Reaserch_SystCoord_MapProection

З виразів (4.20) і (4.21) знайдено робочі формули для обчислення часткових похідних від :

(4.22)

Після обчислення за формулами (4.20 — 4.22) коефіцієнтів і віль­ них членів системи рівнянь (4.19) систему рівнянь розв'язують, знахо­ дячи поправки та та уточнюючи значення та :

(4.23)

Задачу розв'язують шляхом ітерацій, повторюючи виконання пунк­ тів (4.19 — 4.23) до тих пір, поки поправки та не стануть мен­ ші за деяку наперед задану величину

Оптимізація поперечно-циліндричної проекції Меркатора - ТМ на прикладі території Київської області. Для оцінки оптимізації застосо­ вується критерій Ейрі-І (4.3). Оскільки проекція ТМ рівнокутна, то кри­ терій (4.4) можна трансформувати в критерій Ейрі для універсальної по­ перечно-циліндричної проекції Меркатора — UTM в аналітичній формі:

(4.24)

З огляду на складність підінтегрального виразу (4.24) рішення за­ дачі виконується в числовому вигляді. Для цього територія, що карто­ графується (тут — Київської області) розчленовується на елементарні ділянки з приростами координат і площею

Тоді вираз (4.24) можна переписати як:

(4.25)

при достатньо малих та Для оптимізації параметрів проекції визначаються такі і щоб

(4.26)

71

Із умови (4.26) можна записати рівняння умови екстремуму функ­ ції двох змінних:

(4.27)

Система рівнянь (4.27) нелінійна. Для розв'язку її необхідно при­ вести до лінійного виду. Окіл точного рішення визначається таким чином: приймемо що = \ а за візьмемо довготу географічного центру території, визначену за методикою, наведеною в [8]. Приве­ дені до лінійного виду рівняння екстремуму (4.27) будуть мати такий вигляд:

(4.28)

Тут і — поправки до і , та — коефіцієнти мат­ риці лінійних рівнянь, а — вільні члени системи (4.28).

Із (4.27) були знайдені формули для обчислень :

(4.29)

Робочі формули для обчислення (4.29) мають такий вигляд. Масштаб по меридіану в проекції Гаусса-Крюгера [3]:

(4.30)

72

відповідно масштаб по меридіану в поперечно-циліндричній проекції Меркатора — ТМ:

(4.31)

Із (4.30) і (4.31) знайдені робочі формули для обчислення перших і других часткових похідних від. Перші похідні:

(4.32)

Із (4.32) отримані формули для обчислення других похідних:

(4.33)

Після обчислення за формулами (4.29) коефіцієнтів і вільних членів

рівняння (4.28) і його розв'язку можна знайти поправки		і
а також уточнити значення	та

(4.34)

Верхній індекс у дужках — означає номер ітерації. Оскільки окіл точного рішення може на початку бути визначений недостатньо точ­ но, то задачу розв'язують шляхом ітерацій, повторюючи виконання пунктів (4.28) — (4.33) до тих пір, доки поправки і не стануть меншими деякої наперед заданої величиниЯк правило, для отри­ мання задовільного рішення треба виконати 3-4 ітерації.

73

5. РЕЗУЛЬТАТИ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДОСЛІДЖЕНЬ ІЗ ОПТИМІЗАЦІЇ ТА РОЗРАХУНКУ ПАРАМЕТРІВ КАРТОГРАФІЧНИХ ПРОЕКЦІЙ

5.1. Основні положення, що лежать в основі експериментальних досліджень

Європейська асоціація національних картографо-геодезичних служб EuroGeographics розробила рекомендації для використання картогра­ фічних проекцій при великомасштабному картографуванні (поперечноциліндрична проекція Меркатора) та для картографування країни в ці­ лому (рівнокутна конічна проекція Ламберта) [24].

На основі тих рекомендацій були проведені експериментальні до­ слідження, які полягали в тому, щоб знайти оптимальні параметри для вибраних проекцій. Крім того, для досліджуваних територій були розраховані проекції Чебишова.

Розглянуто такі варіанти.

1. Для території України досліджено проекції:

а) універсальна поперечно-циліндрична проекція Меркатора (UTM) — стандартні триградусні зони (масштаб за осьовим меридіа­ ном т0 = 0.9996);

б) поперечно-циліндрична проекція Меркатора (ТМ) — оптимізована за масштабом осьового меридіану;

в) рівнокутна конічна проекція Ламберта, оптимізована за поло­ женням стандартних паралелей;

г) рівнокутна проекція Чебишова, оптимізована за масштабом на кордоні України.

2. Оптимізацію проекцій на рівні регіонів України виконано на прикладах АР Крим, Київської та Кіровоградської областей.

Досліджено такі проекції:

а) місцева система координат (оптимізована за положенням осьо­ вого меридіану проекція Гаусса-Крюгера);

б) оптимізована за положенням і масштабом осьового меридіану поперечно-циліндрична проекція Меркатора — ТМ;

в) оптимізована проекція Чебишова з масштабом на кордоні об­ ласті ніг = 1.000014.

Як і раніше, в проекціях Гаусса-Крюгера та UTM стандартні зони були розширені таким чином, щоб територія області знаходилася в одній зоні.

74

Для проведення обчислень був створений програмний комплекс для оптимізації параметрів картографічних проекцій (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Інтерфейс програмного модуля для пошуку

оптимальних параметрів картографічних проекцій

Експериментальні дослідження полягали в обчисленні оптималь­ них значень основних параметрів проекцій Гаусса-Крюгера і ТМі . Для розрахунку оптимальних параметрів усю територію об'єктів було розчленовано на сфероїдальні трапеції (елементарні ділянки). Для визначення точності в залежності від розміру елементарної ділянки обчислення проводились за розмірами ділянок: 2'*3', 20"х30", 10"х15", 6"х9", 4"х6" та 2"хЗ". Отримані результати свідчать, що у подальшому зменшенні розмірів елементарних ділянок немає змісту, оскільки змі­ нюються значення тільки одного параметра — , і ця різниця складає менше 0,05" (близько 1,5 м), тоді як точність вихідних (початкових) матеріалів становить 3" — 4", тобто значно нижча.

Для кращого розуміння результати оптимізації параметрів проек­ цій для карт України порівняно із результатами для системи коорди­ нат СК-63 в проекції Гаусса-Крюгера, триградусні зони. Оптимізовані параметри поперечно-циліндричної проекції Меркатора в місцевій системі координат для АР Крим, Київської та Кіровоградської областей порівняно зі стандартними зонами СК-63 в проекції Гаусса-Крюгера, розширеними таким чином, щоб територія регіону потрапляла в одну

75

зону та з проекцією Чебишова. Для всіх проекцій були знайдені аналі­ тичні похідні та сконструйовані відповідні алгоритми. Крім того, всі дослідження були повторені з використанням універсальної методики розрахунку оптимальних параметрів картографічних проекцій. При визначенні оптимальних значень кутових параметрів усі методики дали збіжні результати з точністю 0.02'х0.03'. При визначенні масшта­ бів і числових коефіцієнтів результати збігаються з точністю до б-7-го знака після коми.

5.2. Результати експериментальних досліджень із оптимізації картографічних проекцій для території України

В результаті експериментальних досліджень були визначені опти­ мальні параметри для поперечно-циліндричної проекції Меркатора — ТМ і розрахована експериментальна проекція Чебишова для території України.

На рис. 5.2-5.5 показано спотворення в проекціях, що розглядалися.

а) Універсальна поперечно-циліндрична проекція Меркатора — UTM. Стандартні триградусні зони

Рис. 5.2. Спотворення довжин у стандартній

поперечно-циліндричній проекції Меркатора - UTM

76

б) поперечно-циліндрична проекція Меркатора — ТМ, оптимізована за масштабом осьового меридіану

Рис. 5.3. Спотворення довжин в оптимізованій

поперечно-циліндричній проекції Меркатора - ТМ

в) рівнокутна конічна проекція Ламберта, оптимізована за положенням стандартних паралелей

Рис. 5.4. Спотворення довжин у проекції Ламберта

77

г) рівнокутна проекція Чебишова, оптимізована за масштабом на кордоні України

Рис. 5.5. Спотворення довжин у проекції Чебишова

Результати обчислення спотворень довжин ліній для території України наведено у табл. 5.1.

Таблиця 5.1. Результати дослідження спотворень ліній

у картографічних проекціях на території України, 2*3'

78

В табл. 5.1 прийняті такі позначення:

— довгота осьового	меридіану,
— широта паралелі з	= 1 ,

— масштаб за осьовим меридіаном,

— масштаб на кордоні території,

— максимальний масштаб спотворення довжин,

— мінімальний масштаб спотворення довжин,

— максимальний масштаб спотворення площ,

— корінь квадратний з критерія Ейрі (середнє спотворення довжин).

Порівнюючи спотворення проекції Гаусса-Крюгера у триградусних зонах системи координат СК-42 та СК-63 і стандартної проекції UTM для території України (див. рис. 3.2, 3.3, 5.2), можна пересвідчитись, що спотворення довжин у стандартній проекції UTM приблизно в 2 рази більше, ніж у проекції Гаусса-Крюгера.

В оптимізованій по масштабу осьового меридіана поперечно-цилін­ дричній проекції Меркатора — ТМ (рис. 5.3), спотворення приблизно вдвічі менше, ніж в проекції Гаусса-Крюгера.

Ці проекції розчленовують територію України на сім зон і мають спотворення у середньому 1:15 000 або 0,006%. Відповідно спотворення площ — в середньому 1:7 500 або 0,012%.

Щодо рівнокутної конічної проекції Ламберта, то вона значно (при­ близно в п'ять разів) поступається стандартній проекції Гаусса-Крюге­ ра та оптимізованій проекції ТМ , але є цілісною і може бути застосована при картографуванні території України в цілому.

5.3. Результати експериментальних досліджень із оптимізації картографічних проекцій для регіонів України

Для експериментальних досліджень із оптимізації параметрів кар­ тографічних проекцій для регіонів України було вибрано три регіо­ ни — АР Крим, Київську та Кіровоградську області.

Для цих територій досліджено такі проекції:

а) оптимізована проекція поперечно-циліндрична проекція Мерка­ тора — ТМ;

б) проекція Чебишова для території цих регіонів.

Для порівняння використано систему координат СК-63 в проекції Гаусса-Крюгера. При цьому стандартні зони системи координат СК-63 і проекції ТМ були розширені таким чином, щоб територія регіону знаходилась в одній зоні. На рис. 5.6-5.8 показано розподіл спотворень довжин ліній для досліджених проекцій.

79

а) Оптимізована поперечно-циліндрична проекція Меркатора — ТМ

Рис. 5.6. Спотворення довжин в оптимізованій поперечно-циліндричній

проекції Меркатора - ТМ і проекції Чебишова для АР Крим

80