫ, m-КРАТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕНТЫ.

4.1 Цель занятия

Овладеть методикой нахождения наращенной суммы и приведенной суммы для аннуитетов, условия которых отличны от базовых рент.

4.2 Задачи занятия

Освоить навыки определения приведенной и дисконтированной сумм аннуитетов пост- и пренумерандо при m-кратном начислении процентов, при бессрочном периоде платежей, при p-срочном поступлении платежей, а также при условии, что период поступлений превышает базовый период.

4.3Краткие теоретические сведения

иформулы для расчета

Если r – процентная ставка за базовый период, а начисление сложных процентов происходит т раз в течение этого периода, то наращенный денежный поток, начиная с последнего денежного поступления имеет вид

r m

r 2m

r (n 1)m

.

(4.1)

A, A 1

, A 1

,..., A 1

m

m

m

Другими словами, получили геометрическую прогрессию, пер-

			r m
вый член которой равен А и знаменатель –	1				. Следовательно,
			m

сумма п первых членов этой прогрессии равна

r mn

r

1

1

FM 3

, mn

FV

a

A

m

A

m

.

(4.2)

pst

r m

r

1

1

FM 3

, m

m

m

Пусть в течение базового периода денежные поступления происходят р раз и один раз в конце периода начисляются проценты в соответствии со ставкой r. Определим сумму, которая накопится к концу любого периода, если на отдельные взносы, поступающие в течение периода начисляются сложные проценты. На последнее р-е поступление проценты не начисляются и оно остается равным А. На предпоследнее (р-1)-е поступление начисляются сложные проценты

		1		1
	за		-ю часть периода и оно будет равно	A(1 r) p . На (р-2)-е поступ-
		р
			38

ление начисляются сложные проценты за 2p -ю часть периода и оно

1

будет равно A(1 r) p и т.д. до первого включительно, которое будет

p 1

равно A(1 r) p . Т.е. это геометрическая прогрессия с первым членом

1

А, знаменателем равна

(1 r) p и числом членов, равным р, поэтому сумма

		1		p
A	(1 r) p					1		A	r				,	(4.3)
	1								1
	(1 r) p 1								(1 r) p 1

поэтому справедливо

FV a	A	r				FM 3(r, n) A	FM 3(r, n)			(4.4)
			1
pst								1
		(1 r) p 1					FM 3(r,		)
								p

Аналогичным образом можно рассмотреть и самую общую ситуацию, когда в течение базового периода денежные поступления приходят р раз и проценты начисляются т раз за период.

m

r

p

r

p

1

1

FM 3

, mn

FV

a

A

m

A

m

(4.5)

pst

m

r

m

p

r

FM 3

,

1

1

p

m

m

Преобразуем полученную формулу, используя понятие эффек-

r m

тивной годовой процентной ставки ref . Так как ref

1

1, то

m

r

m

(1

ref )

n

1

mref

(4.6)

FM 3

, mn

FM 3(ref , n)

r

r

m

r

m

mr

1

ef

(4.7)

,

FM 3

FM 3 ref ,

.

m

p

r

p

Следовательно

FVpsta A

FM 3(ref , n)

.

(4.8)

1

FM 3 r ,

ef

p

В случае рассмотрения сложных процентов вывод формул для нахождения приведенных стоимостей аннуитетов аналогичны выводам формул для нахождения наращенных сумм. Так для постоянного аннуитета постнумерандо с начислением сложных процентов т раз за базовый период приведенный денежный поток имеет вид

39

A

,

A

,...,

A

(4.9)

r

m

r

2m

r

mn

1

1

1

m

m

m

и следовательно

1

1

(1

r

m n

r

A

)

FM 4

, mn

PV

a

m

A

m

.

(4.10)

pst

r m

1

1

r

1

r

FM 3

, m

m

m

m

(1 m )

Для р-срочных аннуитетов с начислением сложных процентов один раз за базовый период

PVpsta A	FM 4(r, n)			.	(4.11)
	FM 3(r,	1	)
		p

Для р-срочных аннуитетов с начислением сложных процентов т раз за базовый период

r

FM 4

, mn

a

m

PVpst A

,

(4.12)

r

m

FM 3

,

m p

r

m

PV prea

PV psta

(1

) p .

(4.13)

m

Применяя эффективную годовую процентную ставку

r

1 (1 ref

) n

mref

FM 4

, mn

FM 4(ref

, n) ,

(4.14)

r

r

m

m

поэтому

PVpsta A

FM 4(ref , n)

.

(4.15)

1

FM 3 r

,

ef

p

При начислении процентов по сложной учетной ставке d наращенный денежный поток (при т=1, р=1), начиная с последнего денежного поступления

A,

A

,

A

,...,

A

(4.16)

d )2

(1 d )n 1

1

d (1

и следовательно

1

n

1

d

d

1

a(d )

A

1

[(1 d )

n

1]

,

(4.17)

FVpst

A

1

d

1

1 d

40

a(d )	A	1 d	[1 (1 d )			n	] ,				(4.18)
PV pst
		d
PV a(d )	PV a(d )		1	,	FV a(d ) FV a(d )				1	.	(4.19)
			1 d
pre		pst				pre		pst	1 d

Если начисляются непрерывные проценты, то для получения формул определения будущей и приведенной стоимости аннуитета необходимо перейти к пределу т

	FV a( )	A	e n			1	,			(4.20)
	pst
			e p			1
	где - сила роста.
	Приведенная стоимость такого аннуитета
	PV a( )	FV a( ) e n A						1 e n	.	(4.21)
	pst		pst

e p 1

Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время. Математически это означает, что п . В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. Бессрочный аннуитет также называют вечной рентой.

В этом случае прямая задача (определение будущей стоимости аннуитета) не имеет смысла, однако обратная задача (определение приведенной стоимости аннуитета) имеет решение. Для бессрочного аннуитета постнумерандо при п

r

FM 4

, mn

a

A

m

A

,

(4.22)

PV pst

r

m

r

m

r

m

FM 3

,

FM 3

,

1

1

m p

m p

m

Данная формула показывает, что поток даже с неограниченным числом платежей имеет все же конечную приведенную стоимость. С финансовой точки зрения это понятно, поскольку деньги, которые поступят через много лет, сейчас мало что стоят (а при высокой инфляции практически ничего не стоят).

Для определения приведенной стоимости бессрочного аннуитета с денежными поступлениями р раз за период и непрерывным начислением процентов по ставке перейдем к пределу при п

PV a( ) lim A		1 e n					A			.	(4.23)
pst	n
		e p 1				e p 1

Постоянный непрерывный аннуитет Предположим, что в течение каждого периода денежные посту-

пления происходят очень часто, т.е. для р-срочного аннуитета рассмотрим р . Пусть в конце каждого базового периода р-срочного

41

аннуитета суммарная величина денежных поступлений равна А , то-

гда каждое поступление будет равно Ар . Тогда

FV a lim

A

FM 3(r, n)

Ar

FM 3(r, n)

1

ln(1 r)

p p

FM 3(r,

)

p

FM 3(r, n)

PV a

Ar

Ar

FM 4(r, n)

ln(1 r)

(1 r) n

ln(1 r)

(4.24)

(4.25)

Если проценты начисляются т раз за период, то справедливо

FV a

Ar

FM 3(

r

, mn) ,

(4.26)

m2 ln(1

r

)

m

m

PV a

Ar

FM 4(

r

, mn) .

(4.27)

r

m 2 ln(1

)

m

m

При т (находя предел), находим будущую стоимость постоянного непрерывного аннуитета

FV a( ) A e n 1

PV a( ) A 1 e n

,	(4.28)
.	(4.29)

Если непрерывный аннуитет является бессрочным, то при п

	PV a		A				,
		m ln(1			r	)
							(4.30)
					m

PV a( ) A

Аннуитет с периодом, большим, чем базовый Например, постоянный десятилетний аннуитет постнумерандо с

денежными поступлениями каждые два года.

0		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Пусть есть постоянный аннуитет постнумерандо, денежные поступления которого (каждое в размере А) происходят в течение п периодов, являющимися базовыми для начисления процентов по ставке r. Причем денежные поступления осуществляются каждые и периодов, а начисление сложных процентов – в конце каждого периода.

42