Сенімділік ықтималдық, сенімділік интервал.

Орта мән, дисперсия, орта квадраттық ауытқу бас жинақтың бір ғана санмен өрнектелетін бағалық параметрлері болып табылады. Бұндай бағаларды нүктелік бағалар деп атайды. Олар таңдама көлемінен тәуелді болады және нақтылы көрсеткіштен ауытқуы көп болуы мүмкін. Сондықтан бағалардың нақтылығы мен сенімділігін тексеру қажеттігі туындайды. Бұл қажеттілік интервалдық бағалар арқылы іске асады.

Қандай да бір бас жинақтың а математикалық үмітінің бағасы таңдама ортасы болып табылады:

.

Бұл баға ауытқу неғұрлым аз болса, соғұрлым дәлірек болады. Басқаша айтсақ қандай да бірсаны табылып

теңсіздігін жазсақ, сонда таңдама ортасының бағасыаз болған жайын дәлірек дейміз. Бұл жағдайдабағаның сенімділігі деп қарастыруға болады. Таңдама құрамындағы варианталар кездейсоқтығына байланыстытеңсіздігінің орындалуын қандай да бірықтималдықпен ғана айта аламыз. Осы ықтималдықты бағаныңсенімділік ықтималдығы деп атайды:

немесе .

Басқаша айтсақ, интервалдың бас жинақтыңа математикалық үмітін қамту ықтималдығы -ға тең.

интервалсенімділік интервалы деп аталады.

Экономикада көбінесе қалыпты үлестірілген бас жинақтың математикалық үмітін бағалау үшін жасалған сенімділік интервалы қарастырылады. Негізгі екі жағдай бар.

1-жағдай. Егер бас жинақтың орта квадраттық ауытқуы алдын ала белгілі болса, онда математикалық үмітін бағалау үшін жасалған сенімділік интервалы мынадай болады:

,

мұндағы - таңдама ортасы;n – таңдама көлемі; t – Лаплас функцясының кестесіненқатынасты қанағаттандыратындай етіп және алдын ала берілгенсенімділік ықтималдықпен анықталады.

2-жағдай. Егер жинақтың орта квадраттық ауытқуы алдын ала белгісіз болса, онда математикалық үмітін бағалау таңдаманың орта квадраттық ауытқуын алады. Сонда сенімділік интервалы мынадай болады:

,

мұндағы - таңдама ортасы;n – таңдама көлемі; – берілгенсенімділік ықтималдық жәнеn – таңдама көлемі бойынша Стьюдент үлестірімінің кестесінен анықталады: .

Енді қалыпты үлестіріммен берілген бас жинақтың орта квадраттық ауытқуын берілгенсенімділікпен бағалайтын сенімділік интервалын келтірейік:

, егер q<1

, егер q>1

мұндағы мәнін таңдама көлемі мен сенімділік ықтималдық бойынша дайын кестеден алынады. Ол кестелер ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика оқулықтарында беріледі.

Есептер мен тапсырмалар

1. Шәй фабрикасындағы 100 граммдық пакеттегi шәйдiң салмағын тексеру нәтижесi кестеде көрсетiлген:

Шәй салмағы	90	95	100	105	110
Тексерiлген пакет саны	10	30	45	10	5

а) Таңдама көлемiн; б) 100 граммнан ауытқыған пакеттер санын; в) фабрикада пакеттерге артық салу мен кем салу мөлшерiн анықтаңдар.

2. Емтихан тапсырған 10 баланың математикадан жинаған ұпайларының саны мынадай болған:

15, 10, 18, 25, 12, 18, 15, 10, 18, 12.

а) Варияциялық қатар құру; б) таңдама жиiлiгiнiң үлестiрiмiн анықтау керек.

3. Екi ойын сүйегiн 30 рет лақтырғанда түскен ұпайлардың қосындысы жазылып алынған:

7, 9, 6, 8, 7, 11, 7, 6, 5, 9, 5, 8, 7, 6, 9, 6,

8, 3, 10, 7, 8, 7, 6, 10, 7, 8, 4, 7, 4, 9.

а) Варияциялық қатар құру; б) таңдама жиiлiгiнiң үлестiрiмiн анықтау керек.

4. Таңдама салыстырмалы жиiлiк үлестiрiмiмен берiлген:

хi	1	2	3	4	5
Wi	0,1	0,4	0,05	0,25	0,2

Жиiлiк полигонын салу керек.

5. Комутаторға түскен звоноктар санының жиiлiгi кестеде берiлген:

Интервалдар нөмiрi	Интервалдар	Жиiлiктер (ni)	Жиiлiк тығыздығы
1	9, 10	10
2	10, 11	12
3	11, 12	15
4	12, 13	4
5	14, 15	14
6	15, 16	10
7	16, 17	5

Жиiлiк тығыздығын есептеп, гистограммасын салу керек.

6. Интервалдық вариациялық қатар берілген

xi	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25
ni	10	21	35	22	12

а) Салыстырмалы жиіліктер гистограммасын салу керек.

б) x_i-лердің орнына кіші интервалдардың ортасын алып, дискретті вариациялық қатарды пайдаланып, полигон тұрғызу керек.

7. Вариациялық қатар берілген:

xi	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5
ni	10	21	35	22	12

Қатардың таңдама ортасын, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, ассиметрия коэффициентін, эксцессін, модасы мен медианасын табу керек

8. Мына сандық мәлiметтердiң медианасын табыңдар:

а) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; б) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4;

9. 10 адамның айлық жалақысы мынадай (мың теңге есебiмен): 35, 25, 20, 20, 20, 20, 10, 5, 5, 5. Осы адамдардың орташа жалақасы (орташа мәнi) мен «орташа» адамның алатын жалақысын (медиана) есептеу керек.

10. Мына сандық мәлiметтердiң орташа мәнiн, медианасын, модасын, ауқымын есептеңдер:

а) –5, –2, 1, 2, 1, –5, 1; б) 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1;

в) 8, 10, –2, –4, –6, –8; г) –100, 1, 10, 3, –1, –2, 100.

11. Орташа мәнi мен медианасы бiрдей болатын таңдама құрыңдар.

12. Орташа мәнi мен модасы бiрдей болатын таңдама құрыңдар.

13. Таңдаманың дисперсиясын есептеңдер:

1) 1, 3, 5, 7, 9. 2) 108, 107, 106, 105, 104.

14. Екi адам мынадай таңдама құрған:

xi	4	6	8	9		уi	4	6	8	9	10
ni	1	3	4	2		ni	1	4	2	2	1

Осы екi таңдама мәндерiнiң қайсысы өздерiнiң орташа мәндерiнен шашыраңқы орналасқан?

14. Бас жинақтың орта квадраттық ауытқуы = 5 болатын қалыпты үлестіріммен берілген бас жинақтан көлемі n = 25 болатын таңдамадан= 17 табылды. Бас жинақтың белгісіз математикалық үмітін= 0,99 сенімділігімен бағалайтын интервалды табу керек.

14. Қандай да бір физикалық шама бір құралмен 10 рет өлшенеді. Өлшеулердің кездейсоқ қателерінің орташа квадраттық ауытқуы 0,5-ке тең. Өлшеу құралының дәлдігін = 0,99 сенімділігімен табу керек.

_____________________________________________________

14. Дүкенде бiр күнде 20 көйлек сатылды. Сатушы дәптерiне сатылған көйлектер размерiн жазып отырғанда мынадай мәлiметтер алынған:

39, 41, 41, 42, 43, 41, 42, 40, 41, 44, 40, 42, 42, 39, 42, 40, 43, 41, 42.

а) Варияциялық қатар құру; б) таңдама жиiлiгiнiң үлестiрiмiн анықтау керек.

14. Таңдама жиiлiгiнiң үлестiрiмi берiлген:

хi	20	22	24	26	28
ni	5	10	20	4	1

Салыстырмалы жиiлiк үлестiрiмiн анықтау керек.

19.Қандай да бiр өлшемдерден кейiн мынадай таңдама алынған:

1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7,

7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12.

Таңдама нәтижесiн полигон түрiнде берген жөн бе, әлде гистограмма түрiнде берген жөн бе? Жауаптарыңды негiздеп, графигiн салыңдар.

20. Мына сандық мәлiметтердiң медианасын табыңдар:

а) 9, 7, 3, 5, 1; б) 1, 0, 2, 1, 50, 2, 1.

21. Қандай да бiр мамандық бойынша емтихан тапсырған талапкерлердiң нәтижесi мынадай болған:

56, 58, 60, 62, 62, 65, 66, 70, 72, 75, 75,75, 75, 75, 75, 77, 80, 92, 92, 98.

а) Таңдаманы өсу ретiмен орналастырыңдар; б) модасын; в) медианасын; г) ауытқуын табыңдар.

22. Орташа мәнi 5, ауқымы 12 болатын таңдама құрыңдар.

23. Медианасы 3, ауқымы 10 болатын таңдама құрыңдар.

24. Таңдама берiлген: 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3. Жиiлiк үлестiрiмiн

жазып алып, дисперсиясын есептеңдер.

25. Таңдаманың дисперсиясын есептеңдер:

а) –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4

б) 87, 90, 86, 83, 85, 84, 85, 79, 88, 83;

26. Екi таңдама жиiлiк үлестiрiмдерiмен берiлген. Дисперсияларын

салыстырыңдар.

xi	4	6	8	9		уi	4	6	8	9	10
ni	1	3	4	2		ni	1	4	2	2	1

27. Қалыпты үлестірілген бас жинақтың орташа квадраттық ауытқуын , таңдама орташасын, таңдаманың орташа квадраттық ауытқуын, таңдама көлемінn деп алып, белгісіз математикалық үміт а-ны бағалайтын сенімділік интервалын табу керек:

а) = 4;= 10,2;n = 16; = 0,99

б) = 5;= 16,8;n = 25; = 0,95

в) = 3;= 12;n = 9; = 0,99

г) = 7,2;= 10;n = 40; = 0,95.

28. Көлемі n = 5 болатындай таңдама арқылы түзетілген таңдамалық орташа квадраттық ауытқу = 4,1 анықталды. Қалыпты үлестірілген бас жинақтың орта квадраттық ауытқуын бағалайтын сенімділік интервалын= 0,95 сенімділікпен табу керек.

29. Көлемі n = 15 болатындай таңдама арқылы түзетілген таңдамалық орташа квадраттық ауытқу = 3 анықталды. Қалыпты үлестірілген бас жинақтың орта квадраттық ауытқуын бағалайтын сенімділік интервалын= 0,99 сенімділікпен табу керек.