pechat_33

34.Формула Пуассона решения задачи Дирихле для круга

U

xx

U

yy

0

G x, G x, y, , E2 x, q x, 0

g x, y

1

1

2

2

U |

2

2

R

2

E2 x,

ln

,

r x

y

x

y

2

r

G

1

1

R

|K

ln

|K

n

2

n

r

n

r

1

1

1

R2 r 2 2

1

R2 r 2 2

1

|

2

r

2Rr

r

2Rr

K

1

1

R2

R2 r 2

R4

R2

2 R2 r 2

Rr

1

2

2

r

,

|

2

2Rr

R

r

1

2

2

2

K

1

2R

2

1

2 R2 r 2

2 R2 r 2

1

2 2 2R2

1

2

R2

2

2

2

2

2Rr

2Rr

2Rr

2

Rr

2

2

U x

,

G

2 R2

g ,

dk

dk Запишем формулу

n

R

r

2

K

K

Пуассона в полярной системе координат x cos ,

y sin ;

Rcos ,

Rsin

r

x 2 y 2

U x

r 2 R cos cos 2 Rsin sin 2

R2 2 2R cos cos sin sin

R2 2 2R cos

U ,	2 R2			g R cos , R sin R
					d
	R		R2	2 2R cos

35.Неравенство Харнака. Теорема Лиувилля

Пусть функция

U x -гармоническая внутри шара и

неотрицательна

U x 0

R r R

U x

R2 2

g

ds

R 3 r3 R 3

4 R

3

r

SR

Получим оценку для

1

1

1

1

.Умножим

R 3

R 3

r 3

r3

последнее неравенство на

R2 2

g и проинтегрируем по

4 R

поверхности SR . Получим

R

1

g ds

4 R

2

R

S

R

R2

2

g

ds

4 R

r3

SR

R

1

g ds

2

4 R

R

S

R R

R

R R

1

g ds U x

1

g ds

2

4 R

2

2

2

R

S

R

R

4 R

S

R

Последнее неравенство носит название неравенство

Харнака

Из неравенства Харнака легко получить теорему Лиувилля. Теорема: Если функция является гармонической во всем пространстве и ограничена или сверху,или снизу, то она постоянна.

В неравенстве Харнака при R U x U x0 const

U x

c

U x

c, n 2

U x

x

n2

0,

x

, n 3

n 3

x

U x 0

36. Уравнения колебания струны

Под струной мы будем понимать упругую нить, не сопротивляется изгибу.

Будем считать колебания струны малыми. Малость колебаний означает, что квадратами величин отклонения точек струны от

равновесия и квадратами производных по x можно пренебречь. В положении равновесия струна совпадает с осью Ox . При возмущении точек струны будут отклоняться от этой оси. Величину этого отклонения обозначим через

U (t, x) .

	(x x)
(x) x1	x2
	x x

длину АВ

Выделим участок струны заключенный между x1 и

x2 . В положении равновесия длина этого участка

l x2 x1 . Выведем этот участок из положения равновесия и посчитаем

x2
lAB	1 ux2 (t, x)dx x2 x1
x1

Впроцессе колебаний длина невозмущенного участка струны не изменяется.

Всилу закона (удлинение пропорционально приложенной силе) приходим к выводу, что в процессе колебаний сила натяжения струны не меняется.

Обозначим T(x) сила натяжения в точке струны с

координатой x . Выделим участок струны x -m (x) x, (x) линейная плотность струны.

Если мы зафиксируем точку х, тогда u(t, x) дает закон движения точки х. ut (t, x) -скорость движения, utt - ускорение, (x) xutt (t, x) FUi .

Обозначим через F (t, x) величину силы, приложенную в точки х в момент времени t. Считают что эти силы расположены в плоскости XU и параллельны оси U.

Fiu F(t, x) x -силы натяжения точек струны, найдем теперь проекцию сил натяжения на ось U.

Fu ñèëí àò T (x

x) sin(x

x) T (x) sin (x)

sin

tg

ux

sin

cos tg cos

u

cos

1 tg

2

1 u2

x

x

T (x x)u (t, x x) T (x)u (t, x)

(T (x)u (t, x)) x

x

x

x

x

(x) xu F (t, x)

x

(T (x)u

) x

tt

x

x

уравнения колебаний струны.

(x)u

(T (x)u

) F (t, x)

tt

x

x

Если струна однородная, то

u

a2u

f (t, x) ãäå a2

T

xx

tt

(x) const

f (t, x)

F (t, x)

T (x) T const . Тогда

u |t 0 (x), ut |t 0 (x)

(x, y)Utt dxdy .

Ux2 и

37. Уравнение колебания мембраны

Опр. Мембрана – свободно изгибающаяся упругая пленка. Будем считать, что в положении равновесия мембрана расположена в плоскости XOY, занимает некоторую

область и ограничена кривой Г.

Будем считать, что колебания мембраны являются малыми, причем все точки движутся перпендикулярно XOY. Величину отклонения мембраны от положения

равновесия будем обозначать U(t,x,y). Малость колебаний означает, что величинами U y2 можно пренебречь. Выделим часть мембраны в положении равновесия , ограниченной контуром , Найдем площадь поверхности

: S1 : z f (x, y)			 S
					1 fx'2 f y'2 ds ;
				S1
S	1 Ux'2 U y'2 d dxdy Sw.
				w

Вывод. В процессе малых колебаний изменение площади выделенной части мембраны не происходит в процессе колебаний силы натяжения не меняются.

T(x,y) – сила натяжения, F(t,x,y) – величина внешней силы приложенной в момент времени t к точке (x,y).

Введем элементарную площадь мембраны dxdy (Эл. участок), с плотностью пленки (x, y) , тогда массой будет(x, y)dxdy . F(t,x,y)dxdy – величина силы приложенной к площадке. Сумма всех сил инерции приложенных к контуру

(или участку мембраны) будет равна

w

Сумма всех внешних сил F(t, x, y)dxdy . Будем считать, что

w

силы натяжения лежат в плоскости касательной к поверхности и перпендикулярны векторам касательной к

нормали в выбранной точке '. Найдем теперь сумму проекций на ось Ou сил приложенных к контуру ' участкамембраны. Для этого через dS обозначим элемент дуги

кривой '.T(x,y) – сила, приложенная в каждой точке этого элемента, тогда сила натяжения будет T(x,y)dS. Учтем теперь, что TTdS –вектор , направление которого перпендикулярно касательной к середине элемента dS и нормали к поверхности в этой же точке.Если уравнение поверхности есть z f (x, y) , то направление косинуса вектора нормали есть

cos( )

f '

f '2

, cos( )

fy'

f '2 ,

1 f '2

1 f '2

x

x

y

x

y

cos( )

1

. В нашем случае в роли f(x,y) выступает

f '2

f '2

1

x

y

функция U(t,x,y) и учитывая, что U x2 и U y2 можно пренебречь n ( Ux , U y ,1) . Вектор касательной можно представить в

виде idx+jdy+kdz. Тогда направление вектора TdS совпадает с вектором равным векторному произведению векторов касательной и нормали.

i j k

		i(dy U y dz) j( dx Uxdz) k( U y dx Uxdy) .
ds n dx dy dz
	Ux U y	1

Тогда проекция вектора силы натяжения приложенного к участку dS ограниченным ' будет T(x,y)(U x dy-U y dx). Сумма проекций всех сил натяжения приложенных к

контуру будет T (U x dy U y dx) ;

'

(x, y)Utt dxdy F(t, x, y)dxdy + T (U x dy U y dx) , тогда

w

w

'

[ Pdx Qdy

( Q

P )dxdy ]

k

S

x

y

TUxdy TU y dx (

(TUx )

(TU y ))dxdy .

x

y

w

(x, y)U

(TU )

(TU ) F(t, x, y)

x

y

tt

x

y

gradf ( fx , fy , fz )

div A div( A , A , A ) A1

A2

A3

1

2

3

x

y

z

(x, y)Utt div(TgradU ) F (t, x, y) – уравнение колебания

мембраны. В случае однородной мембраны

Utt a2 (Uxx U yy ) f (t, x, y) , a2

T

, f

F

.

U

t 0

(x, y),Ut

t 0

(x, y) – задача Коши. ( U

0 –силы

n

Ã

натяжения =0 )

t t ,

39. Уравнение теплопроводности

Из термодинамики известно, что количестмсво тепла Q проходящее через площадку S за время t

u

пропорционально площади площадки, времени и n -

производной по нормали, где u - температура

Q k S t un . Коэффициент k(x, y, z) характеризует

плотность теплового потока, т.е. количество тепла, проходящее в единицу времени через единицу площади

q k(x, y, z) un - величина теплового потока. В трехмерном

пространстве выделим объем V и подсчитаем количество тепла, поступающего в этот объем за время t :

Qk udS t

ÏS n

Пусть внутри выделенного объема находятся источники тепла, объемная плотность которых F (t, x, y, z) , тогда

количество тепла Qâí . F(t, x, y, z)dV t

V

Поступившее тепло идет на изменение температуры тела в момент времени t t . Обозначим u(t, x, y, z) - температура во время t и u(t t, x, y, z) - температура во время

(x, y, z) - объемная плотность, c(x, y, z) - теплоемкость материала. Тогда количество тепла, необходимое для изменения температуры элементарного объема V за времяt будет равно

Q c(x, y, z) (x, y, z) V (u(t t, x, y, z) u(t, x, y, z))

u(t t, x, y, z) u(t, x, y, z) ut (t, x, y, z) t

Q c ut dV t

V

Запишем теперь уравнение теплового баланса Q QÏ Qâí .

c ut dV k

uds

F (t, x, y, z)dV

V

S

n

V

u

u cos(x n) u cos( y n)

u cos(z n)

n

x

y

z

P

Q

R

(P cos Q cos R cos )dS

x

y

)dv Тогда

S

V

z

u

u

u

u

k

n

ds

k

k

y

k

dV div(k grad (u))dV

S

V

x

x

y

z

z

V

c ut	div(k grad (u)) F (t, x, y, z)
	В случае однородного тела c, , k const и уравнения
u a2 u f (t, x, y, z); a2		k	; f	F
t		c		c

			2	uxx
ut		a
			f (x) - задача Каши описывает процесс
u |
	t 0

распространения тепла

un |Ã g1 (t, x, y, z)

	u	|Ã	g2 (t, x,
u
	n

u |Ã u |S g(t, x, y, z)

y, z)