Пример №2.

Дано: Е = 60 В, R₁ = 20 Ом, R₂ = 30 Ом. (Рис. 2)

Определить: Сопротивление резистора R_ЭКВ и токи I, I₁, I₂ в цепи.

R₂

R₁

E

U_ad

I₁

I₂

a

b

c

d

R_ЭКВ

E

U_ad

I

a

d



I

U_bc

Рис. 2а. Рис.2б.

Решение.

Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками a, b, c, d (см. рис. 2а), а их потенциалы соответственно _a, _b, _c, _d.

Выясним, являются ли точки a, b, c, dэлектрическими узлами или нет. Как видно из рис. 2а точкиb и c – места соединения трех ветвей (например, точка b – место соединения выхода источника ЭДС Е и входов резистров R₁,R₂), следовательно, данные точки являются электрическими узлами. Точкиa и d узлами не являются (см. пример №1). Поскольку входы резисторов R₁,R₂объединены общим узломb, а выходы объединены общим узлом c, то эти резисторы соединены параллельно, а напряжение U_bc на них одно и тоже.

Выберем направление неизвестных токов I, I₁, I₂ произвольным образом (как показано на рис. 2а).

Параллельное соединение резисторов можно заменить на один эквивалентный им резистор R_ЭКВ, сопротивление которого определяется по формуле:

либо

Доказательство данных формул базируется на первом законе Кирхгофа, который формулируется следующим образом:алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Будем считать, что в данной формуле токи, втекающие в узел, берутся со знаком «+», а вытекающие со знаком «-».

Составим первый закон Кирхгофа для узла b(рис. 2а):

где либо

Следовательно, для примера №1:

После преобразования исходная электрическая схема (рис. 2а) трансформируется в эквивалентную (рис. 2б). Силу тока I, протекающую в цепи (рис. 2б), вычисляем согласно закону Ома:

При расчетах любых электрических цепей постоянного тока сопротивление соединительных проводов R_ПР можно считать практически равным нулю (в нашем случае R_ПРab = R_ПРdc = 0), поэтому

U_ab = _а - _b = R_ПРabI = 0I=0, а _а = _b,  _а - _d = _b - _c, т.е. U_ad = U_bc

U_dc = _d - _c = R_ПРdcI = 0I=0, а _d = _с,

Поскольку сопротивления R₁, R₂ включены параллельно, то падение напряжения на них одно и тоже и равно U_bc, которое можно определить по формуле: .

Рассчитаем токи в параллельных ветвях:

, .

Токи I₁ и I₂ можно определить другим способом:

,

.

Результат расчета проверяется по первому закону Кирхгофа. В нашем случае:

Пример №3.

Дано: Е = 60 В, R₁ = 20 Ом, R₂ = 40 Ом, R₃ = 50 Ом. (Рис. 3)

Определить: Сопротивление резистора R_ЭКВ и токи I, I₁, I₂, I₃ в цепи.

Решение.

Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками a, b, c, d (см. рис. 3а), а их потенциалы соответственно _a, _b, _c, _d.

R₁

E

I₁

a

R_ЭКВ

E

U_ad

I

a

d

I

I₃

I₂

b



R₂

R₃

U_ad

U_bc

c

d

Рис. 3а. Рис.3б.

Выясним, являются ли точки a, b, c, dэлектрическими узлами или нет. Как видно из рис. 3а точкиb и c – места соединения четырех ветвей (например, точка b – место соединения выхода источника ЭДС Е и входов резистров R₁,R₂,R₃), следовательно, данные точки являются электрическими узлами. Точкиa и d узлами не являются. Поскольку входы резисторов R₁,R₂,R₃объединены общим узломb, а выходы объединены общим узлом c, то эти резисторы соединены параллельно, а напряжение U_bc на них одно и тоже.

Выберем направление неизвестных токов I, I₁, I₂, I₃ произвольным образом (как показано на рис. 3а).

По аналогии с примером №2 можно показать, что параллельное соединение трех резисторов можно заменить на один эквивалентный им резистор R_ЭКВ, сопротивление которого определяется по формулам:

либо

После преобразования исходная электрическая схема (рис. 3а) трансформируется в эквивалентную (рис. 3б). Силу тока I, протекающую в цепи (рис. 2б), вычислим согласно Закону Ома:

Поскольку сопротивления R₁, R₂, R₃ включены параллельно, то падение напряжения на них одно и тоже и равно U_bc, которое определим по формуле: .

Рассчитаем токи в параллельных ветвях:

, ,.

Результат расчета проверяем по первому закону Кирхгофа: