pechat_33

40. Объемный потенциал. Потенциал простого слоя. Потенциал двойного слоя.

В точку A(x0 ; y0 ; z0 ) помещаем заряд q . Он создает электростатическое поле, вектор напряженности которого E

kq

r

в точке

M (x; y; z)

определяется формулой

E

, где

r

| r |3

– радиус вектор с началом в точке

A и концом в точке M .

r (x x ; y y ; z z )

E kq

0

;

0

;

0

0 .

x

x

y

y

z

z

. Коэффициент

0

0

3

3

3

| r |

| r |

| r |

k зависит от выбранной системы единиц и от характеристик пространства. В дальнейшем k 1. В этом случае компоненты вектора E равны частным производным от

	u		q							q													с противоположным знаком.
		| r |						(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
	u																1
			(q((x x )						2	( y y )	2	(z z		2								'
														)	)	2 )						x
	x					0				0			0
			1										)2 )			3
					q((x x )2				( y y )2
											(z z					2 2(x x )
			2			0				0		0												0

Функцию u называют потенциалом электростатического

поля. u u1 u2		q1		q2	. Пусть в некотором объеме
		r		r
	1		2

распределены заряды с объемной плотностью (x) . Тогда потенциал поля, создаваемый зарядом, распределенным по

объему будет u (S)dV - потенциал

V r

объема.

Пусть заряд распределен по некоторой поверхности b, тогда он

определяется формулой u (S)dV -

b r

потенциал простого слоя.

Пусть дана ориентированная прямая и на ней отмечена точка А. По разные стороны от этой точки находятся заряды, одинаковые по величине и противоположные по знаку. Расстояние между ними h. Тогда потенциал в точке

М будет равен u	q		q	q(	1		1	) . Если эти заряды
	r		r		r
							r
1		2			1		2

приближать к точке А таким образом, чтобы каждый из них

оставался по свою сторону от этой точки, то	1		1		1	;u 0 .
	r1		r2		r

Предположим теперь, что в процессе движения величина заряда q меняется таким образом, что qh const . Тогда

потенциал u lim		(	1		1	)		cos . Предельное положение
	h		r				2
					r		r
			1		2

зарядов называют диполем. Прямую l называют осью диполя, а величину p – моментом диполя. Пусть теперь ориентированную поверхность, существующую на этой поверхности распределен, заряд с моментом действия p(x). Потенциал, создаваемый этими зарядами равен

w	(S)	cos dS - потенциал двойного слоя. Известно, что
	r 2
S
если подинтегральная функция f ( , x)			интеграла f ( , x)d

обращается в бесконечность в некоторой точке области , то интеграл нельзя определить как предел интегральной суммы. Если существует конечный предел, то наш интеграл называется сходящимся. В случае несобственных интегралов, зависящих от параметров, существуют признаки сходимости.

41. *Свойства объемного потенциала

Рассмотрим объемный потенциал

	U	( )	dv,	r						R3 Справедлива следующая теорема
						x
	V	r

Теорема 1 Если плотность x ограничена и интегрируема в области V, то объемный потенциал является функцией гармонической вне этой области

Так как точка х лежит вне объема V, то объемный потенциал является собственным интегралом. Это означает, что функция u(x) непрерывна и имеет непрерывные производные всех порядков, которые могут быть найдены дифференцированием под знаком интеграла.

1)

U x 0

2)

U x

c

x

0,

при

x

Покажем это:

1

1

1) U x

dv

0 , т.к.

Е3 , х

- гармоническая,

4 r

V

r

0

1

u

1

0

кроме х

r

4 r

E3

2) Проверим выполнение условия на

U x

1

dv A

1

dv

r

r

V

V

Для оценки последнего интеграла поместим начало

координат в некоторую т.О

PM r,

OM R,

OP

Всегда можно считать, что OP d , где d – диаметр области V. Выберем точку M настолько удаленной от V, чтобы

OP d R 2d d

R

, r R OP R d R

R

R

1

2

r

R

2

2

2

Тогда получаем, что

U x

A

2

dv

2AB

C

U x

0, при

R ,

R

x

R

R

V

R

Теорема 2. Если плотность x ограничена и интегрируема в области V, то потенциал U(x) и его частные производные 1-го порядка определены во всем пространстве и эти производные могут быть найдены дифференцированием под знаком интеграла.

Достаточно показать, что
функции
U x	( )	dv,	du		x	dv
	r				r3
			dx
V				V

Определены через несобственные интегралы, которые равномерно сходятся

в любой точке M области

Опр. Интеграл f , х d равномерно сходится, если

0 и для любых точек М и N и расстояние

NM и для любой области , диаметр которой d

выполняется f , х d .

Теорема 3. Если плотность x непрерывна в области V (включая границу), имеет непрерывные в области V

производные 2-го порядка, то объемный потенциал имеет непрерывные в V производные 2-го порядка и удовлетворяет уравнению Пуассона U (x) 4 (x)

42. *Свойства потенциала простого слоя

Замкнутую поверхность S называют поверхностью Ляпунова, если она удовлетворяет условиям:1.В каждой точке существует вектор нормали 2.уравнение части поверхности, заключённой внутри сферы достаточно малого радиуса можно представить уравнением z=f(x,y) в локальной системе координат, ось z которых направлена по нормали выбранной точки поверхности, а ось x и y расположены к касательной плоскости. Можно показать, что если S ограниченная замкнутая поверхность Ляпунова,

то существует постоянная K :			cos		ds K.	А) Потенциал
			r 2
S

простого слоя несущей поверхности является функцией гармонической , если несущая поверхность ограничена, то

.Б) Потенциал

простого слоя определен во всем пространстве.Нам нужно показать, что если точка М принадлежит несущей

поверхности, то интеграл , где некоторая малая окрестность точки М является сходящимся. Интеграл сходиться и

следовательно определен всюду.В) Потенциал простого слоя с не прерывной плотностью является функцией непрерывной во всем пространстве.Утверждение: Потенциал простого слоя имеет производную по нормали по несущей поверхности изнутри и из вне, причем :Из вне

:

Изнутри :

f x , f y

43.Свойства потенциалов двойного слоя.

В дальнейшем нам понадобится понятие поверхности Ляпунова. Замкнутую поверхность S будем называть поверхностью Ляпунова, если выполняются следующие условия:

1)В каждой точке поверхности существует касательная плоскость. Это позволяет в каждой точке поверхности построить местную или локальную систему координат, ось z которой направлена по внешней нормали поверхности.

2)В этой системе координат часть поверхности, заключено

		cos
		r 2
S

внутри шара с центром в начале координат и достаточно малого радиуса имеет уравнение: z f (x, y), причем частные производные являются непрерывными функциями. Можно показать, что если S ограниченная замкнутая поверхность Ляпунова, то существует постоянная K :

ds K.

Теорема 1. Вне точек несущей поверхности потенциал двойного слоя является функцией гармонической

W (x) ( )	cos		ds.
	r	2
S

Теорема 2. Потенциал двойного слоя определен всюду. Теорема: Потенциал двойного слоя имеет пределы при стремлении т. M к т. N0 , несущей поверхности изнутри и извне. Если обозначить Wl (N0 ) предел и из вне, Wi (N0 ) предел изнутри, то

	W (N )		( )	cos 0	dS 2 (N ) W (N ) 2 (N ).
				r 2
	l 0				0	0	0
		S	0
	Wi (N0 ) W (N0 ) 2 (N0 ).

44)*Использование потенциалов для решения задач Дирихле и Неймана

Рассмотрим		замкнутую	поверхность	Летунова	и
	- задача Дирихле.Будем искать решение задачи
Дирихле	в	виде	потенциала	двойного	слоя
		с неизвестной плотностью.Выберем

функцию μ(ζ) таким образом, чтобы значение потенциала двойного слоя в точке принадлежало некоторой

поверхности,	совпадающей с	f( ).При решении
внутренней	задачи	Дирихле

В

случае

внешней

задачи:

.Решив одно из этих

уравнений, найдем неизвестную плотность μ(x). Подставим её вместо неизвестной плотности в интеграл двойного слоя, решение задачи Дирихле сведется к взятию поверхностного интеграла.

Если имеем задачу Неймана:

, то решение

ищется в виде потенциала простого слоя U(x)= с

неизвестным ρ(x). Необходимо учитывать что в точках

границы значение потенциала должно совпадать с соответствующим значением производной по нормали.

Для	внутренней	зад-и	неизвестная	плотность:
f(x)=		для внешней: f(x)=		.

44)*Использование потенциалов для решения задач Дирихле и Неймана

Рассмотрим		замкнутую	поверхность	Летунова	и
	- задача Дирихле.Будем искать решение задачи
Дирихле	в	виде	потенциала	двойного	слоя
		с неизвестной плотностью.Выберем

функцию μ(ζ) таким образом, чтобы значение потенциала двойного слоя в точке принадлежало некоторой

поверхности,	совпадающей с	f( ).При решении
внутренней	задачи	Дирихле

В

случае

внешней

задачи:

.Решив одно из этих

уравнений, найдем неизвестную плотность μ(x). Подставим её вместо неизвестной плотности в интеграл двойного слоя, решение задачи Дирихле сведется к взятию поверхностного интеграла.

Если имеем задачу Неймана:

, то решение

ищется в виде потенциала простого слоя U(x)= с

неизвестным ρ(x). Необходимо учитывать что в точках границы значение потенциала должно совпадать с соответствующим значением производной по нормали.

Для	внутренней	зад-и	неизвестная	плотность:
f(x)=		для внешней: f(x)=		.