Reaserch_SystCoord_MapProection

Аналіз цих даних показує, що спотворення довжин ліній на краях зон Гаусса-Крюгера в системі координат СК-63 досягає 1:5 000. Треба зазначити, що тільки три області повністю розміщуються в одній 3-гра- дусній зоні Гаусса-Крюгера в СК-63. Якщо зону розширюють для того, щоб область була розташована в одній зоні Гаусса-Крюгера, то макси­ мальні спотворення довжин ліній (а відтак і площ) значно перевищу­ ють максимальні спотворення у стандартних зонах. Так, наприклад, максимальне спотворення довжин ліній в Автономній Республіці Крим досягає до 1:1 400, а у Кіровоградській області — 1:1 900. Враховуючи те, що проекція Гаусса-Крюгера є рівнокутною, то простежується пря­ ма залежність між спотвореннями довжин ліній і спотвореннями площ ділянок. Ця залежність має такий вигляд:

де — спотворення площ, — маштабний коефіцієнт спотворення довжин.

Тоді максимальне спотворення площ досягає в зазначених випад­ ках величини 1:700— 1:950. Для земельних ділянок величиною від 1 до 1000 га величини спотворень площ зображено на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Залежність максимального спотворення площ

від площі земельної ділянки для АР Крим

Аналіз спотворення площ у проекціях Гаусса-Крюгера в СК-63 і СК-42 показує, що для земельних ділянок площею 7 га та більше, мак­ симальні спотворення більші 0,01 га, що перевищує граничне значення прийнятих облікових одиниць для сіл та інших населених пунктів.

Таким чином, ні використання системи координат СК-63, а ні ви­ користання СК-42 не забезпечують необхідної точності при кадастро­ вому картографуванні великих і середніх об'єктів.

61

Слід звернути увагу на те, що діючі нормативні документи Держкомзему, які регулюють точнісні характеристики земельно-кадастрових знімань, не відповідають сучасним вимогам земельних відносин і пот­ ребують перегляду.

3.5. Результати досліджень точнісних характеристик місцевих систем координат

Важливими характеристиками при встановленні місцевих систем координат є максимально можливі розміри зон — областей, на які мож­ на поширювати місцеві системи координат. Очевидно, що для вирі­ шення цієї задачі необхідно визначити максимально можливу відстань

від осьового меридіана зони, в якій спотворення довжин	відстаней,
а отже і площ, будуть меншими наперед заданих величин	— певних

допусків. Такими допусками є похибки математичної основи топогра­ фічних планів у масштабі 1:500, 1:1000, 1:2000 та 1:5000, які не повинні перевищувати 0,1 мм в масштабі плану.

Для місцевих систем координат, утворених на основі проекції Гау- сса-Крюгера, ця максимальна відстань може бути визначена за такою формулою:

(3.1)

Проінтегрувавши вираз (3.1) AL отримаємо:

(3.2)

Тоді вираз для набуває вигляду:

(3.3)

Тут — допуск похибки математичної основи топографічних пла­ нів; — максимально допустима відстань від осьового меридіану зони проекції Гаусса-Крюгера; R — радіус Земної кулі (R ~ 6378 км).

Результати розв'язання рівняння (3.2) для топографічних планів у масштабі 1:500, 1:1000, 1:2000 та 1:5000 наведено в табл. З.5.

Таблиця 3.5. Результати дослідження максимальних відстаней

від осьового меридіана в проекції Гаусса-Крюгера

62

4. РОЗРОБЛЕННЯ МЕТОДІВ ОПТИМІЗАЦІЇ ПРОЕКЦІЙ ДЛЯ КАРТОГРАФУВАННЯ ТЕРИТОРІЇ УКРАЇНИ

ТА її РЕГІОНІВ

4.1. Визначення та обґрунтування оптимальних параметрів заданих систем координат і картографічних проекцій для України та її регіонів

В основу визначення інтегральних критеріїв вибору картографіч­ них проекцій та їх параметрів найчастіше покладають критерії мінімаксного або варіаційного типів. Критерій мінімаксного типу (кри­ терій Чебишова) визначається відношенням найбільшого част­ кового масштабу довжин (у межах території, що картографується) до найменшого:

де — максимальне, а — мінімальне значення часткового масштабу довжин у межах території, що картографується.

Цей критерій важливий у тих випадках, коли спотворення дов­ жин перевищуює певну норму за абсолютним показником, який є критичним.

Але у більшості випадків доцільнішим є застосування критерію варіаційного типу :

(4.1)

Тут S — площа території, — критерій для визначення спотворень довжин.

При визначенні оптимальних параметрів для проекції необхідно, щоб було виконано умову

(4.2) В основі визначення цього критерію найчастіше лежать формули

для визначення спотворень довжин вчених Ейрі, Йордана, Конусо­ вої [3]. Ці формули дуже мало різняться між собою і, практично, да­ ють один і той же результат. У виконаних дослідженнях використаний критерій Ейрі-І [3], що з урахуванням (4.1) та (4.2) приводить до функ­ ціоналу:

64

(4.3)

де а та Ь— найбільший і найменший часткові масштаби за напрямка­ ми в точці з координатами В, L.

З огляду на складність підінтегрального виразу (4.3) рішення задачі знаходиться у числовому вигляді. Для цього територія, що картографіується, розчленовується на елементарні ділянки з приростами коор­

динат	і площею окремої д і л	Тоді вираз
(4.3) можна переписати як:

Прийнявши площу всієї території за S, з урахуванням наведеного можна отримати:

	(4.4)
при достатньо малих	та

Із метою покращення характеристик проекцій були проведені до­ слідження з оптимізації параметрів існуючих і створення нових про­ екцій. Розглядалися проекції:

—поперечно-циліндрична проекція Меркатора — ТМ — оптимізована за положенням і масштабом осьового меридіана;

—рівнокутна конічна проекція Ламберта, оптимізована за положен­ ням паралелей перетину;

—проекція Чебишова, оптимізована за масштабом на кордоні те­ риторії.

На підставі виразу (4.4) було створено й досліджено алгоритми для оптимізації параметрів картографічних проекцій.

Вибір цих проекцій зумовлений тим, що поперечно-циліндрична проекція Меркатора та рівнокутна конічна проекція Ламберта були рекомендовані Європейською асоціацією національних картографогеодезичних і кадастрових служб для використання, відповідно, у великомасштабному та дрібномасштабному картографуванні (лист Eurogeographics керівникам національних картографо-геодезичних служб від 12.09.2001 p.), а проекція Чебишова має найменші спотворення серед усіх рівнокутних проекцій.

65

4.2. Методика розрахунку оптимальних параметрів картографічних проекцій для території України

Узагальнена методика для оптимізації параметрів будь-яких кар­ тографічних проекцій. Ця методика — найбільш універсальна і потре­ бує мінімуму вихідних даних, але вона досить чутлива до машинних ресурсів, а тому її доцільно застосовувати для проекцій зі складними формулами визначення масштабів, передусім для проекцій подвійно­ го проектування, косих та поперечних проекцій з неортогональною картографічною сіткою або проекцій, заданих своїми прямокутними координатами у вузлах картографічної сітки.

Суть методики полягає в тому, що для кожної елементарної ділян­ ки території для проекції послідовно знаходять коефіцієнти Гаусса:

(4.5)

значення масштабів уздовж меридіана та паралелі:

(4.6)

та максимальне і мінімальне значення часткових масштабів:

Для визначення оптимальних параметрів проекції значення частко­ вих масштабів та необхідно подати їх як функції від параметрів оптимізації. При цьому умова (4.4) трансформується в умову

(4.7)

де — вектор параметрів, що підлягають оптимізації. Умові (4.7) відповідає система із k рівнянь:

(4.8)

66

Система (4.8) нелінійна. Для надійного розв'язку її необхідно при­ вести до лінійного вигляду:

(4.9)

Тут — коефіцієнти матриці лінійних рівнянь, що визначаються із виразів:

		(4.10)
У формулах (4.10) вектор	— окіл точного рішення,	і змінюються
від 1 до к. Значення	а також часткові	похідні
т	о	визначати

числовими методами. Особливо це стосується випадків, коли формули для обчислення масштабів невідомі або занадто складні для ефектив­ ного обрахування аналітичних похідних.

Якщо накреслити фрагмент сітки меридіанів і паралелей (трафа­ рет), то можна виразити необхідні похідні за допомогою їх числових апроксимацій, виражених через значення у вузлах сітки (рис. 4.7).

Обчисливши значення ,	для кутів	елементарних трапецій,
знайдемо наближені перші та другі часткові		похідні ,	та
для і, j-ro вузлів сітки за такими формулами:

(4.11)

67

Рис. 4.1. Трафарет для знаходження часткових похідних за значеннями функцій у вузлах сітки

Тут — відстань між і + 1 та і паралеллю сітки, lj — відстань між двома сусідніми меридіанами сітки.

Аналогічно обчислюються часткові похідні та

Після обчислення за формулами (4.10) коефіцієнтів і вільних членів системи рівнянь (4.9) можна розв'язати систему рівнянь (4.12) при

умові	і знайти поправки	до попередніх значень пара­
метрів	Далі треба уточнити значення :
		(4.12)

Верхній індекс у дужках означає номер ітерації. Оскільки окіл точ­ ного рішення може спочатку бути визначений недостатньо точно, то задачу розв'язують шляхом ітерацій, повторюючи виконання пунктів (4.8-4.15) доти, доки поправки не стануть меншими деякої наперед заданої величини Як правило, для отримання задовільного рішення достатньо виконати 3-4 ітерації.

Така методика є універсальною і може бути застосована для оптимізації параметрів будь-яких проекцій (із відповідним вектором пара­ метрів що оптимізуються).

68

Швидкий алгоритм для оптимізації параметрів проекцій з ортого­ нальною картографічною сіткою. З огляду на те, що при великомасш­ табному картографуванні особливе місце займають проекції з ортого­ нальною картографічною сіткою, доцільним є розроблення методики для цих проекцій. Умова (4.4) трансформується в таку:

(4.13)

Очевидно, що умова (4.13) аналогічна умові Лежандра для наступ­ ної системи з рівнянь:

(4.14)

Систему рівнянь (4.14) можна привести до лінійного вигляду:

(4.15)

Тут

Система рівнянь (4.15) добре зумовлена. Особливість системи по­ лягає в тому, що в ній, як правило, не більше 3-4 невідомих, а кількість рівнянь п може сягати кількох сотень тисяч. Тому під час формуван­ ня цієї системи доцільно паралельно формувати матрицю нормальних рівнянь. Розв'язавши систему таких нормальних рівнянь, знаходимо поправки Як і в першому алгоритмі, рішення задачі знаходиться в ітеративному процесі.

Методика оптимізації параметрів поперечно-циліндричної проек­ ції Меркатора - ТМ. Однією з найперспективніших і найпоширеніших на сьогодні у світовій практиці картографічних проекцій для вели­ комасштабного картографування є поперечно-циліндрична проекція Меркатора — ТМ. Враховуючи особливе місце, яке займає ця проек­ ція, було розроблено швидкий алгоритм для її оптимізації (для інших

69

конформних проекцій алгоритм потребує невеликих змін). Проекцію оптимізують лише за двома параметрами — довготою осьового ме­ ридіана і масштабним коефіцієнтом на осьовому меридіані Ос­ кільки поперечно-циліндрична проекція Меркатора — ТМ рівнокутна, то критерій (4.3) можна трансформувати в критерій Ейрі для цієї про­ екції в аналітичному вигляді:

(4.16)

Для оптимізації проекції можна знайти такі

та

щоб

(4.17)

Очевидно, що умова (4.17) аналогічна умові Лежандра для такої системи з рівнянь:

(4.18)

Систему рівнянь (4.18) треба привести до лінійного вигляду

(4.19)

Тут

Система рівнянь (4.19) аналогічна системі (4.15). Тому і під час її формування доцільно паралельно формувати матрицю нормальних рівнянь. Розв'язавши систему нормальних рівнянь, знаходимо поправ­ ки Рішення задачі знаходиться в ітеративному процесі.

Знайдемо робочі формули для обчислення коефіцієнтів системи рівнянь (4.19). Масштаб по меридіану в проекції Гаусса-Крюгера ста­ новитиме [3]:

(4.20)

Відповідно масштаб по меридіану в проекції ТМ:

(4.21)

70