kozinova_a.t._praktikum_po_ekonometrike_fup

Таблица 1.4.2.2 Данные, представленные в процентах к предыдущему кварталу

квартал	I TR SNG	I EXP SNG	I IMP SNG	I руб / $	I руб / €
1кв. 01	86,09	89,22	82,51	102,06	96,75
2кв. 01	115,62	109,45	123,22	101,15	97,15
3кв. 01	81,22	93,77	67,47	101,10	109,32
4кв. 01	111,53	109,81	114,15	102,55	98,62
1кв. 02	82,62	83,85	80,82	103,25	102,49
2кв. 02	112,26	110,15	115,41	101,06	114,48
3кв. 02	111,66	115,75	105,71	100,60	99,45
4кв. 02	113,43	114,09	112,48	100,44	107,12
1кв. 03	91,08	92,66	88,53	98,74	101,45
2кв. 03	112,46	109,15	118,11	96,72	103,33
3кв. 03	112,99	111,50	115,20	100,86	101,07
4кв. 03	111,85	112,45	110,99	96,21	104,96
1кв. 04	93,00	96,68	87,37	96,74	94,51
2кв. 04	123,18	117,28	133,13	101,90	101,41
3кв. 04	109,88	116,00	100,79	100,65	101,98
4кв. 04	112,77	113,84	110,90	94,97	105,06
1кв. 05	74,70	72,42	78,72	100,29	95,37
2кв. 05	122,32	123,32	120,72	103,02	95,73
3кв. 05	108,04	111,69	101,98	99,41	99,59
4кв. 05	102,94	102,06	104,55	100,98	99,45
1кв. 06	95,74	102,21	84,27	96,46	97,89
2кв. 06	109,84	105,74	118,69	97,55	101,52
3кв. 06	120,78	122,40	117,62	98,89	100,00
4кв. 06	97,49	90,82	110,78	98,32	102,12
1кв. 07	94,59	96,50	91,46	98,78	99,97
2кв. 07	119,85	119,41	120,63	99,27	100,09
3кв. 07	106,98	108,12	105,03	96,63	101,81
4кв. 07	112,39	114,81	108,17	98,40	101,64
1кв. 08	98,22	101,36	92,39	95,80	103,17
2кв. 08	129,23	127,51	132,71	99,74	99,57
3кв. 08	100,90	96,69	109,18	107,63	98,54
4кв. 08	67,56	70,21	62,96	116,36	113,94
1кв. 09	60,82	62,56	57,45	115,76	108,45
2кв. 09	126,04	126,50	125,05	92,00	97,51
3кв. 09	113,67	115,67	109,44	96,16	100,43
4кв. 09	118,40	115,64	124,57	100,50	98,59
		11

Глава 2. Регрессионные модели количественного показателя экономики

Регрессионная модель представляет связь количественных показателей экономики, как некоторую закономерность в среднем по совокупности наблюдений, в виде аналитической формулы (функции).

Эконометрическое исследование количественного показателя включает формулировку вида модели, соответствующей экономической теории. Прежде всего, определяется круг факторов, влияющих на изучаемый показатель. В зависимости от количества факторов, включенных в модель, различают парную и множественную регрессии. Парная регрессия достаточна, если используется при моделировании один доминирующий фактор, если такого нет, то для анализа изучаемого показателя предлагается множественная регрессия.

2.1.Основные виды функции регрессии

Парная регрессия имеет вид

yˆ (x) = f (x), причем y(x) − yˆ (x) = ε (x) или y(x)/ yˆ (x) = ε (x),

где:
y(x) –	изучаемый показатель (объясняемая или зависимая переменная),
x – фактор (объясняющая или независимая переменная),
f (x) –	функция регрессии.
yi − yˆ i	= εi или yi / yˆ i = εi ,
где:

i = 1, n – номера наблюдений,

yi = y(xi ) – варианты значений (наблюдения) изучаемого показателя, xi – варианты значений (наблюдения) фактора,

yˆ i = yˆ (xi ) = f (xi ) – теоретические значения изучаемого показателя, εi – остатки (ошибки), связанные со спецификацией модели.

Основные функции парной регрессии: yˆ = a + b x – линейная,

yˆ = a + b1 x + b2 x2 + ... + bm xm – полиномиальная,

yˆ = a + b – гиперболическая, x

yˆ = a xb – степенная,

yˆ = a bx – показательная,

где a,b,b1 ,b2 ,...bm – параметры моделей.

12

Множественная регрессия имеет вид

yˆ = f (X ) = f (x1, x2 ,..., xm ),

причем y(X ) − yˆ (X ) = ε (X ) или y(X )/ yˆ (X ) = ε (X ),

где:

y(X ) – изучаемый показатель,

X = (x1, x2 ,..., xm ) – факторы, другие показатели.

yi − yˆ i = εi или yi / yˆ i = εi ,

где:

"i = 1, n – номера наблюдений,

yi = y(X i ) – варианты значений (наблюдения) изучаемого показателя, X i = (xi1, xi2 ,..., xim ) – варианты значений (наблюдения) факторов,

yˆ i = yˆ (X i ) = f (X i ) – теоретические значения изучаемого показателя, εi – остатки (ошибки), связанные со спецификацией модели.

Основные функции множественной регрессии:

yˆ	= a + b1 x1 + b2 x2 + ... + bm xm –				линейная,
yˆ	= a xb1 xb2 ×... × xbm – степенная,
	1 2		m
yˆ	= ea+b1 x1 +b2 x2 +...+bm xm – экспоненциальная,
yˆ	=		1	–	гиперболическая,
		a + b1 x1 + b2 x2 + ... + bm xm
где a, b1 ,b2 ,...bm –			параметры моделей.

Чаще используют линейную и степенную функции регрессии, благодаря простому экономическому толкованию параметров моделей:

параметр при факторе в линейной регрессии характеризует среднее изменение изучаемого показателя с изменением данного фактора на одну единицу при неизменных значениях остальных факторов.

параметр при факторе в степенной функции регрессии является коэффициентом эластичности по фактору, и показывает, на сколько процентов в среднем изменяется моделируемый показатель с изменением данного фактора на 1% при неизменных значениях остальных факторов.

2.2.Выбор вида функции регрессии

Для выбора вида функции регрессии используют методы:

графический,

аналитический,

экспериментальный.

13

Графический метод, чаще используется при выборе функции парной регрессии и основан на визуальном анализе поля корреляции. Аналитический метод основан на корреляционном анализе группы показателей. Экспериментальный метод связан с расчетом различных вариантов функций регрессии, сравнением отклонений фактических и теоретических значений моделируемого показателя.

Следует учитывать то, что:

чем сложнее функция регрессии, тем хуже толкование параметров;

увеличение числа параметров регрессии, при наличии ограниченного набора данных, приводит к неудовлетворительному качеству модели с точки зрения статистических критериев.

Компьютерная обработка данных позволяет более эффективно анализировать различные функции регрессии и выбирать те, у которых качество лучше.

Требования к факторам, включаемым в функцию регрессии:

Факторы должны «объяснять» поведение моделируемого показателя, существенно влиять на него, согласно имеющимся положениям экономической теории.

Факторы, в совокупности, должны объяснять вариацию моделируемого показателя. Долю объясненной вариации определяет показатель детерминации. При включении нового фактора, он должен возрастать. Если этого не происходит или показатель детерминации увеличивается незначительно, то включение нового фактора в модель мало оправдано.

Факторы должны быть менее существенно связаны друг с другом, чем с моделируемым показателем. Включение в модель факторов, существенно связанных друг с другом, может привести к нежелательным последствиям:

-факторы будут дублировать друг друга, что нарушит экономическое толкование параметров модели;

-система уравнений для оценки параметров модели будет плохо обусловлена, что приведет к ненадежности полученных функций регрессии и нежелательности их использования для анализа и прогнозов моделируемого показателя.

Число параметров при факторах, включаемых в модель регрессии, должно быть в 6 – 7 раз меньше объема наблюдений, в противном случае возможна статистическая несущественность параметров функции регрессии и всей модели в целом.

Требования к фактору, включаемому в функцию парной регрессии:

0,7 < rxy £1, n ³ 6 – для линейной регрессии yˆ = a + b x ;

14

0,3 £

r

k

£1;

r

k

l

r

k

,

r

l

для

y

x

<< min

y

y

,"k ¹ l,"k,l =1, m; n ³ 6 m –

x

x

x

x

полиномиальной регрессии

ˆ

= a + b1 x + b2 x

2

+ ... + bm x

m

;

y

ˆ

b

0,7 <

rx−1 y

£1,

n ³ 6 – для гиперболической регрессии y

= a +

;

x

ˆ

b

0,7 <

rln x ln y

£1,

n ³ 6 –

для степенной регрессии

y = a x

;

ˆ

x

0,7 <

r x ln y

£1, n ³ 6 –

для показательной регрессии y = a b

.

Требования к факторам, включаемым в функцию множественной

регрессии:

< min(

) , "k ¹ l,"k,l =

0,3 £

£1;

;

n ³ 6 m – для

rx

y

rx

x

rx

k

y

,

rx

y

1, m

k

k

l

l

регрессии

yˆ =

a + b1

x1 + b2

x2 +

...

+ bm xm ;

< min(

); "k ¹ l;"k,l =

0,3 £

rln x

ln y

£1;

rln x

ln x

rln x

k

ln y

,

rln x ln y

1, m;

k

k

l

l

n ³ 6m –

для регрессии yˆ = a xb1 xb2 ×... × xbm ;

1

2

m

0,3 £

r

−1

£1;

rx

x

r

−1

,

r

−1

"k ¹ l; "k,l

=1, m;

n ³ 6m –

< min

;

xk

y

k l

xk

y

xl

y

ˆ

1

для регрессии

x

+ ... + b x

.

y = a + b x + b

1

1

2

2

m

p

При формулировке требований было учтено наличие внутренней линейности предлагаемых функций парной и множественной регрессий.

2.3.Оценка параметров линейных и внутренне линейных функций регрессии

Для расчета параметров линейных функций регрессии можно использовать метод наименьших квадратов (МНК). МНК оценки параметров линейной множественной регрессии (yˆ = a + b1 x1 + b2 x2 + ... + bm xm ), кратко

состоит в следующем. Параметры (a, b1 ,b2 ,...bm ) функции регрессии подбираются так, чтобы выполнялось условие:

(

,...,bm

)

= ∑

(

ˆ

)2

= ∑

(

yi - a - b1xi1

- b2xi2

- ... - bm xim

)2

® min

S a,b1,b2

yi - yi

i

i

Составляется система уравнений:

'

Sa = 0

= 0,

"k = 1, m

Sb'

k

После преобразований система принимает вид:

15

a + b1

x1

+ b2

x2

...+ + bm

xm

=

y

a x + b x2

...+ b x x + + b x x = y x

1 1 1

2 2 1

m m 1

1

................................................................

2

a xm + b1 x1xm + b2 x2xm + ... + bm xm = y xm

Решение данной системы уравнений может быть выполнено различными математическими методами и, в том числе, c помощью надстройки «Анализ

Данных» MS EXCEL.

Для нелинейных, внутренне линейных, функций регрессии вначале выполняется процедура линеаризации. Например, процедура линеаризации и использования МНК при оценке степенной функции регрессии

(yˆ = a xb1 xb2 ×...× xbm )

состоит

в

следующем.

Сначала

функция

регрессии

1

2

m

логарифмируется:

ln yˆ = ln a + b1 ln x1 + b2 ln x2 + ... + bm ln xm .

Затем определяются

ln yi , ln xi1,ln xi2 ,..., ln xim

–

значения преобразованных

показателей ( i =

).

(a, b1 ,b2 ,...bm )

1, n

Параметры

линеаризованной

функции

регрессии подбираются так, чтобы выполнялось условие:

S = ∑(ln yi − ln yˆ xi )2 =

i

= ∑(ln yi − ln a − b1 ln xi1 − b2 ln xi2 − ... − bm ln xim )2 → min

i

Составляется система уравнений:

'

S ln a = 0

' = 0,

k = 1, m

S

bk

После преобразований система принимает вид:

ln a + b

+ b

+ ... + b

=

ln x

ln x

ln x

ln y

1

1

2

2

m

m

+ b ln2 x

ln a ln x

+ b ln x

ln x

+ ... + b ln x

ln x = ln y ln x

1 1

1

2

2

1

m m

1

1

...................................................................................................

ln a

+ b

+ b

+ ... + b

ln2 x

=

ln x

ln x ln x

m

ln x

ln x

m

ln y ln x

m

1

1

2

2

m

m

m

Решение данной системы уравнений может быть выполнено различными математическими методами и, в том числе, с помощью надстройки «Анализ

Данных» MS EXCEL.

16

2.4.Анализ качества модели регрессии

При анализе качества модели регрессии выполняют:

проверку значимости модели в целом,

проверку значимости параметров функции регрессии,

проверку предпосылок метода наименьших квадратов.

На каждом этапе используют статистические критерии, выводы делают с

определенной надежностью (вероятностью), или с определенным уровнем значимости. Приемлемыми являются: надежность не менее 95% и уровень значимости не более 5%.

Оценка значимости модели регрессии в целом

Проверка значимости модели регрессии в целом, выполняется на основе дисперсионного анализа с помощью критерия Фишера ( F – критерия). При этом вычисляются следующие величины:

TSS = ∑(yi − y)2 ,

i

RSS = ∑(yˆ x

−

)2 ,

y

i

i

ESS = ∑(yi

− yˆ x

)2 .

i

i

На основе данных величин определяются:

S

2 =

TSS

–

общая дисперсия,

Y

n −1

SR2 =

RSS

–

факторная дисперсия,

m

SE2 =

ESS

–

остаточная дисперсия,

n − m −1

где

n –

количество вариантов значений показателей,

m –

количество параметров при факторах.

Используя дисперсии, вычисляют F - статистику

F =

S

2

=

RSS (n − m −1)

R

SE2

ESS

m

(где

Она

сравнивается

с

критическими

значениями

Fα ;k ,k

1

2

k1 = m,

k2 = n − m − 1). Критические значения имеются в таблицах приложений

учебников по эконометрике и статистике.

Согласно

F - критерию модель регрессии значима в целом с уровнем

значимости «α» при выполнении условия:

F ³ Fα ;m,n−m−1 .

17

Дополнительной характеристикой качества модели в целом служит коэффициент (индекс) детерминации:

	0			,если	ESS > TSS
R2			ESS
	=	−			ESS ≤ TSS
	1			,если
			TSS

Чем ближе значение R2 к единице, тем меньше оснований сразу отклонить предлагаемую модель, как неудачную, с точки зрения статистических критериев. Принято с помощью величины коэффициента (индекса) детерминации, указанной в процентах, говорить о том «на сколько

процентов предлагаемая модель объясняет поведение моделируемого

количественного показателя».

Если модель регрессии значима в целом с приемлемым уровнем значимости (не более 5%), то можно перейти к следующему этапу оценки качества модели. В противном случае, анализ функции регрессии прекращается, модель отклоняется, как неудачная, и не используется для описания и прогнозов моделируемого показателя.

Оценка значимости параметров функции регрессии

Важно уметь оценивать не только значимость модели в целом, но и отдельных параметров, а вместе с ними и факторов, включаемых в функцию регрессии. Оценить значимость параметров регрессии можно с помощью критерия Стьюдента ( t - критерия).

Согласно критерию Стьюдента, вычисляются t - статистики, равные отношению самих параметров и их стандартных ошибок, которые сравниваются с критическими значениями t1−α ;k (где k = n − m −1).

Критические значения имеются в таблицах приложений учебников по эконометрике и статистике.

Согласно t - критерию, предположение о незначимости параметра регрессии отклоняется с уровнем значимости «α» при выполнении условия:

t ³ t1−α ;n−m−1.

Если предположение о несущественности для всех параметров отклоняется с приемлемым уровнем значимости (не более 5%), то можно перейти к следующему этапу оценки качества модели. В противном случае, анализ функции регрессии прекращается, модель отклоняется, как неудачная, и не используется для описания и прогнозов моделируемого показателя.

Проверка предпосылок метода наименьших квадратов

Проверка существенности параметров функции регрессии, полученных с помощью МНК, и значимости модели регрессии в целом выполняется с помощью критериев Стьюдента и Фишера. При работе с этими критериями,

18

согласно теореме Гаусса Маркова, используются следующие предположения (предпосылки МНК) относительно необходимых свойств у модели:

случайность остатков,

математическое ожидание остатков равно нулю,

равноизменчивость (гомоскедастичность) остатков,

отсутствие автокорреляции остатков,

нормальный закон распределения остатков.

Согласно предпосылке МНК о случайности остатков требуется, чтобы график остатков (в прямоугольной системе координат, где ось абсцисс – номер наблюдения, а ось ординат – остатки) располагался в горизонтальной полосе, симметричной относительно оси абсцисс, имел много локальных экстремумов.

При проверке предпосылки МНК о математическом ожидании остатков

полезно знать то, что несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания случайной величины является ее среднее значение, т.е. M (ε ) ≈ ε .

Согласно предпосылке МНК о равноизменчивости остатков требуется,

чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной, т.е. для всех наблюдений остатки имели одинаковую дисперсию. В противном случае имеет место гетероскедастичность остатков. Для оценивания гомоскедастичности остатков модели регрессии можно применить метод Гольдфельда – Квандта (разработан в 1965г), который включает следующие операции:

Упорядочить наблюдения по возрастанию фактора.

Исключить из рассмотрения C центральных наблюдений. При этом

желательно, чтобы выполнялось условие:	(n − C ): 2 > 6m , где n –
количество вариантов значений показателей,	m – количество параметров
при факторах.

Разделить (n − C ) наблюдений на две равные группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора) и получить по каждой группе модели регрессии того же вида.

Определить остаточные суммы квадратов для обеих моделей регрессии

ESS ,

ESS

2

, вычислить отношение R =

ESS1

. Если R =

ESS1

1

ESS2

ESS2

n − C

k

= k

=

− m −1 ,

то с уровнем значимости

«α »

2

1

2

предпосылка о гомоскедастичности остатков.

> Fα ;k1,k2

нарушена

Согласно предпосылке МНК требуется отсутствие автокорреляции остатков. Как правило, если автокорреляция имеется, то она сильнее между соседними остатками. Отсутствие корреляции между ними служит основанием к тому, чтобы считать, что автокорреляция остатков отсутствует в целом.

19

Наличие автокорреляции между соседними остатками может быть проверено с помощью критерия Дарбина – Уотсона ( d - критерия). Согласно критерию вычисляется d - статистика:

∑n (εi − εi−1)2

d = i=2

n

∑εi2

i=1

Она сравнивается с критическими значениями d L , dU . Критические значения d L , dU зависят от числа наблюдений, количества факторов и уровня

значимости вывода по критерию, приводятся в таблицах приложений учебников по эконометрике.

Возможные выводы:

если 0 ≤ d < dL , то есть положительная автокорреляция, гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков отклоняется с принятым уровнем значимости;

если dU < d < 4 − dU , то нет оснований для того, чтобы отклонить гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков с принятым уровнем значимости;

	если	dL ≤ d ≤ dU U 4 − dU ≤ d ≤ 4 − dL , то нельзя сделать	вывод по
	гипотезе об отсутствии автокорреляции остатков с принятым уровнем
	значимости;
	если	4 − dL < d ≤ 4 , то есть отрицательная автокорреляция,	гипотеза об

отсутствии автокорреляции остатков отклоняется с принятым уровнем значимости.

Недостатком d - критерия является наличие областей неопределенности вывода по критерию. Тем не менее, критерий Дарбина – Уотсона является наиболее часто используемым.

Согласно предпосылке МНК требуется наличие нормального закона распределения у остатков. Имеются различные статистические критерии, которые позволяют выполнить данный анализ. Одним из наиболее простых и доступных приемов служит проверка выполнения неравенств:

εi ≤ 2 ( i = 1, n).

SE

Если они выполняются, то с вероятностью не менее 0,95 не нарушена предпосылка о наличии нормального закона распределения остатков.

Если, хотя бы одна из предпосылок МНК нарушена, то анализ функции регрессии прекращается, модель отклоняется, как неудачная, и не используется для описания и прогнозов моделируемого показателя.

20