Актуарная математика

I p(t )

h	P P
	2 1	.	(6.2)
t	P
	1
Темп инфляции h показывает,			на сколько процентов выросли

цены за период времени. Соотношение между индексом цен и темпом инфляции за время t:

I (t ) 1 h .		(6.3)
p	t
Если известны индексы цен I p(t1) , I p(t 2) ,..., I p(tk )		(или темпы инфляции

htl,ht2,...,htk) за соответствующие периоды времени t1, t2 ,…,tk и эти периоды расположены последовательно друг за другом, то индекс цен за время t t1 t2 ... tk будет равен:

k	k
I p(t ) I p(t1) I p(t 2) ... I p(tk ) I p(ti) (1 hti ) .		(6.4)
i 1	i 1

Если за время t была получена некоторая наращенная сумма F, а индекс цен составил величину , то эта сумма с учетом ее обесцене-

ния составит:
			F	.	(6.5)
	F
			I (t )
			p
Пусть на капитал Р происходит начисление простых процентов

по ставке r в течение времени п и индекс цен за это время равен I p(n)

						P(1 nr)	.
	тогда, учитывая обесценение денег за это время, получим			F
						I (n)
						p
	Здесь	1 nr	, представляет собой множитель наращения простых про-
		I (n)
		p

центов с учетом инфляции. Для сложных процентов

					r	(m) mn
			P 1
						m
F								.
				I (n)
					p

Для наращения по простой учетной ставке

			P
	F
				.
			(1 nd ) I (n)
			p

Для наращения по сложной учетной ставке

						P
F									.
				d	(m) mn
		1						I (n)
					m			p

Для наращения непрерывным образом

F Pe n .

I p(n)

(6.6)

(6.7)

(6.8)

(6.9)

63

Реальное наращение первоначального капитала с учетом покупательной способности денег будет только в том случае, если множи-

тель наращения будет превышать индекс инфляции.
Для наращения по простой процентной ставке
1 nr I p(n) .	(6.10)

Для сложных процентов

		r (m) mn		(n)
				I p .
1		m

Для наращения по простой учетной ставке

	1	I p(n) .
	(1 nd )

Для наращения по сложной учетной ставке

			1		I p(n) .
		d	(m) mn
1
			m

Для наращения непрерывным образом

e n I p(n) .

Из этих неравенств найдем Для наращения по простой процентной ставке

	I (n)	1
r	p			.
	n

(6.11)

(6.12)

(6.13)

(6.14)

(6.15)

Для сложных процентов

r

m mn

1 .

(6.16)

I p(n)

Для наращения по простой учетной ставке

d

I (n)

1

.

(6.17)

p

I (n)

n

p

Для наращения по сложной учетной ставке

1

d

m 1 mn

.

(6.18)

(n)

I p

Для наращения непрерывным образом

ln I

(n)

p

.

(6.19)

n

Ставка, соответствующая представленным выше неравенствам называется положительной процентной ставкой, так как в этом случае будет происходить реальное увеличение капитала.

Для того чтобы в условиях инфляции стоимость первоначального капитала на самом деле росла, исходную процентную ставку увеличивают, т.е. происходит индексация ставки. Такую новую ставку с поправкой на инфляцию можно условно назвать брутто-ставкой

64

( r ). В таком контексте исходную процентную ставку иногда называют нетто-ставкой. Величина брутто-ставки определяется в зависимости от целей. Для обеспечения полной компенсации негативного действия инфляции и получения доходности согласно первоначальной станке r, размер брутто-ставки определяется для наращения по простым процентам из равенства

							(1 nr)I p(n) 1
	1 nr
1 nr				, т.е.	r				.	(6.20)
	I (n)						n
	p

Для сложных процентов

					r(m)
	(m)						(n)
			1			mn	I p	1 .
r m
					m

Для наращения по простой учетной ставке

		I (n) (1 nd )
d		p	.
		I (n) n
		p

(6.21)

(6.22)

Для наращения по сложной учетной ставке

						d (m)
		(m)						(n)
							mn	I p
d m 1 1						m

.	(6.23)

	Для наращения непрерывным образом
				1	ln I p(n) .	(6.24)
				n

Пусть теперь задана номинальная процентная ставка r, т.е. объявлена норма доходности. Тогда для определения реальной процентной ставки rreal (доходности с учетом инфляции при начислении простых процентов):

для наращения по схеме простых процентов 1 nr						1 nr	следо-
				real		I (n)
						p
вательно
	1	1 nr
r				1 .	(6.25)
			(n)
real
	n		I p

Для сложных процентов

			(m)
		r				1
rreal(m) m 1									1 .	(6.27)
							(n)
		m
				mn I
							p

Для наращения по простой учетной ставке

		1 I (n) (1 nd )
	d real	p	.	(6.28)
		n

Для наращения по сложной учетной ставке

				d (m)
(m)						(n)
dreal					mn	I p
	m 1 1			m

.	(6.29)

Для наращения непрерывным образом

65

real		1	ln I p(n) .	(6.30)
		n

Из формул следует, что реальная процентная ставка может быть отрицательной, если инфляция в известном смысле обгоняет номинальную процентную ставку (и даже брутто-ставку). И такая возможность не является теоретической: отрицательной реальная процентная ставка была в России во время реформ 1992 — 1993 гг.

Таким образом, при инфляции различают следующие виды процентных ставок. Номинальная процентная ставка — это исходная базовая (как правило, годовая) процентная ставка, указываемая в договорах. Доходность, выражаемая этой ставкой, не скорректирована на инфляцию. Реальная процентная ставка показывает доходность с учетом инфляции, характеризующейся снижением покупательной способности денег. Реальная процентная ставка в условиях инфляции всегда меньше номинальной и может быть даже отрицательной. Положительная процентная ставка — это любая ставка, при которой будет происходить реальное увеличение стоимости капитала при данном индексе инфляции. Брутто-ставка процента — это любая процентная ставка, превышающая номинальную. Но, как правило, брут- то-ставка является положительной процентной ставкой.

В условиях галопирующей инфляции (15-20% в год) используется и плавающая процентная ставка. При начислении простых процентов на вклады и кредиты сроком до года применяется формула,

		m	t	k
которую можно записать в виде	F P 1				ik	, где tk— продолжи-
		k 1	T

тельность в днях периода, на который установлена процентная ставка ik, Т - количество дней в году, обычно принимаемое равным 360.

Кроме вышеизложенных методов, компенсацию инфляции можно также осуществлять периодической индексацией первоначальной суммы Р, как это делается, например, в Великобритании.

Индекс цен, вычисляемый за время t, может оказаться и меньше единицы. Это произойдет в случае снижения общего уровня цен в экономике, чем характеризуется процесс дефляции (deflation). Вместо темпа инфляции можно определить аналогичным образом темп дефляции и в связи с этим выигрыш при определении наращенных сумм с учетом дефляции и прочие величины.

6.4 Решение типовых заданий

Задача 1.

На сумму 5 тыс. руб. в течение трех месяцев начислялись простые проценты по ставке 40% годовых. За каждый месяц цены росли

66

соответственно на 15, 12 и 10%. Найти наращенную сумму с учетом инфляции и величину положительной процентной ставки.

Решение.

Так как индексы цен по месяцам последовательно равны 1,15; 1,12; 1,1, то индекс цен I p(0,25) за квартал (0,25 часть года):

k

I p(t ) I p(t1) I p(t 2)

... I p(tk ) I p(ti) 1,15 1,12 1,1 1,4168

i 1

P(1 nr)

5(1 0,25 0,4)

3,882 тыс.руб.

F

I (n)

1,4168

p

r

I p(n) 1

r

r

1,4168 1

1,6672

n

0,25

Следовательно, при данном росте цен реальное наращение капитала будет происходить только при ставке, превышающей 166,72%.

Задача 2.

Определить реальную ставку простых процентов за год, если номинальная процентная ставка равна 60% при годовой инфляции в

30%.

Решение.

Полагая п = 1, I p(1) =1,3, r= 0,6, получим

						1 0,6
	1	1 nr
r				1			1	0,2308	или r	real	= 23,08% годовых.
			(n)
real
	n		I p			1,3

Задача 3.

В 1993 г. в России можно было поместить деньги на рублевый депозит под 500% годовых. Инфляция в том году составляла примерно 900%. Выяснить выгодность депозита.

Решение.

Поскольку п = 1, I p(1) =1 + 9 = 10, r = 5, то находим реальную

							1 5
		1	1 nr
процентную ставку:	r				1			1	0,4 . Таким образом, ин-
				(n)
	real
		n		I p			10

фляция за год «съест» 40% реальной стоимости вклада и к концу года фактически останется 60% от первоначальной стоимости вклада.

Задача 4.

В ситуации предыдущего примера можно было поместить деньги на долларовый депозит под 35% годовых. Определить привлекательность такого депозита, если курс продажи долларов в начале года был 450 руб., а курс покупки в конце года — 1250 руб.

Решение.

67

Пусть в начале года имелась сумма в рублях, равная Р. Тогда после операций конвертирования и наращения в конце года эта сумма (в рублях) составит:

	F	P	(1 0,35) 1250 3,75P	и так как I p 10 , то			P(1 nr)		3,75P	0,375P .
					F
		450					I (n)		10
							p

Следовательно, долларовый депозит еще хуже, чем рублевый, поскольку потери вкладчика будут больше (62,5% против 40% реальной стоимости вклада).

Задача 5.

На вклад в 30 тыс. руб. ежемесячно начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 40%. Оценить сумму вклада через 1,5 года с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции 2% в месяц. Какова должна быть величина положительной процентной ставки?

	Решение.
	За		п		=	1,5	года	сумма	вклада	составит
			0,4	12 1,5
F1,5	30 1				54,131 тыс. руб
			12

Индекс инфляции за 1,5 года при темпе инфляции 2% в месяц

I p(1,5) (1 0,02)18 1,4282

Находим величину вклада с точки зрения ее покупательной спо-

	собности			Pan			54,131		37,902 тыс. руб.
		F
				I (n)		1,4282
				p

Вычитая из этой величины первоначальную сумму вклада, найдем реальный доход владельца вклада: 37,902-30 = 7,902 тыс. руб.

Положительная процентная ставка r(12) должна удовлетворять неравенству r(12) 12(18 I p(1,5) 1) 0,24 .

Таким образом, при темпе инфляции 2% в месяц и ежемесячном начислении сложных процентов реальное наращение капитала будет происходить только при процентной ставке, превышающей 24%.

Поскольку известен ежемесячный темп инфляции h = 2%, а сложные проценты начисляются также ежемесячно, то ставка за ме-

r(12)

сяц должна превышать темп инфляции, т.е. 12 2% или r(12) 24%

Задача 6.

В условиях предыдущего примера при темпе инфляции 2% в месяц по формуле найти брутто-ставку.

Решение.

68

						r(m)
	r	(m)	m	1				I p
							mn
						m

			0,4				т.е. ставка 64,8%
1	12 1			1,02	1	0,648
			12

годовых при ежемесячном начислении сложными процентами и данном темпе инфляции обеспечивает реальную доходность в 40% годовых.

Задача 7.

Банк предлагает клиентам помещать деньги на депозит на один год под 32% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Найти реальную доходность такого предложения для клиентов банка, если ежемесячный индекс инфляции прогнозируется рав-

ным 1,02.

Решение.

Найдем индекс инфляции за п = 1 год: I p 1,0212 1,2682 . Полагая

	(4)		(m)
т = 4, r		= 0,32
			rreal	m 1

r	(m)			1					0,32			1
						1
							4 1								1	0,0709
m		mn		(n)					4	4		1,2682
				I p

Таким образом, реальная доходность (в виде реальной номинальной процентной ставки) при помещении денег на депозит будет составлять примерно 7,09% годовых.

6.5 Задания для самостоятельного решения

Есть возможность выбора одного из вариантов размещения денежных средств:

а) поместить деньги на рублевый депозит под 11% годовых при начислении сложных процентов каждый квартал. Инфляция составляет примерно 2% в месяц;

б) поместить деньги на валютный депозит под 6% годовых. Курс продажи евро в начале года был 33 руб., а курс покупки в конце года — 35,6 руб.

Задача 2.

На вклад в 10 тыс. руб. ежемесячно начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 10%. Оценить сумму вклада через 2 года, если темп инфляции 3% в квартал. Какова должна быть величина положительной процентной ставки? Найти величину брутто-ставки и реальной процентной ставки.

Задача 3.

Банк предлагает клиентам помещать деньги на депозит на один год под 12% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов. Найти реальную доходность такого предложения для клиен-

69

тов банка, если ежемесячный индекс инфляции прогнозируется рав-

ным 1,014.

Задача 4.

На вклад в 30 тыс. руб. каждые полгода начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 14%. Оценить сумму вклада через 18 месяцев, если темп инфляции 3,5% в квартал. Какова должна быть величина положительной процентной ставки?

Задача 5.

На сумму 12 тыс. руб. в течение полугода ежеквартально начислялись сложные проценты по ставке 18% годовых. За каждый месяц цены росли соответственно на 2; 1; 1,6; 1,5; 1,2; 1,7%. Найти наращенную сумму с учетом инфляции и величину положительной процентной ставки.

7. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №7. ОЦЕНКА ОБЛИГАЦИЙ

7.1 Цель занятия

Овладеть методикой оценки целесообразности приобретения купонной или бескупонной облигации.

7.2 Задачи занятия

Освоить навыки расчета внутренней текущей стоимости облигации с нулевым купоном, с купоном, выплачивающимся один или несколько раз в год; определения общей и текущей доходности облигации.

7.3 Краткие теоретические сведения и формулы для расчета

Облигации (bonds) являются долговыми ценными бумагами. Они могут выпускаться в обращение государством или корпорациями; в последнем случае облигации называются долговыми частными ценными бумагами. Как правило, облигации приносят их владельцам доход в виде фиксированного процента к нарицательной стоимости. Вместе с тем существуют облигации с плавающей ставкой, меняющейся по некоторому вполне определенному алгоритму.

По сроку действия облигации подразделяются на краткосроч-

ные (до 1 года), среднесрочные (от 1 года до 5 лет), долгосрочные (от

5 до 30 лет) и бессрочные (выплата процентов осуществляется неопределенно долго). Периодическая выплата процентов по облигациям осуществляется по купонам — вырезным талонам с напечатанной на нем цифрой купонной ставки. Факт оплаты дохода сопровождается

70

изъятием купона из прилагаемой к облигации карты. Периодичность выплаты процента по облигации определяется условиями займа и может быть квартальной, полугодовой или годовой. При прочих равных условиях, чем чаще начисляется доход, тем облигация выгоднее, тем выше ее рыночная цена.

Облигации могут быть охарактеризованы различными стоимостными показателями:

Нарицательная стоимость напечатана на самой облигации и используется чаще всего в качестве базы для начисления процентов. Этот показатель имеет значение только в двух случаях: в момент выпуска облигации при установлении цены размещения, а также в моменты начисления процентов, если последние привязаны к номиналу.

Конверсионная стоимость — это расчетный показатель, характеризующий стоимость облигации, проспектом эмиссии которой предусмотрена возможность конвертации ее при определенных условиях в обыкновенные акции фирмы-эмитента.

Выкупная цена (синонимы: цена досрочного погашения, отзыв-

ная цена) — это цена, по которой производится выкуп облигации эмитентом по истечении срока облигационного займа или до этого момента, если такая возможность предусмотрена условиями займа. Эта цена совпадает с нарицательной стоимостью, как правило, в том случае, если заем не предполагает досрочного его погашения. С позиции оценки поэтому разделяют два вида займов: без права и с правом досрочного погашения.

Рыночная (курсовая) цена облигации определяется конъюнктурой рынка. Значение рыночной цены облигации (Рт) в процентах к номиналу (М) называется курсом облигации. Эта цена может не совпадать с текущей внутренней стоимостью облигации. Так как курс облигации определяется из выражения

Pm	100% ,	(7.1)
M

то, если облигация, например, номиналом 500 руб. продается по цене 465 руб., ее курс составит 93%.

Оценка облигаций с нулевым купоном представляет собой самый простой случай. Поскольку денежные поступления по годам, за исключением последнего года, равны нулю, то текущая внутренняя стоимость данной облигации:

Vt			C	,	(7.2)
			r) n
	(1

где С - сумма, выплачиваемая при погашении облигации; п — число лет, через которое произойдет погашение облигации.

71

Бессрочная облигация предусматривает неопределенно долгую выплату дохода ( Сл ) в установленном размере. Имеем постоянный бессрочный аннуитет постнумерандо (Ck = А для любого k):

V

A

.

(7.3)

t r

Денежный поток при оценке безотзывных облигаций с постоянным доходом складывается из одинаковых по годам поступлений А и нарицательной стоимости облигации М, выплачиваемой в момент погашения. Так как поступления по купонам образуют постоянный аннуитет постнумерандо (с членом, равным А), то:

n	A			M			M
Vt					A FM 4(r, n)			.	(7.4)
	(1 r) k			r) n			r) n
k 1		(1			(1

Если обозначить через g купонную ставку (в десятичных дробях), то

А = Mg.

При определении курсовой цены облигации можно пользоваться не величинами в денежном выражении, а в процентах.

	V t	100%	A	FM 4(r, n)100%	1	100% .	(7.5)
	M		M		(1 r) n

В экономически развитых странах весьма распространенными являются облигационные займы с полугодовой выплатой процентов. Такие займы более привлекательны, поскольку инвестор в этом случае в большей степени защищен от инфляции и, кроме того, имеет возможность получения дополнительного дохода от реинвестирования получаемых процентов. Это же касается и облигаций с поквартальной выплатой процентов.

Поскольку выплаты по купонам представляют собой р-срочный

аннуитет постнумерандо с членом Mg

p

(р=2 или р=4), то

Vt		Mg		FM 4(r, n)				M	.	(7.6)
								(1 r) n
		p FM 3(r,			1	)
					p

Однако на практике при оценке облигаций с полугодовыми и квартальными выплатами текущего дохода исходят из годовой номинальной ставки с начислением сложных процентов, равным числу выплат купонного дохода. То есть при расчете Vt применяют формулу для т = р:

Vt		Mg	FM 4(	r	, pn)		M			.	(7.7)
		p		p				r	pn
						1
								p

72