pechat_33

T n			T 0
		2
T (0)				1	,T (0) 0. - задача Коши для лин. уравнения с
				n

пост.коэф.2 – го пор.

T c e nt c			ent
1		2
				c2		1
	1	c1
T (0)							n
	n
					nt	nc2e			nt
		nc1e

		c2		1
	c1
				n
T nc1 nc2 0
	nc1 nc2

c	c			1	.
		2
1				2n
0

T (0) 0 .

Таким образом, V

1

(e nt ent ) cos nx

2n

1

e nt ent cos nx

lim

V (x, t)

1

lim

cos nx

lim

ent e nt

lim

n

2n

n

2 n

n

n

1

lim

cos nx

limtent te nt .

2 n

n

Малые изменения начальных данных привели к большой разности решений.

6.Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера. Выражение формулы Даламбера через среднее на отрезке.

Будем рассматривать задачу:

Решение задачи (1)-это сумма двух задач:
	(2)
		(3)
		. Найдем общее решение з-чи
(2):	(*). Замена:	,	.
	;		-
общее реш-е ур-ния (*)			ǀ*a

+

.

Тогда

.Получаем:

+

Нашли реш-е з-чи (2):

+

(4).Фор-ла (4) – фор-ла Даламбера .Для решения з-чи

(3)воспользуемся принципом Дюамеля, согласно которому,

если ф-ция	явл-ся реш-ем з-чи:
(5);	,То реш-е з-чи (3) равно:
	(6)
Т.к.	реш-е з-чи (5),то
Согласно нач.
условию:	;
Находим:

Тогда

ф-ция (6) удовлетв-т ур-ю (3).Проверим выполн-е нач. усл-й

Для реш-я з-чи (5) сделаем сдвиг по времени З-ча (5) переходит в з-чу: ; ,

Реш-е посл-ей з-чи находим по ф-ле Даламбера: .Тогда реш-е з- чи (3) запишется:

	Это реш-е
однозначно.
Обозначим	. Тогда эта ф-ция
явл-ся реш-ем з-чи:

Обозначим	среднее знач-е
ф-ции

7.*Осреднение функции на сфере и трехмерное волновое

уравнение.
Пусть дана ф-ция	непрерывная. Мы можем взять
сферу радиуса at с центром в т.		Под средним
значением	понимается:

Перейдем к сферической с-ме

координат:

;

Покажем,что явл-ся реш-ями ур-ния:

Найдем

(1)

Тогда

(2)

(3)

8.Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула Кирхгофа.

	U	tt	a2 U f (t, x, y, z)
Формула Кирхгофа	U :			(x, y, z),U		(x, y, z) (1)
	U		t 0		t t 0

U: Utt a2 U

ОU t 0 (x, y, z),Ut t 0 (x, y, z) (2)

2

U Н :

Utt a

U f (t, x, y, z)

(3)

U

t 0 0,Ut t 0 0

Формула Киргофа:

U

tM

[ (x)] tM

[ (x)],

О

t

at

at

где

1

2

1

at

( )sin d 1d

( )ds. По лемме

4

2

t

2

0 0

4 a

S

at

( x, y,z)

функции t, at , t t at являются решениями трехмерного

однородного волнового уравнения. По свойству решений линейного уравнения сумма любых его решений - так же

решение. А это означает, что функция UО решение уравнения задачи (2).

t

U Н (t ) f a(t ) ( ; x, y, z)d решение задачи (3).

0

9.Задача Коши для двумерного волнового уравнения. Метод спуска. Формула Пуассона.

(1)

Решение задачи Коши для одномерного уравнения можно определить используя формулу

Кирхгофа.

Если	лежат на поверхности сферы

Если поверхность задачи z=f(x,y)

Где D-проекция.

.

С учетом этого равенства получим:

=

.В случае ,если среднее значение функции , вычисляется через среднее по кругу (в случае двух переменных), то формула Киргофа носит название формулы Пуассона.

1

x

2

1

x

2

V

f ( , )e 4a2S dS [S t ]

f ( , x)e 4a2 (t ) d

n

n

2a S

2a (t )

n

n