pechat_33

2 рода		(V U U V )d (V	U	U	V )d .
		Г	n		n
3 рода

18.Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных значений и собственных функций.

L[x] X 0
	x
x
	n
			2		2
			Г 0,

0 задача Штурма – Лиувилля.

0

Собственные значения и собственные функции задачи Штурма – Лиувилля обладают рядом свойств:

1. Если X (x) – собственная функция, отвечающая собственному значению , то и C X (x) C 0 также собственная функция, отвечающая этому же собственному значению.2. Если X1 и X 2 - собственные функции, отвечающие собственному значению , то C1 X1 C2 X 2

C12 C22 0 также собственная функция, отвечающая собственному значению .3. Собственные функции X1 и X 2 соответствующие различным собственным значениям 1 и2 являются ортогональными в области с весом (x) .

( ) X1 ( ) X2 ( )d 0 ( 1 2 ) 4. Все собственные значения

задачи Штурма – Лиувилля вещественны.

5. Все собственные значения неотрицательны.

19.Метод Фурье решения смешанных задач для однородных уравнений гиперболического и параболического типа.

L[X,[x]]+

(1)

, где

L[U}=div(k(x)gradU)=q(x)U

;

Среди множества решений задачи (1) будем искать решения представления в виде U(t,x)=T(t)X(x). Т.к. функция U(t,x) должна удовлетворять граничным условиям (1), то

		(2) задача (2) или
задача Штурма-Лиувиля		(3)
Допустим, что мы решили задачу Ш-Л тогда мы нашли
собственные функции	и собственные значения .
Подставив в уравнение в место
	, либо	;

. Составим (сумму) произведение

(4)

Подберем таким образом, что бы выполнялось начальные условие задачи (1) для этого в ряд (4) подставим

.

20. Решение смешанных задач для неоднородных уравнений гиперболического и параболического типа. Задачи с неоднородными граничными условиями.

(1)

Легко показать, что решение задачи (1) – (3) есть сумма решений задач

(2)

(3)

В процессе решения задачи (2) мы найдём собственные

значения k	и собственные функции
Xk(x).	(4), где
	;
;

.

.

U=V+W, где V(t,x)-новая целевая функция, такая, что для неё граничные условия =0.

)| ;

)|=g(t,x)

;

;

;

	;
В a,b,c	; d -	;

21. Распределение температуры в прямоугольной области.

Уравнение свободных колебаний мембраны имеет вид:

Решение нашей задачи ищем в виде:

разделим переменные: . Тогда получим уравнение:

(1)

Решение задачи (1) будем искать в виде, т.е применим разделение переменных, тогда граничные условия задачи

(1) примут вид:

;

Решаем задачу (2):

Рассмотрим задачу (3):
Обозначим	тогда
	-собственные знач-я
задачи (3).	-собственные
знач-я задачи (1).	-собственные ф-ии
задачи (1).Система ф-й	ортогональна в области

Ф-ия T(t) будет зависеть от задачи (1) и определяется:

;.Решение нашей задачи представляется в виде ряда:

22.*Уравнение Бесселя. Функции Бесселя.

Ур-ие -носит название уравнения Бесселя к-ого порядка к- любое число. Рассмотрим частный случай к=0 б т.е нулевого порядка: это ур-

ие определено во всех точках кроме x=0.Будем искать решение этого урав-ия в виде:

Подставляем коэффициенты в уравнение:

Нечётные коэффициенты этого ряда все равны 0. т.о получаем ряд: .

Положим ,тогда сумма этого ряда - ф-ия Бесселя нулевого порядка.

Линейное ур-ие 2-ого порядка имеет 2-а линейно независимых решения ,одно из них мы нашли, второе решие линейно независимое с найденным носит название ф-ии

Неймана, структура этого решения значительно сложнее и мы не будем на нем останавливаться.

Рассмотрим теперь ур-ие: .Сделаем замену: тогда

-уравнениеие Бесселя с независимой

переменной .Решение этого уравнения ,а исходного

- какое-то число. Покажем ,что функция является ортогональной на [0,1] с весом x .

Первое уравнение умножим на	, второе на	и
отнимем.

Легко показать, что под знаком интеграла в правой части равенства (1) стоит: т.о правая часть равенства (1) равна

Подстановка нижнего предела сделаем 0,а положив в (2)

И учитывая приходим к выводу, что выражениеие (2)=0,т.о ортогональность ф-ии доказана.

Найдём нормирующий множитель этой системы ф-ий ,т.е

.

В равенстве (1) положим

тогда:

23.Радиальные колебания круглой мембраны.

Уравнения колебаний мембраны в декартовой системе координат имеет вид: перейдём к полярной системе координат:

Будем считать, что отклонение точек мембраны не зависит от тогда эти колебания описываются с помощью следующей модели:

Решение будем искать в виде:

Решение уравнения задачи Ш-Л является функция -функция Бесселя.Согласно граничному условию

-собственные

значения

- собственные функции

;