Комбинаториканың негізгі ұғымдары.

Өмірде қарапайым бір әрекеттен ғана тұратын оқиғалар аз кездеседі. Көбіне бір оқиға орындалуының әртүрлі әдістері бар болады немесе қарастыры отырған оқиғаны бірнеше кезеңдерге бөліп орындау керек болады. Осындай оқиға­лардың жалпы және қолайлы жағдайлар санын есептеуге мүмкіндік беретін қосу және көбейту ережелерін білуіміз қажет.

Қосу ережесі. Қандай да бір оқиға орындалуының бірнеше m₁, m₂, ..., m_k

Түрлі тәсілдері болса сол оқиғаны орындаудың барлығы

m₁+m₂+...+m_k

түрлі тәсілі бар болады.

Көбейту ережесі. k кезеңнен тұратын қандай да бір оқиғаны іске асыру керек болсын. Бірінші кезеңді орындаудың m_1, екінші кезеңді орындаудың m₂ т.с.с. k кезеңді орындаудың m_k тәсілі бар болса сол оқиғаны толық іске асырудың барлығы

m₁m₂...m_k

түрлі тәсілі болады.

Алмастырулар. п элементтен тұратын және бір-бірінен тек орналасу ретімен ғана өзгешеленетін комбинацияларды п элементтен жасалған алмастырулар деп атайды. Элементтен жасалған алмастырулар санын Р_n деп белгілейді және алмастырулар санын есептеу үшін мынадай формула қолданады:

Р_n=n! (1)

Мұндағы n!=123...n.

Орналастырулар. N элементтің m элементінен тұратын (m<n) және бір-бірінен құрамы немесе орналасу реті бойынша өзгешеленетін комбинациялар n элементтен m элемент бойынша жасалған орналас­тырулар деп аталады.

n элементтен m элемент бойынша жасалған орналастыру санын деп белгілейді және оны есептеу үшін мына формула қолданылады:

(2)

Терулер. N элементтің m элементі­нен тұратын (m<n) және бір-бірінен құрамы бойынша ғана өзгешеленетін комбинация­лар n элементтен m элемент бойынша жасалған теру деп аталады.

n элементтен m элемент бойынша жасал­ған теру саны деп белгіленеді және оны табу үшін мына формула қолданылады:

(3)

Ықтималдықтарды қосу және көбейту. А мен В оқиғаларының кемінде біреуі орындалғанда пайда болатын оқиғаны осы оқиғалардың қосындысы деп атайды және А+В деп белгілейді.

А мен В оқиғалары қатар пайда болғанда орындалатын оқиғаны осы оқиғалардың көбейтіндісі деп атайды және АВ деп белгілейді.

Теорема. Үйлесімсіз екі оқиға қосындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең болады:

. (4)

Бұл теорема оқиғалар саны екіден көп болғанда да дұрыс болады: егер А₁, А₂, ..., А_n оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз болса, онда

Егер А₁, А₂, ..., А_n оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құраса, онда

.

Анықтама. Тәжірибе нәтижесінде мүмкін болатын екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісін болдырмаса, ол оқиғалар қарама-қарсы оқиғалар деп аталады.

А оқиғасына қарама-қарсы оқиғаны деп белгілейді.

Қарама қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең:

. (5)

Анықтама. Екі оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болу ықтималдығын өзгертпесе олар тәуелсiз деп аталады. Ал екі оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болу ықтималдығын өзгертсе, олар тәуелдi деп аталады.

Теорема. Тәуелсіз А мен В оқиғаларының көбейтіндісінің ықтималдығы әр оқиға ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең:

. (6)

Бұл теорема оқиғалар саны екіден көп болғанда да дұрыс болады: егер А₁, А₂, ..., А_n оқиғалар қос-қостан тәуелсіз болса, онда

.

Шартты ықтималдық. В оқиғасының ықтималдығы А оқиғасының болған болмағанына тәуелді болатын жағдайлар болады. Сондықтан деп,шартты ықтималдық, А оқиғасы орындалып кетті деп есептегендегі В оқиғасының ықтималдығын белгілейді.

Мысал. 36 картаның ішінен кез келген 2 карта алынсын. Осы екі картаның бірдей түсті болуының ықтималдығын табу керек.

Шешуі. Алдымен алынған екі қартаның бірдей түске(масть) жататынын (айталық қарға) жату ықтималдығын анықтайық. Белгілеу енгізейік: А – алынған бірінші карта қарға; В – алынған екінші карта қарға. В оқиғасының ықтималдығы А оқиғасының пайда болу болмауына байланысты өзгеріп отырады. Сонымен, ,. Осыдан

Енді ,,,алынған екі карта сәйкес төрт түстің біріне жататындығын көрсететін өзара үйлесімсіз оқиғалар болсын. Сонда алынған екі картаның бірдей түсті (С оқиғасы) болуы,,,оқиғалардың кез келгені орындалса пайда болады, яғни,

С =+++.

Олай болса

P(С) =P(+++)=P()+P()+P()+P()=

Теорема. Үйлесімді екі оқиға қосындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысынан екі оқиғаның қатар пайда болу ықтималдығын алғанға тең болады:

. (7)