pechat_33

Удовлетворяет уравнению и гранич. условию задачи о радиальных колебаниях. Т.к

Обозначим

Подставив Аk и Bk в ряд. Решения получим закон радиальных колебаний круглой мембраны с закреплённым контуром.

24.Единственность решений смешанных задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности.

Будем рассматривать

(1)
L[U]=div(k(x)gradU)-q(x)U
,	,	и
непрерывны в некоторой области	, а f(t,x), g(t,x) не
прерывны в области	. Справедлива

следующая теорема :

Теорема. Решение задачи (1) непрерывное в области вместе с частными производными по t и x единственно.Док-во.Предположим, что задача (1) имеет два

различных решения	, тогда
функция V является решение задачи
(2)	При доказательстве

самосопряженного диф-го оператора мы получили первую формулу Грина:

(I) В случае уравнений гиперболического типа, в первой формуле Грина положим , тогда получим

;

,

Т.к. в случает граничного условии I-го рода

или граничного условия IIрода	,
,	.

В случае граничного условия IIIго рода

и

,

.

В случае граничных условий III-го рода получаем :

.

Последнее равенство проинтегрируем по , получим:

.

Т.к. подынтегральные выражения не отрицательны, а интегралы не отрицательны, то равенство нулю их суммы

означает , что каждый интеграл обращается в ноль.

Но так как .

Рассмотрим уравнение параболического типа, либо ур-ие теплопроводности. В первой части формулы Грина положим

Как и в случае ур-я гиперболического типа инт. :

Если граничное условие 1-го или 2-го рода. Интегрируем по t, получим:

.

.

Доказательство закончено.

25Уравнения эллиптического типа. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Связь аналитической функции комплексного переменного и гармонической функции двух переменных.

К уравнениям эллиптического типа относятся уравнения, с помощью которых описываются стационарные процессы(характеристики процесса не меняются со временем) уравнение распространения тепла в пр-ве

С физической точки зрения внутренние источники тепла. Тогда получаем уравнение:

Уравнение вида		(1)где
		называется уравнением
Пуассона.
		самое простое уравнение Пуассона.
Если	, то уравнение называется уравнением

Лапласса.Если у нас есть уравнение (1) и к нему добавлено

граничное условие

, (2)

То задача носит название задачи Дирихле. Пример.

внутренняя задача Дирихле.

Решение вне круга – внешняя задача Дирихле. Если на границе задана производная по нормали

, (3)Тогда задача (1),(3) носит название задачи Неймана.

u(x)

Определение гармонической функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа

uxx uyy 0 - уравнение Лапласа

Найти общее решение этого уравнения мы не можем, как и уравнение теплопроводности. Зато можно указать бесконечно много частных решений этого уравнения. Среди решений данного уравнения некоторые называются гармоническими функциями.

Опр: функция называется гармонической в ограниченной области , если она непрерывна в этой области и имеет непрерывные производные второго порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Функция u(x) называется гармонической в неограниченной области, если она удовлетворяет следующим условиям:1)Функция u(x) является гармонической, в любой

ограниченной подобласти.2)

u(x)

c

, где n -

n

2

размерность пространства

x

.Из последнего

x

x12 ... xn2

условия следует что

u(x)

0

при

x

,

при n 3 и

u(x)

c ,

при n 2

Функция f (z) u(x, y) iv(x, y)

называется аналитической,

ux

если u

y

vy

	v	uxx uyy	0	Следовательно,
	x

действительная часть аналитической функции одной комплексной переменной является функцией гармонической в любой ограниченной области. Продифференцировав первое уравнение по y, второе по x, получим vxx vyy 0 - тоже гармоническая функция. Рассмотрим функцию f (z) zn

z ei

f (z) ( ei )n nein n (cos n i sin n ) n cos n i n sin n

Следовательно, n cos n и n sin n являются функциями гармоническими в круге любого конечного радиуса. Вспомним о решении уравнения Лапласа с помощью которого получилась формула Пуассона для уравнения теплопроводности. Уравнение Лапласа имеет много

частных решений. Среди этих решений выделим решение

обладающее некоторой симметричностью. В частности

u 0 . Найдем решение Лапласа не зависящее от

.

u u( ) ; u

1

u 0

; u z( )

z'

1

z 0

dz

d

z

c1

;

z

u

c1

u c1 ln c2 Положим c2 0; c1

1

, тогда

2

1

1

1

ln

1

u

ln

r

x

( x)2 ( y)2 ; E2 (x, )

2

r ;

;

2

u( , , ) u( )

d

2

du

0

2

du

c1 u

c

c2 .Положи

1

; d

d

d

;

;

м c2

0; c1

1

, тогда

4

u

1

1

r ( x)2 ( y)2 ( z)2

E3 (x, )

;

;

4 .

4 r

1

ln

1

, n 2

2

r

s

En (x, )

1

,

- площадь поверхности в

3

n

(n 2)rn 2 , n

sn

сфере единичного радиуса в n - мерном

пространстве. n 3;

s3

4 ; E3 (x, )

1

4 r .

26*Интегральное представление произвольной и гармонической функций (Интегральная теорема Гаусса).

Теорема: Если ф-ция U(x), непрер. в обл. Ω, имеет в ней непрер. вплоть до границы произв. 1-ого порядка и непрер.

в	обл.		Ω		произв.		2-ого	порядка,	то
		E	n		U
U (x) U				En	dГ En Ud
	Г	n			n

Интегральная теорема Гаусса.

При изучении смешанных задач в рассмотрение был введен

L U div k(x)gradU q(x)U

оператор		k(x) 0, q(x) 0,U U (t, x),t R , x Rn
При д-ве самосопряженности этого оп-ра была получена
первая ф-ла Грина:
	X 2 L X1 d kX 2 X1				dà k X1 , X 2 d
		ã		n
qX1 X 2 d		. Пусть Х2=U,
	UL V d kU				V dà k U, V d qUVd
X =V.			Ã		n
	2
VL U d kV			U dà k U, V d qUVd
		Ã	n
						V	V	U
	(UL V VL U )d k U					n			dÃ
				Ã					n	- вторая формула Грина.
Если оп-р L[U] =∆U, то 2-ая ф-ла Грина имеет вид:
	U V V U d				V	V	U
				U	n		n	dÃ
			Ã						.Будем считать, что ф-ция U

явл. гармонической в Ω, а ф-ция V=1. Тогда ∆U=0, ∆V=0.

V	0, U dà 0
n	Ã	n	. Последнее выражение – матем. запись

теоремы Гаусса.

27. Свойства гармонических функций: аналитичность и теорема о среднем на сфере

1. Теорема (об аналитичности гармонической функции). Ф- ция U(x) гармонич. внутри обл. Ω с границей Г имеет в этой обл. производные всех порядков,т.е. является аналитической.

◄ В обл. Ω возьмем произв. т. х и окружим её некот. повтью σ, целиком лежащей в обл. Ω. Т.к. U явл. гармонич. в обл. Ω, то она явл. гармонич. и в обл., огранич. пов-тями Г и σ, причем в указ. обл. ф-ция U(x) имеет непрер. произв. второго порядка. Согласно интегр. предст. гармонич. ф-ции

можно записать

U

E

n

U

E

n

U(x) En

U

dà En

U

d

n

n

Ã

n

n

U

U ( )

En x,

E x,

n

n

d ►

2. Теорема (о среднем). Среднее значение на сфере функции гармонической в шаре, ограниченном этой сферой равно значению функции в центре шара.

Док-во: Т.к. функция является гармонической в шаре, то согласно интегральному представлению

u(x)			u	u	E	x - центр шара.
		En	n		n dS .Пусть
S	R				n

Подынтегральное выражение мы высчитываем на заданной

поверхности: En |SR

1

s

(n 2)Rn 2

n

E

E

r

E

cos(r n) |

(2 n)cos(r n)

1

1

n |

n

|

n

|

r n

n

(n 2)Rn 1

Rn 1

n SR

SR

SR

s

SR

s

s

R

n

n

u(x) u dS

1

1

u( )dS

s

(n 2)R

n 2

n

S

R

0

n

R SR

ï î _ ин т егральн о й _ ò åî ðåì å _ Гауса

средн ее_ çí à÷åí èå_ í à _ ñô åðå