Решение.

Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками a, b, c, d, f (см. рис. 4а), а их потенциалы соответственно _a, _b, _c, _d, _f.

Как видно из рис. 5а точки b и f являются электрическими узлами, а точкиa, с и d узлами не являются.

Выберем направление неизвестных токов I, I₂₃, I_ПР произвольным образом (как показано на рис. 5а).

Последовательно соединенные резисторы с сопротивлениями r2 и r3 заменяем на резистор с эквивалентным сопротивлением r23 по формуле:

R₂₃ = R₂ + R₃ = 22+7=29 Ом.

Исходную схему (рис. 5а) преобразуем в эквивалентную (рис. 5б).

Параллельно соединенные ветви с сопротивлениямиRпр и r23 заменяем на резистор с эквивалентным сопротивлением rпр23 по формуле:

где R_ПР=0 (см. пример №2)

Как видно из этой формулы параллельное подключение провода R_ПР к участку электрической цепи с резисторами R₂ и R₃ приводит к их «закорачиванию» данным проводом, то есть к исключению данного участка из общей электрической цепи.

Преобразованную схему (рис. 5б) заменяем на эквивалентную (рис. 5в).

Поскольку сопротивление провода равно нулю (R_ПР=0), то потенциал_b=_fи, как правило, на электрических схемах оставляют какой-либо из двух потенциалов. (См. рис. 5в). Из рис. 5в видно, чторезисторы с сопротивлениями R₁ и R₄ соединены последовательно, поэтому эквивалентное им сопротивление вычисляем по формуле:

R_ЭКВ = R₁ + R₄ = 16+24=40 Ом.

Таким образом, после проведенных выше преобразований исходная схема (рис. 5а) трансформируется в эквивалентную (рис. 5г).

Силу тока I в цепи (рис. 5г), вычислим согласно Закону Ома:

Для того чтобы определить токи в параллельных ветвях необходимо рассчитать на них падение напряжения U_bf (рис. 5в):

.

Рассчитаем токи в параллельных ветвях (рис. 5б):

данную неопределенность раскроем c помощью правила Лопиталя: гдеR_ПР23= R_ПР=0.

Ток I_ПР можно определить также используя первый закон Кирхгофа:

Правильность проведенных расчетов проверим по второму закону Кирхгофа, составленного для замкнутого контура abfdaисходной схемы (рис. 5а):

1.4. Преобразования резисторов, соединенных треугольником в эквивалентную звезду и наоборот.

Если в электрической цепи соединение резисторов не сводится к рассмотренным выше случаям, то для упрощения расчетов удобно воспользоваться преобразованиями резисторов, соединенных треугольником в эквивалентную звезду либо наоборот.

Пример №6.

Дано: Е =32 В, R_ВН=1 Ом, R₁=10 Ом, R₂=15 Ом, R₃=25 Ом, R₄=25 Ом, R₅=12,5 Ом. (Рис. 6)

Определить: Эквивалентное сопротивление всей цепи R_ЭКВ и токи в ветвях.

А





А

D

B

0

R₁

R₂

R₅

R_ВН

R_А

R_В

R_С

I₁

I₂

I₅

I

R₄

R₄

R_А

I₄

I₄

R_В

U_OD

R₃

D

B

0

I₅

I₃

R₅

R_С

I

I

I

C

C

Е

R_ВН

Е

Рис. 6а. Рис. 6б.

R_А4

I₄





D

R_В

R_OD

R_ЭКВ

0

U_OD

В

D

0

U_OD

I₅

R_С5

I

I

I

I

Е

R_ВН

Е

Е

R_ВН

R_В

I

В

Рис. 6в. Рис. 6г. Рис. 6д.

Решение.

Выберем направление неизвестных токов I, I₁, I₂, I_3, I₄, I₅ произвольным образом (как показано на рис. 6а). Обозначим места соединения элементов электрической цепи точками A, B, C, D. Как видно из рис. 6а. в электрической схеме нет ни последовательного, ни параллельного, ни смешанного соединения резисторов. Следовательно, эту задачу решим преобразовав резисторы с сопротивлениями R₁, R₂, R₃, соединенные треугольником АВС в эквивалентную звезду с сопротивлениями R_А, R_В, R_С. Для этого мысленно опускаем лучи из узлов А, В, С в одну общую точку О (узел 0). Можно доказать, что сопротивления резисторов, находящихся на этих лучах, вычисляются по формулам:

После проведенных преобразований резисторы R₁, R₂, R₃ из исходной схемы исключаются, в результате получаем следующую эквивалентную схему. (Рис. 6б.) В этой схеме токи I₄, I₅, I остаются теми же самыми (по величине и по направлению), что и на рис. 6а, поскольку данная часть схемы не была затронута выполненным преобразованием.

Анализ электрической схемы рис. 6б показывает, что резисторы с сопротивлениями R_А и R₄, а также резисторы с сопротивлениями R_С и R₅ включены последовательно. Заменим их на эквивалентные им резисторы с сопротивлениями R_А4 и соответственно R_С5 :

Получаем следующую эквивалентную схему 6в. В данной схеме сопротивления R_А4 и R_С5 включены параллельно. Заменим их на эквивалентный им резистор с сопротивлением R_OD, рассчитанным по формуле:

После проведенного преобразования схема 6в трансформируется в схему 6г, в которой резисторы с сопротивлениями R_В, R_OD, R_ВН включены между собой последовательно. Заменим их на общий эквивалентный им резистор с сопротивлением R_ЭКВ, найденным по формуле:

Получаем окончательную эквивалентную схему замещения (рис. 6д) исходной расчетной схемы (рис. 6а).

Зная общее эквивалентное сопротивление цепи можно найти ток I, протекающий через источник ЭДС Е:

Чтобы найти токи I₄ и I₅, протекающие через соответствующие резисторы с сопротивлениями R_А4 и R_С5 необходимо определить падение напряжения U_OD (рис 6г):

Следовательно,

(См. рис. 6в)

Чтобы вычислить ток I₃ необходимо знать падение напряжения U_AC, которое определим по второму закону Кирхгофа, выбрав положительный обход контура ADCА по часовой стрелке, как показано на рис. 6а:

Следовательно,

Токи I₁ и I₂ определим по первому закону Кирхгофа соответственно для узлов А и С:

узел А:

узел С:

Правильность расчетов любой электрической цепи проверяется по законам Кирхгофа, но наиболее достоверная проверка получается лишь по балансу электрических мощностей:

Где -алгебраическая сумма мощностей, выделяемых источниками ЭДС Е, слагаемое этой суммы берется со знаком «+», если направления ЭДС источника и тока, протекающего через него совпадают между собой, в противном случае берется знак «-».

Где -арифметическая сумма мощностей, потребляемых приемниками (в нашем случае резисторами).

ПРИМЕЧАНИЕ. Баланс мощностей составляется для исходной схемы с учетом истинных направлений токов.

Проверим правильность проведенных расчетов по балансу мощностей:

64 Вт=64 Вт.

Согласно балансу электрических мощностей, расчеты проведены корректно.

Ту же самую задачу можно решить, воспользовавшись эквивалентным преобразованием резисторов с сопротивлениями R₁, R₃, R₄, соединенных звездой в треугольник с эквивалентными резисторами с сопротивлениями R₁₃, R₃₄, R₁₄. Для этого объединим выходы В, С, D резисторов R₁, R₃, R₄ между собой через соответствующие резисторы R₁₃, R₃₄, R₁₄, которые рассчитаем по формулам:

После такого преобразования резисторы с сопротивлениями R₁, R₃, R₄ исключаются из исходной схемы. В результате получаем преобразованную схему (рис. 7б).

А

R₁₄



R₁₄

I₁₄

U_BD

D

B

C

R₁

R₃

R₄

R₅

R_ВН

Е

I₁

I₃

I₄

I₂

I₅

I

I

R₁₃

D

I₃₄

R₃₄

R₂

I₁₃

B

C

R₂

R₅

R_ВН

R₃₄

Е

I₂

I₅

I

I

R₁₃



R₁₄

I₁₄



Рис. 7а. Рис. 7б.

R_ЭКВ

Е

I

U_BD

U_BС

U_СD

D

С

R_ВC

R_СD

В

I_BCD

D

R_ВCD

R_ВН

U_BD

Е

I

I

R_ВН

Е

I

В

I

R₁₄

I₁₄

I_BCD

Рис. 7в. Рис. 7г. Рис. 7д.

Как видно из рис. 7б резисторы с сопротивлениями R₂ и R₁₃, а также R₅ и R₃₄ включены между собой параллельно.

Следовательно,

Преобразуем электрическую схему 7б в электрическую схему 7в. Поскольку резисторы с сопротивлениями R_ВС и R_CD включены последовательно, то (Рис. 7г)

Общее эквивалентное сопротивление всей цепи с учетом внутреннего сопротивления источника ЭДС определяется:

Зная общее эквивалентное сопротивление всей цепи, вычислим ток, протекающий через источник ЭДС:

Используя второй закон Кирхгофа для замкнутого контура BDB определим падение напряжения между точками В и D (см. рис 7г):

Рассчитаем промежуточный ток I_BCD (см. рис. 7г):

Найдем падения напряжений U_BC и U_CD из рис. 7в:

Теперь определим неизвестные токи I₂ и I₅ из рис. 7б:

Вычислим неизвестные токи I₁ и I₄ по первому закону Кирхгофа, составленных для соответственно узлов В и D (см. рис. 7а):

узел В:

узел D:

Для определения оставшегося неизвестного тока I₃ воспользуемся вторым законом Кирхгофа для замкнутого контура ВАСВ:

Как следует из проведенных вычислений любой способ эквивалентного преобразования треугольника в звезду или наоборот дает один и тот же искомый результат, естественно, при четком соблюдении правил и порядка расчетов.