Матлаб жүйесінде жылдам Фурье түрлендіруінің алгоритмін зерттеу

Фурьенің дискретті түрлендіруінің (ФДТ) бір коэффициентін анықтау үшін, формула бойынша N кешендік көбейтулер мен қосуларды орындау керек. N коэффициенттерден тұратын ФДТ-ның барлық есептеуі «көбейту-қосу» операцияларының N² жұптарын талап етеді. Операциялар саны ФДТ-ның өлшемділік квадратына пропорционалды өседі екен. Алайда, егер N қарапайым сан болмаса және көбейткіштерге жіктелінсе, есептеуді жылдамдата алады екенбіз, яғни анализденген есептеулердің жиынын бөліктерге бөліп, олардың ФДТ-сын анықтап, нәтижелерін біріктіреміз. Мұндай есептеу әдісі Фурьенің жылдам түрлендіруі деп аталады және тәжірибеде жиі қолданылады.

MatLab пакетінде Фурье түрлендіруі екі функция арқылы берілген, яғни тура және кері ФТТ: fft/ifft. Бұл функциялар нақты және кешендік тізбектер үшін қолданылады.

fft(v) – 2^m-лік вектордың Фурье дискреттік түрлендіруі, белгілі бір функциялардың теңдей уақыт аралығындағы дискретизация нәтижесі бар аргумент. Программаның жұмыс нәтижесі – 2^m+1 өлшемді кешендік вектор. fft функциясымен қайтарылатын вектордың элементтері мына формуламен анықталады:

Мұндағы N – v векторының элементтер саны.

Ifft(v) – кешендік вектордың кері Фурье дискреттік түрлендіруі. V векторы 2^m+1 элементтерінен тұруы керек. Программаның жұмыс нәтижесі – нақты 2^m+1 өлшемді вектор. Вектор элементтері мына формуламен анықталады:

Мұндағы N – v векторының элементтер саны. Барлық вектор үшін ifft(fft(v))=v болады.

fft(v,n) – 2ⁿ-лік вектордың Фурье дискреттік түрлендіруін қайтарады, белгілі бір функциялардың теңдей уақыт аралығындағы дискретизация нәтижесі бар аргумент. Егер де v векторында сақталынатын n>length(v) тізбегі нөлдермен толса, программаның жұмыс нәтижесінде 2ⁿ⁺¹ өлшемді кешендік вектор болады.

Ifft(v,n) – кешендік вектордың кері Фурье дискреттік түрлендіруі. Программаның жұмыс нәтижесі - 2ⁿ⁺¹ өлшемді кешендік вектор.

Фурье түрлендіруін сигналдарды талдауда қолдану

Анықтама бойынша периодты функция деп мына шартқа сай функцияны айтады:

Мұнда Т функцияның периоды. функциясының спектрлік жіктеуін анықтау үшін келесі функциялардың жиынтығын қарастырайық:

(2)

Келесі үш интегралды қарастырайық:

(3)

Бұл шартты қанағаттандыратын функцияларды ортогональды, ал еселі жиілікті гармониялық функциялардан құрылған (2)-ші функциялар жүйесі ортонормаланған базис деп аталады. Ортогональдық шартын Кронекер символы арқылы қысқаша түрде жазуға болады:

Мұнда (5)

(5)түр таңдаулы базистегі Фурье функцияның жалпыланған қатары деп аталады.

S(t) периодты функцияны құрайтын тізбектің негізгі жиілігін енгізіп, периодты сигнал үшін Фурье қатарын жазамыз:

Егер Фурье қатардың коэффиценттерін келесі түрде жазсақ:

мұнда

Онда Фурье қатардың эквивалентті түрін аламыз:

. (11)

Матлаб пакетінде кез келген функциялардың Фурье қатарына жіктеуін анықтауға болады. Ол үшін келесі m-файлдарды жазамыз:

1)FF.m-Фурье қатарына жіктелетін функцияның сипаттамасы.

2)AF.m-косинустармен Фурье қатарына жіктелген, қажетті коэффиценттерінің мәндерін анықтайтын функцияның сипаттамасы.

3)BF.m-синустармен Фурье қатарына жіктелген, қажетті коэффиценттерінің мәндерін анықтайтын функцияның сипаттамасы.