Кездейсоқ шаманың дисперсиясы мен орта квадраттық ауытқуы

Екi мергеннiң центрден ауытқуларының үлестiрiм заңдары белгiлi

Х	1	2	3	4		У	0	1	3	5
p	0,4	0,3	0,2	0,1		p	0,1	0,45	0,35	0,1

Осы екi мергеннiң бiреуiн ғана жоғары деңгейдегi жарысқа таңдап алу керек. Ол үшiн екi кездейсоқ шама математикалық үмiттерiн салыстырып қайсысы аз мәнге ие болса соны таңдап аламыз (себебi, центрден аз ауытқыған). Математикалық үмiттерiн есептейiк

М(Х)=10,4+20,3+30,2+40,1=2;

M(У)=00,1+10,45+30,35+50,1=2.

Екi кездейсоқ шаманың да математикалық үмiттерi бiрдей болып қалды М(Х)=М(У), яғни екi мерген көрсеткiштерi ауытқуларының орта шамасы бiрдей. Кездейсоқ шамалардың математикалық үмiттен ауытқуының математикалық үмiтiн алу да бiзге ешқандай нәтиже бермейдi, себебi 5-қасиет бойынша ол әруақытта нөлге тең.

Мынадай жаңа ұғым енгiзейiк.

Анықтама. Кездейсоқ шаманың математикалық үмiттен ауытқуы квадратының математикалық үмiтiн дисперсия деп атайды да, D(X) деп белгiлейдi:

D(Х)=М{Х-М(Х)}².

Әдетте дисперсия оңай есептелiнетiн мынадай теорема қолданылады.

Теорема. Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы Х² кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi мен Х кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi квадратының айырымына тең

D(Х)=М(Х²)-М(Х)².

Дисперсия кездейсоқ шама мәндерiнiң математикалық үмiттен қаншалықты шашырап орналасқандығын көрсетедi.

Мысалдағы екi мергеннiң де дисперсияларын есептейiк. Ол үшiн Х² және У² кездейсоқ шамалардың үлестiрiм заңын жазып алайық

Х^2	1	4	9	16		У^2	0	1	9	25
p	0,4	0,3	0,2	0,1		p	0,1	0,45	0,35	0,1

М(Х²) пен М(У²) есептейiк

М(Х²)=10,4+40,3+90,2+160,1=5;

M(У²)=00,1+10,45+90,35+250,1=6,1.

Ендi дисперсияларын есептейiк

D(X)=М(Х²)-[М(Х)]²=5-2=3; D(У)=М(У²)-[М(У)]²=6,1-2=4,1.

Екi кездейсоқ шаманың дисперсиялары әртүрлi: D(X)=3 және D(У)=4,1. Бiрiншi мергеннiң көрсеткiштерi екiншi мерген көрсеткiштерiне қарағанда орта шамадан шашырауы аз. Басқаша айтсақ бiрiншi мергеннiң көрсеткiштерi орта шама маңайында, екiншiге қарағанда, көбiрек шоғырланған. Бұл қортынды жоғары деңгейдегi жарысқа бiрiншi мергеннiң таңдалуына негiз болады.

Дисперсияның бiрнеше қасиеттерiн келтiрейiк.

1-қасиет. Тұрақты шаманың дисперсиясы нөлге тең

D(С) = 0.

2-қасиет. Тұрақты шаманы дисперсия таңбасы алдына квадраттап алып шығаруға болады

D(СХ) = С²М(Х).

3-қасиет. Екi кездейсоқ шама қосындысының дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең

D(Х+У) = D(Х)+D(У).

4-қасиет. Екi кездейсоқ шама айырымының дисперсиясы олардың дисперсияларының қосындысына тең

D(Х-У) = D(Х)+D(У).

Осы қасиеттердiң қолданысын көрсететiн мысал қарастырайық. Тәуелсiз Х және У кездейсоқ шамаларының дисперсиялары сәйкес 8-ге және 10-ға тең.

а) 3Х, б) Х+У, в) Х-У кездейсоқ шамаларының дисперсияларын табабу керек.

Шешуі. D(Х)=8, D(У)=10. а) 3Х кездейсоқ шаманың дисперсияларын табу үшiн 2-қасиеттi қолданамыз. Мұндағы тұрақты сан 3, олай болса

D(3Х) =3²D(Х) =98=72.

б) Х+У кездейсоқ шаманың дисперсияларын табу үшiн 3-қасиеттi қолданамыз. Сонда

D(Х+У) = D(Х)+D(У)=8+10=18.

в) Х-У кездейсоқ шаманың дисперсияларын табу үшiн 4-қасиеттi қолданамыз. Сонда

D(Х-У) = М(Х)+М(У)= 8+10=18.

Орта квадраттық ауытқу. Кездейсоқ шаманың, математикалық үмiтi сызықты өлшемдi, ал дисперсиясы квадрат өлшемдi. Мысалы егер кездейсоқ шама метрмен өлшенсе, оның математикалық үмiтi де метрмен өлшенедi, ал дисперсиясы кв.метрмен өлшенедi. Осы айырмашылықты жою үшiн мынадай жаңа ұғым енгiземiз.

Анықтама. Кездейсоқ шама дисперсиясынан алынған квадрат түбiр орта квадраттық ауытқу деп аталады да деп белгiленедi:

.

Орта квадраттық ауытқу дисперсияның квадрат түбiрi болғандықтан, оның өлшемi сызықты болады, яғни кездейсоқ шама өлшемiмен бiрдей. Орта квадраттық ауытқу да кездейсоқ шама қабылдайтын мәндерiнiң математикалық үмiттен қаншалықты шашыраңқы орналасқанын көрсетедi.

Жоғарыда қарастырылған мергендердiң центрден ауытқуларының орта квадраттық ауытқуын табайық.

D(X)=3 және D(У)=4,1, олай болса

, .