Актуарная математика

Условия принятия проекта на основе критерия NTV такие же, как и в случае с NPV. Если: NTV > 0, то проект следует принять; NTV < 0, то проект следует отвергнуть; NTV = 0, то проект ни прибыльный, ни убыточный.

Критерии NTV и NPV взаимообратны. Иными словами, эти критерии дублируют друг друга, т.е. отбор проекта по одному из них дает в точности такой же результат при использовании другого критерия.

Метод расчета индекса рентабельности (Profitability Index, PI) инвестиции является по сути следствием метода расчета NPV

- для ординарного потока:

		n	Ck
			(1 r)k
PI		k 1			;			(5.6)
			IC
- для неординарного потока
		n	Ck
			(1 r) k
PI		k 1
							.	(5.7)
		n

		ICi
		(1 r) j
	i, j 0

Очевидно, что если: Р1 > 1, то проект следует принять; PI < 1, то проект следует отвергнуть; PI = 1, то проект ни прибыльный, ни убыточный.

В отличие от чистой приведенной стоимости индекс рентабельности — относительный показатель; он характеризует уровень доходов на единицу затрат, т.е. эффективность вложений; чем больше значение этого показателя, тем выше отдача каждого рубля, инвестированного в данный проект. PI очень удобен при выборе одного проекта из нескольких альтернативных, имеющих примерно одинаковые значения NPV (в частности, если два проекта имеют одинаковые значения NPV, но разные объемы требуемых инвестиций, то очевидно, что выгоднее тот из них, который обеспечивает большую эффективность вложений), либо при комплектовании портфеля инвестиций с целью максимизации суммарного значения NPV.

Величина NPV зависит от ставки дисконтирования, то есть NPV является функцией от r. Значение ставки r, при котором эта функция NPV(r) будет равна нулю, т.е. NPV (r) 0 называется внутренней нор-

мой прибыли (Internal Rate of Return IRR) (синонимы: внутренняя до-

ходность, внутренняя окупаемость). Другими словами, при начислении сложных процентов на величину инвестиции IC по ставке IRR, можно обеспечить распределенный по времени поток доходов

Р1,Р2,...,Рn.

Смысл расчета внутренней нормы прибыли при анализе эффективности планируемых инвестиций, как правило, заключается в

53

следующем: IRR показывает ожидаемую доходность проекта, и, следовательно, максимально допустимый относительный уровень расходов, которые могут быть ассоциированы с данным проектом. Например, если проект полностью финансируется за счет ссуды коммерческого банка, то значение IRR показывает верхнюю границу допустимого уровня банковской процентной ставки, превышение которого делает проект убыточным. При прочих равных условиях, как правило, большее значение IRR считается предпочтительным.

Ставка внутренней нормы доходности – это такой процент, при котором значение NPV будет равно нулю. Значит для того, чтобы получить точное решение необходимо решить уравнение n-ой степени. Можно воспользоваться следующей приближенной формулой полученной на основе метода интерполяции

	IRR rb (ra	rb )	NPVb		(5.8)
			NPVb	NPVa

при этом должны соблюдаться следующие неравенства ra IRR rb и

NPVb 0 NPVa .

Метод определения срока окупаемости (Payback Period, PP) не предполагает временной упорядоченности денежных поступлений. Алгоритм расчета срока окупаемости зависит от равномерности распределения прогнозируемых доходов от инвестиции. Если доход распределен по годам равномерно, то срок окупаемости рассчитывается делением единовременных затрат на величину годового дохода, обусловленного ими. Например, если инвестиции равны 300 тыс. руб., а ежегодный доход 80 тыс. руб., то срок окупаемости составит:

РР=300/80=3,75 года.

Если прибыль распределена неравномерно, то срок окупаемости (целое число) определяется прямым подсчетом числа лет, в течение которых инвестиция будет погашена кумулятивным доходом. Общая формула расчета показателя РР имеет вид

n
PP min n , при котором Pk	IC	(5.9)
k 1
Некоторые специалисты при расчете		срока окупаемости ин-

вестиций все же рекомендуют учитывать временной аспект. В этом случае в расчет принимается дисконтированный срок окупаемости инвестиции (Discounted Payback Period, DPP), а соответствующая формула для расчета показателя (в целых числах) имеет вид

DPP min n , при котором - для ординарного потока

n	Ck
			IC ;	(5.10)
	(1 r)	k
k 1
				54

- для неординарного потока

	n	C k	n	ICi
					.	(5.11)
		(1 r) k		(1 r) j
	k 1		i, j 0

Очевидно, что в случае дисконтирования срок окупаемости увеличивается, т.е. всегда DPP > PP. Иными словами, проект, приемлемый по критерию РР может оказаться неприемлемым по критерию DPP. Также необходимо отметить, что в оценке инвестиционных проектов критерии РР и DPP могут использоваться двояко: а) проект принимается, если окупаемость имеет место; б) проект принимается только в том случае, если срок окупаемости не превышает установленного в компании некоторого лимита.

Существует ряд ситуаций, при которых применение метода, основанного на расчете срока окупаемости затрат, является целесообразным. В частности, это ситуация, когда руководство коммерческой организации в большей степени озабочено решением проблемы ликвидности, а не прибыльности проекта — главное, чтобы инвестиции окупились и как можно скорее. Метод также хорош в ситуации, когда инвестиции сопряжены с высокой степенью риска, поэтому чем короче срок окупаемости, тем менее рискованным является проект. Такая ситуация характерна для отраслей или видов деятельности, которым присуща большая вероятность достаточно быстрых технологических изменений. Понятие ликвидности проекта здесь условно: считается, что из двух проектов более ликвиден тот, у которого меньше срок окупаемости. Что касается сравнительной оценки рисковости проектов с помощью критерия РР, то логика рассуждений такова: денежные поступления удаленных от начала реализации проекта лет трудно прогнозируемы, т.е. более рискованны по сравнению с поступлениями первых лет; поэтому из двух проектов менее рискован тот, у которого меньше срок окупаемости.

Метод расчета коэффициента эффективности инвестиции (Accounting Rate of Return, ARR) имеет две характерные черты: вопервых, он не предполагает дисконтирования показателей дохода; вовторых, доход характеризуется показателем среднегодовой чистой прибыли PN (прибыль за минусом отчислений в бюджет).

ARR	PN	,	(5.12)
	(IC RV ) / 2

где RV - величина остаточной или ликвидационной стоимости. Данный показатель (также называемый учетной нормой при-

были) чаще всего сравнивается с коэффициентом рентабельности авансированного капитала, рассчитываемого делением общей чистой прибыли коммерческой организации на общую сумму средств, авансированных в ее деятельность (итог среднего баланса-нетто). В прин-

55

ципе возможно и установление специального порогового значения, с которым будет сравниваться ARR, или даже их системы, дифференцированной по видам проектов, степени риска, центрам ответственности и др.

5.4 Решение типовых заданий

Задача 1.

Проанализировать эффективность инвестиционного проекта, который задан следующим финансовым потоком, млн. руб. (начиная с нулевого года, далее между элементами интервал один год): - 200, 70, -80, 100, 50, 150, 100. Ставку дисконтирования принять равной 10% годовых.

Решение.

Для расчетов будем использовать таблицу

Таблица 5.1 – Решение задачи 1

Номер	Элемент	Дисконти-	Наращен-	Дисконти-	Кумулятивное воз-
перио-	финансо-	рованный	ный	рованный	мещение инвестиции
да	вого пото-	поток (r	поток	поток (r	для потока
	ка	=10%)		=30%)	исход-	дисконтиро-
					ного	ванного(r
						=10%)
0	-200	-200	-354,312	-200	-200	-200
1	70	63,63636	112,7357	53,84615	-130	-136,364
2	-80	-66,1157	-117,128	-47,3373	-210	-202,479
3	100	75,13148	133,1	45,51661	-110	-127,348
4	50	34,15067	60,5	17,50639	-60	-93,1972
5	150	93,1382	165	40,39936	90	-0,05899
6	100	56,44739	100	20,71762	190	56,38841
Сумма		56,38841	99,8955	-69,3511

Для расчета значения NPV необходимо найти сумму дисконтированного финансового потока, поскольку поток неординарный

		70				100			50			150			100					80
NPV							3			4			5					200					56,38841
		0,1)	1			0,1)			(1 0,1)			(1 0,1)			(1 0,1)	6				(1 0,1)	2
(1				(1

Значение NPV=56,38841>0, значит, согласно этому критерию

проект принимаем.
NTV 70(1 0,1)5 100(1 0,1)3 50(1 0,1) 2 150(1 0,10 100 200(1 0,1)6 80(1 0,1) 4
99,8955

56

Значение NТV>0, значит согласно этому критерию проект принимаем.

Индекс рентабельности определяем по формуле

	n		Ck				70		100							100
												...
		(1 r) k					(1 0,1)1		(1 0,1)3							0,1)	6
	k 1												(1
PI																			1,21189
	n										80
			ICi
								200
			(1 r) j								0,1)		2
	i, j 0								(1

Значение индекса рентабельности превосходит единицу, значит проект можно принять.

Для нахождения внутренней нормы прибыли необходимо решить уравнение 6-ой степени относительно переменной r следующего вида

		70			100				50			150			100					80
NPV							3			4			5					200					0
		r)	1		(1	r)			(1 r)			(1 r)			(1 r)	6				(1 r)	2
(1

Решая это уравнение точно с помощью пакета прикладных программ MathCad или MS Excel можно получить, что NPV =0 при r = 16,7%. Данное решение означает, что если для финансирования проекта будут привлечены заемные средства, то процент кредитования не должен превышать 16,7%.

Приближенной решение этого же уравнения можно получить по формуле

Поскольку при ставке дисконтирования 10% значение NPV положительное, то необходимо задать новое большое значение ставки дисконтирования, при которой значение NPV станет отрицательным. Пусть ставка дисконтирования равна 30%, тогда

			70				100					50								150					100							80
NPV				1										4							5								200							69,3511
			0,3)				(1 0,3)		3				(1 0,3)							0,3)					0,3)		6					0,3)		2
(1														(1							(1								(1
IRR 0,1 (0,3 0,1)									56,38841										0,1897 18,97% .
								56,38841 ( 69,3511)
Обыкновенный срок окупаемости PP 5 лет,																													т.к. согласно расче-
там, представленным в таблице 70 100 50 150 200 80 .
Дисконтированный срок окупаемости DPP 6 лет
			70				100					50		150							100								80
																											200
		(1 0,1)1					(1 0,1)3					(1 0,1) 4					(1 0,1)5						(1 0,1)6							(1 0,1) 2

Задача 2.

Коммерческая организация рассматривает целесообразность приобретения новой технологической линии. Стоимость линии составляет 10 млн долл.; срок эксплуатации — 5 лет; износ на обо-

57

рудование начисляется по методу равномерной амортизации, ликвидационная стоимость оборудования будет достаточна для покрытия расходов, связанных с демонтажем линии. Выручка от реализации продукции прогнозируется по годам в следующих объемах (в тыс.

долл.): 6800, 7400, 8200, 8000, 6000. Текущие расходы по годам оце-

ниваются следующим образом: 3400 тыс. долл. в первый год эксплуатации линии с последующим ежегодным ростом их на 3%. Ставка налога на прибыль составляет 30%. Сложившееся финансовохозяйственное положение коммерческой организации таково, что коэффициент рентабельности авансированного капитала составлял 21— 22%. В соответствии со сложившейся практикой принятия решений в области инвестиционной политики руководство организации не считает целесообразным участвовать в проектах со сроком окупаемости более четырех лет. Целесообразен ли данный проект к реализации, если при анализе используется ставка дисконтирования 19%?

Решение.

Оценка выполняется в три этапа: 1) расчет исходных показателей по годам; 2) расчет аналитических коэффициентов; 3) анализ коэффициентов.

Этап 1. Расчет исходных показателей по годам представлен в таблице 5.2.

Таблица 5.2 – Расчет исходных показателей для задачи 2

Показатели										Годы
						1-й			2-й		3-й		4-й		5-й
Объем реализации						6800		7400			8200		8000		6000
Текущие расходы						3400		3502			3607		3715		3827
Амортизация						2000		2000			2000		2000		2000
Налогооблагаемая прибыль						1400		1898			2593		2285		173
Налог на прибыль						420		569			778		686		52
Чистая прибыль						980		1329			1815		1599		121
Чистые денежные поступле-						2980		3329			3815		3599		2121
	ния
Этап 2. Расчет аналитических коэффициентов.
а) Расчет чистой приведенной стоимости при r = 19%:
2980		3329			3815			3599			2121
NPV													10000	198 т
	(1 0,19)		(1 0,19) 2		(1 0,19)3				(1 0,19) 4		(1 0,19)5

ыс. долл.

б) Расчет индекса рентабельности инвестиции:

58

	n	Ck
		(1 r)k			9802
PI	k 1						0,98
		IC			10000

в) Расчет внутренней нормы прибыли (IRR) данного проекта как корня уравнения:

	2980		3329		3815		3599		2121	10000 0
	1 r		(1 r)2		(1 r)3		(1 r)4		(1 r)5

В результате решения уравнения находим IRR = 18,1%. г) Расчет срока окупаемости проекта:

РР = 3 года, поскольку кумулятивная сумма чистых денежных поступлений за этот период (10124 тыс. долл.) превышает объем капитальных вложений (более точно РР = 2,97).

д) Расчет коэффициента эффективности проекта:

среднегодовая чистая прибыль			PN	980 1329 1815 1599 121		1168,8
				5
тыс.руб
и поскольку R V = 0, то ARR	1168,8		0,234 23,4%
		5000

Этап 3. Анализ коэффициентов.

Выполненные расчеты показывают, что в зависимости от того, какой критерий эффективности выбран за основу в данной коммерческой организации, могут быть сделаны диаметрально противоположные выводы. Действительно, согласно критериям NPV, PI и IRR проект нужно отвергнуть; согласно двум другим критериям — принять. В данном случае можно ориентироваться на какой-то один или несколько критериев, наиболее важных по мнению руководства коммерческой организации, либо принять во внимание дополнительные объективные и субъективные факторы.

Очевидно, что ситуация резко усложнится, если приходится оценивать, несколько проектов, причем находящихся в различных отношениях взаимозависимости.

Задача 3.

Имеется возможность инвестировать денежные средства в один из альтернативных проектов. Финансовые потоки, соответствующие каждому проекту приведены в таблице. Необходимо выбрать наиболее привлекательный вариант, если ставка дисконтирования принята равной 10%. Финансовые потоки проектов приведены в таблице 5.3.

59

Таблица 5.3 – Исходные данные задачи 3

Период времени	Проект А	Проект Б	Проект В	Проект Г	Проект Д
0	-100	-200	-200	-200	-200
1	-150	-50	-50	-50	-50
2	50	50	50	50	0
3	150	100	100	100	50
4	200	100	100	100	100
5	200	200	200	200	100
6	50	200	200	200	200
7			100	-150	200
8			100	150	100
9			100	100	100
10				100	100
11				100	100
12				100

Решение.

Поскольку необходимо выбрать из пяти альтернативных вариантов, то рассчитаем все рассмотренные выше критерии оценки эффективности инвестиций для каждого проекта в отдельности. Результаты расчетов представлены в таблице 5.4.

Таблица 5.4 – Критерии оценки эффективности проектов

Критерии оценки		Проект А	Проект Б	Проект В	Проект Г	Проект Д
проекта
Сумма	отрица-
тельных	элемен-
тов		-250	-250	-250	-400	-250
Сумма	положи-
тельных	элемен-
тов		650	650	950	1200	1050
NPV		206,6666	176,3796	316,756	317,2586	300,6953
PI		1,874358	1,718584	2,290487	1,983966	2,225055
IRR		0,330491	0,252717	0,30544	0,285922	0,252846
DPP		4	5	5	6	6

Всем проектам соответствует положительное значение критерия NPV, наибольшее значение этого показателя соответствует четвертому проекту. Значение индекса рентабельности также для всех проектов превышает единицу, но максимальное значение достигнуто для третьего проекта. Значение критерия внутренней нормы прибыли из-

60

меняется для пяти проектов в диапазоне [25,27%; 33,05%]. Лучшим по этому критерию признается тот проект, которому соответствует максимальное значение критерия, то есть первый. Чем меньше дисконтированный срок окупаемости, тем проект быстрее переходит из фазы потребления денежных средств в фазу прибыли, следовательно, лучшим с этой позиции является первый проект. Таким образом, в соответствии с четырьмя основными критериями оценки эффективности инвестиций можно утверждать, что второй и пятый проекты не конкурентоспособны по сравнению с оставшимися тремя, а значит в качестве действительно альтернативных могут рассматриваться только три проекта. Окончательный выбор зависит от стратегии лица принимающего решения.

5.5 Задания для самостоятельного решения

1. Провести оценку эффективности инвестиционного проекта, который задан финансовым потоком, представленным в таблице. Ставку дисконтирования принять равной 15%.

Период времени		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Элементы	фи-	-500	50	30	0	100	120	110	180	100	100
нансового	пото-
ка

2. Провести оценку эффективности инвестиционного проекта, который задан финансовым потоком, представленным в таблице. Ставку дисконтирования принять равной 12%.

Период времени		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Элементы	фи-	-100	30	-10	50	70	-30	50	100	80	90
нансового потока

3. Обосновать выбор наиболее привлекательного инвестиционного проекта из шести проектов, представленных в таблице. Ставку дисконтирования принять равной 10%.

Период	Проект	Проект	Проект	Проект	Проект	Проект
времени	А	Б	А+Б	В	Г	Г+Д
0	-50	-100	-150	-200	-50	-250
1	20	-40	-20	30	-20	10
2	40	20	60	50	0	50
3	70	120	190	110	100	210
			61

4	10	110	120	-50	20	-30
5	0	0	0	20	100	120
6	20	-30	-10	40	-50	-10
7	60	100	160	70	100	170
8	40	60	100	80	100	180

6. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №6. УЧЕТ ИНФЛЯЦИИ

6.1 Цель занятия

Овладеть методикой учета инфляционного фактора при определении ожидаемой к поступлению суммы.

6.2 Задачи занятия

Освоить навыки определения положительной, реальной и брутто ставок, отражающих инфляционный процесс.

6.3Краткие теоретические сведения

иформулы для расчета

Инфляция (inflation) определяется как процесс, характеризующийся повышением общего уровня цен в экономике или, что практически эквивалентно, снижением покупательной способности денег. Основополагающий сущностный признак инфляции — рост цен в среднем: не увеличение цены какого-то отдельного товара или даже группы товаров, а увеличение усредненной цены всей номенклатуры (корзины) товаров и услуг, выбранных в качестве базы выявления уровня инфляции. Темпы инфляции определяются с помощью системы индексов цен — относительных показателей, характеризующих среднее изменение уровня цен некоторого фиксированного набора товаром и услуг за выбранный период времени.

Пусть выбран определенный набор товаров и услуг и пусть за время t его стоимость изменилась от суммы Р1, до суммы Р2. Индексом цен (price index) за время t называется величина

I p(t )	P2	.	(6.1)
	P
	1

Индекс цен (его также называют индексом инфляции) показывает, во сколько раз выросли цены за рассматриваемый период.

Темпом инфляции (inflation rate) за время t является величина, которая определяется из формулы

62