kozinova_a.t._praktikum_po_ekonometrike_fup

2.7. Задания для самостоятельной работы

Задание 2.7.1. Используя данные Федеральной службы государственной статистики РФ, предложить различные варианты линейных моделей регрессии для показателя – темпа изменения оборота розничной торговли России.

Таблица 2.7.1

Данные, представленные в процентах к предыдущему месяцу

	месяц	I RT	I RR	I NWP	I RWP	I PC	IPC F	IPC G	IPC S
		(y)	(x1)	(x2 )	(x3 )	(x4 )	(x5 )	(x6 )	(x7 )
	янв. 2008	75	50,5	78,8	77	102,3	101,9	100,6	105,4
	фев. 2008	101,1	125,4	104,1	102,9	101,2	101,7	100,6	101,4
	мар. 2008	107,4	100,2	105,4	104,2	101,2	102,0	100,7	100,6
	апр. 2008	101,1	110,2	102,4	101	101,4	102,2	100,9	101,0
	май. 2008	102,2	94,7	100,7	99,4	101,4	102,1	100,8	101,0
	июн. 2008	101,2	105	106,4	105,4	101,0	101,1	100,7	101,1
	июл. 2008	103,8	102,5	100,5	100	100,5	100,1	100,7	100,9
	авг. 2008	103,4	102,6	97,5	97,2	100,4	99,8	100,6	100,9
	сент. 2008	100,4	92,3	102,9	102,1	100,8	100,7	100,7	101,0
	окт. 2008	101,6	99,5	99,5	98,6	100,9	101,6	100,8	100,0
	нояб. 2008	96,6	102,2	99,7	98,9	100,8	101,3	100,5	100,7
	дек. 2008	116,7	129,4	123,1	122,3	100,7	101,0	100,1	101,0
	янв. 2009	74,6	53,6	79	77,2	102,4	101,4	100,7	106,3
	фев. 2009	95,7	134,5	100,1	98,5	101,7	101,9	101,6	101,4
	мар. 2009	105,8	103,1	105,8	104,4	101,3	101,7	101,4	100,6
	апр. 2009	99,2	108	99,3	98,6	100,7	100,7	101,0	100,3
	май. 2009	101,4	96,9	100	99,4	100,6	100,7	100,7	100,3
	июн. 2009	100,4	103,5	106,9	106,3	100,6	100,5	100,8	100,5
	июл. 2009	102,2	97,1	98,2	97,6	100,6	100,6	100,6	100,8
	авг. 2009	101,6	95,5	97,4	97,4	100,0	99,1	100,6	100,4
	сент. 2009	99,8	103,2	102,7	102,7	100,0	99,2	100,7	100,1
	окт. 2009	103,3	107,4	99,7	99,7	100,0	99,5	100,6	99,9
	нояб. 2009	99	96,5	102,2	101,9	100,3	100,3	100,4	100,1
	дек. 2009	120,3	139,6	124,8	124,3	100,4	100,6	100,2	100,5
	янв. 2010	77	55,4	78	76,7	101,6	101,4	100,2	103,9
	фев. 2010	96,5	122,3	101	100,1	100,9	101,3	100,3	101,0
	мар. 2010	107,9	102,9	108,2	107,5	100,6	101,0	100,4	100,4
	апр. 2010	100,4	109,2	99	98,7	100,3	100,3	100,3	100,2
	май. 2010	102,1	92,8	99,7	99,2	100,5	100,7	100,4	100,4
	июн. 2010	101	103,6	106,5	106,1	100,4	100,5	100,2	100,4

Данные описаны в примере 2.6.1. Оценить качество предлагаемых моделей. Выбрать лучшую модель, дать прогнозы темпа изменения оборота розничной торговли РФ на период апрель – июнь 2010г. и сравнить их с фактическими значениями. Расчеты по моделированию оборота розничной

торговли			РФ	выполнить			на	разных	промежутках	времени:
i =		; n = 27;		n0 =		.
	n0, n				1,10
							31

Задание 2.7.2. Используя данные Федеральной службы государственной статистики РФ, предложить различные варианты моделей регрессии для показателя – оборот розничной торговли России с фактором – номинальная заработная плата (в рублях).

Таблица 2.7.2 Данные, представленные в процентах

	квартал	RT	NWP
		(y) млрд. руб.	(x) руб.
	1 кв. 2003	1010,5	4800
	2 кв. 2003	1068,5	5296
	3 кв. 2003	1138,8	5549
	4 кв. 2003	1297	6401
	1 кв. 2004	1227,5	6173
	2 кв. 2004	1311,8	6650
	3 кв. 2004	1419,1	6930
	4 кв. 2004	1639,3	7582
	1 кв. 2005	1510,5	7638
	2 кв. 2005	1674,1	8234
	3 кв. 2005	1796,1	8674
	4 кв. 2005	2057,6	9651
	1 кв. 2006	1852,5	9397
	2 кв. 2006	2062,9	10401
	3 кв. 2006	2231,7	10949
	4 кв. 2006	2543	12203
	1 кв. 2007	2257,3	11876
	2 кв. 2007	2541,9	12993
	3 кв. 2007	2798,4	13494
	4 кв. 2007	3268,6	15742
	1 кв. 2008	2952,5	15424
	2 кв. 2008	3325,9	16962
	3 кв. 2008	3657,7	17556
	4 кв. 2008	3983,5	18966
	1 кв. 2009	3324	17441
	2 кв. 2009	3512,9	18419
	3 кв. 2009	3693,2	18673
	4 кв. 2009	4072,4	20670
	1 кв. 2010	3615,9	19485
	2 кв. 2010	3919,4	20734

Данные описаны в примере 2.6.2. Оценить качество предлагаемых моделей. Выбрать лучшую модель и дать прогнозы оборота розничной торговли РФ на первый – второй кварталы 2010 г. Сравнить прогнозы с фактическими значениями моделируемого показателя на этот период. Расчеты по моделированию оборота розничной торговли РФ выполнить на разных

промежутках времени: i = n0, n; n = 28; n0 = 2,11.

32

Задание 2.7.3. Используя данные Федеральной службы государственной статистики РФ, предложить различные варианты моделей регрессии для показателя – прирост номинальной заработной платы в России.

			Таблица 2.7.3
	Данные, представленные в процентах
квартал	NWP	NOW	(NOW )−1
1 кв. 2004	-3,6	9,2	1085,1
2 кв. 2004	7,7	7,8	1289,5
3 кв. 2004	4,2	7,4	1343,6
4 кв. 2004	9,4	8,2	1223,3
1 кв. 2005	0,7	8,2	1218,3
2 кв. 2005	7,9	7,5	1340,0
3 кв. 2005	5,3	7,2	1379,6
4 кв. 2005	11,3	7,5	1325,0
1 кв. 2006	-2,6	7,7	1291,2
2 кв. 2006	10,7	7,4	1347,3
3 кв. 2006	5,5	6,7	1494,0
4 кв. 2006	11,5	6,7	1486,0
1 кв. 2007	-2,7	7,0	1434,6
2 кв. 2007	9,3	6,0	1668,9
3 кв. 2007	3,9	5,7	1760,5
4 кв. 2007	16,7	5,9	1709,1
1 кв. 2008	-2,3	6,8	1468,6
2 кв. 2008	10	5,7	1760,5
3 кв. 2008	3,6	5,9	1697,8
4 кв. 2008	8	7,1	1403,7
1 кв. 2009	-8	9,1	1098,9
2 кв. 2009	5,6	8,6	1162,8
3 кв. 2009	1,4	7,8	1282,1
4 кв. 2009	10,7	8	1250,0
1 кв. 2010	-6,1	8,8	1136,4

Данные описаны в примере 2.6.3. Оценить качество предлагаемых моделей. Выбрать лучшую (при наличии «удачных») модель прироста номинальной заработной платы душу населения в России, с точки зрения статистических критериев, и дать прогнозы показателя на период с третьего квартала 2009г. по первый квартал 2010г. Сравнить прогнозы с фактическими значениями моделируемого показателя. Расчеты по моделированию прироста номинальной заработной платы на душу населения РФ выполнить на разных

промежутках времени: i = n0, n; n = 22; n0 = 1,10 .

33

Глава 3. Модели временных рядов

Последовательность значений количественного показателя, упорядоченных по времени (t ) называют временным рядом. Сами значения показателя y(t ) – называют уровнями временного ряда. Модели, построенные

на основе значений количественного показателя, представленных в виде

временного ряда, называют моделями временных рядов.

При моделировании показателя к его временному ряду предъявляются следующие требования:

уровни временного ряда должны быть сопоставимы, сформированы по одним методикам, иметь одинаковые единицы измерения и один шаг наблюдений (yt = y(t ); t = 1, n);

число уровней (n) должно быть достаточным для определения параметров модели (не менее шести на один параметр);

желательно отсутствие у временного ряда аномальных уровней;

число уровней не должно быть чрезмерным, поскольку информационная ценность наблюдений для анализа и прогнозов показателя убывает по мере удаления от текущего момента времени.

Вуровнях временного ряда (yt ; t = 1, n) обычно выделяются компоненты:

тренд T , показывающий тенденцию изменения показателя во времени;

сезонная компонента S , показывающая результат колебаний, которые завершаются в течение года;

циклическая компонента V , показывающая результат колебаний,

которые завершаются в течение нескольких лет. Различают два вида моделей временных рядов:

yt = Tt + St + Vt	– аддитивная модель;
ˆ	мультипликативная модель;
yt = Tt × St ×Vt –
ˆ

где Tt , St , Vt – уровни тренда, сезонной и циклической компонент.

Основные задачи эконометрического исследования показателя, представленного в виде временного ряда:

определение структуры временного ряда, а именно, наличия указанных выше компонент;

количественное представление компонент;

формирование модели временного ряда, анализ ее качества с помощью статистических критериев;

прогноз будущих значений количественного показателя, с помощью моделей временных рядов, удачных с точки зрения статистических критериев.

Следует отметить то, что аналитическое описание взаимосвязей нескольких количественных экономических показателей, представленных в виде временных рядов, желательно проводить с учетом результатов анализа их структуры.

34

3.1.Анализ структуры временного ряда

При наличии у временного ряда тренда, сезонной и циклической компонент, наблюдается корреляция между уровнями временного ряда – автокорреляция. Количественно автокорреляция устанавливается с помощью обычного линейного коэффициента корреляции между уровнями этого ряда с некоторым лагом ( k периодов времени). Величина лага определяет порядок коэффициента автокорреляции. Коэффициент автокорреляции k - того порядка определяется по формуле:

rk = ryt yt −k .

С увеличением лага число уровней временного ряда, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Целесообразно использовать для анализа структуры временного ряда коэффициенты

автокорреляции с порядками k ≤	n	.	Последовательность	коэффициентов
4
автокорреляции, расположенных по			возрастанию их порядка, называют

коррелограммой временного ряда.

Временной ряд включает линейный тренд, если выполняется условие:

r1 = max rk > 0,7 .

k

Если это условие нарушено, то либо временной ряд не содержит тенденции, либо включает нелинейную тенденцию, для определения которой проводят дополнительные исследования. Коэффициент автокорреляции первого порядка, характеризуя тесноту линейной связи уровней временного ряда, для временных рядов с нелинейной тенденцией может быть далек от нуля.

Для вывода по наличию сезонной компоненты у показателя необходимо иметь информацию за период не менее четырех лет, причем представленную поквартально, т.к. кварталы практически соответствуют сезонам года. Временной ряд включает сезонную компоненту, если выполняется условие:

r4 = max rk > 0,7 .

k

Для вывода по наличию циклической компоненты необходимо иметь информацию о показателе за очень большой период времени. Временной ряд включает циклические колебания (цикл – τ периодов времени), если выполняется условие:

rτ = max rk > 0,7 .

k

Необходимо помнить:

при анализе структуры временного ряда очень важен график показателя;

чтобы делать выводы о наличии нескольких компонент у временного ряда, полезен анализ коррелограмм показателя за вычетом уже установленных компонент;

нельзя судить о структуре временного ряда показателя по знакам коэффициентов автокорреляции.

35

3.2.Моделирование тренда временного ряда

При моделировании тренда временного ряда часто используется метод аналитического выравнивания. Для формализации зависимости изучаемого показателя от времени могут быть использованы следующие функции:

Tt

= a + b t

–

линейная,

T

= a + b t + b t2

+ ... + b

t m

–

полиномиальная,

t

1

2

m

T = a +

b

–

гиперболическая,

t

t

T

= a tb

–

степенная,

t

T = ea+b t

–

экспоненциальная,

где t =

t

k =

1, n

– моменты времени;

a,

b; bk ,

1, m

– параметры модели тренда.

Параметры тренда можно оценить с помощью метода наименьших квадратов. Для оценки параметров нелинейных функций тренда предварительно выполняют, если это возможно, процедуру линеаризации. Линеаризованные модели включают преобразованные показатели.

Линеаризованная полиномиальная модель:

T = a + b x

+ b

+ ... + b

, где x = tk

; k =

.

x

x

1, p

t

1 t1

2 t 2

m

tm

tk

Линеаризованная гиперболическая модель:

T = a + b x , где

x

=

1

.

t

t

t

t

Линеаризованная степенная модель:

ˆ

ˆ

A = ln a, ut

= ln t .

Zt

= A + b ut , где Zt = lnTt ,

Линеаризованная экспоненциальная модель:

ˆ

= a + b t , где

ˆ

= lnTt .

Zt

Zt

Выбирая модель тренда, обращают внимание на коэффициенты

детерминации (R2 ) функций тренда:

R2 = 1−

ESS

,

где

TSS

ESS = ∑n (yt − Tt )2 , TSS = ∑n (yt −

)2 .

y

t =1

t =1

Чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем больше оснований остановить свой выбор на данной функции тренда. Прежде чем использовать выбранную функцию тренда для анализа поведения количественного показателя экономики, следует оценить ее качество. Функцию тренда можно

рассматривать как функцию регрессии с одним фактором – время (t = 1, n).

36

Проверка значимости модели в целом, по параметрам и по предпосылкам МНК может быть выполнена точно также как и для функции регрессии.

Если модель тренда значима в целом и по параметрам, выполняются все предпосылки МНК, все выводы сделаны с приемлемым уровнем значимости (не более 5%), то модель тренда можно использовать для анализа и прогнозов показателя. Следует помнить то, что модель тренда непригодна для прогнозов показателя на промежутках времени, где у него возможны резкие колебания.

В любом случае полезно рассмотреть структуру временного ряда за вычетом количественно представленного тренда, наличие которого может помешать увидеть присутствие других компонент.

3.3.Моделирование сезонной компоненты временного ряда

Для моделирования сезонной компоненты необходимо иметь информацию о показателе за период не менее четырех лет, представленную поквартально. Предварительно необходимо убедиться в том, что:

r4 = max rk > 0,7 .

k

Для количественного представления сезонной компоненты можно использовать фиктивные показатели. Фиктивные показатели полезны в том случае, когда в модель нужно включить факторы, имеющие два или более качественных уровня. Если качественный фактор имеет два состояния, то им присваивают цифровые метки 1 и 0. Число состояний сезонного фактора (четыре) более двух, что требует использования при моделировании нескольких фиктивных показателей. Будем использовать фиктивные показатели,

табл. 3.3, Fk ,

(k =

), имеющие

представленные в

1,4

значения единица в

кварталах

с номером k и ноль в

остальных

кварталах. Модель

сезонной

компоненты принимает вид:

St = c1Ft1 + c2 Ft 2 + c3 Ft3 + c4 Ft 4 ,

где

(k =

)

Ftk ,

–

уровни фиктивных показателей;

1,4

ck ,

(k =

)

–

параметры модели, показывающие в среднем,

1,4

значение

показателя в квартале с номером k .

Таблица 3.3

Фиктивные показатели

квартал

Ft1

Ft 2

Ft3

Ft 4

1 квартал

1

0

0

0

2 квартал

0

1

0

0

3 квартал

0

0

1

0

4 квартал

0

0

0

1

37

Для количественного представления сезонной компоненты с помощью фиктивных показателей и МНК, реализованного в инструменте «Регрессия» надстройки «Анализ Данных» MS EXCEL, можно использовать модель вида:

yˆ t = St = a + b2 Ft 2 + b3 Ft3 + b4 Ft 4 .

Включение в модель не всех фиктивных переменных, позволяет избежать такого неприятного явления, как мультиколлинеарность факторов. Параметры предложенной модели связаны с параметрами ck , а именно:

c1 = a; ck = a + bk , k = 2,4 .

Если модель сезонной компоненты значима в целом и по параметрам, выполняются все предпосылки МНК, все выводы сделаны с приемлемым уровнем значимости (не более 5%), то модель можно использовать для анализа

ипрогнозов показателя.

Влюбом случае полезно рассмотреть структуру временного ряда за вычетом количественно представленной сезонной компоненты, наличие которой может помешать увидеть присутствие других компонент.

3.4.Примеры моделей временных рядов макроэкономических показателей Российской Федерации

Пример 3.4.1. Рассмотрим данные Федеральной службы государственной статистики Российской Федерации по индексам потребительских цен за 2009г., представленные в табл. 2.7.1, в процентах к предыдущему месяцу (t = 1, n; n = 12).

Определяя структуру временного ряда, мы не можем установить наличие циклической и сезонной компонент, т.к. информация представлена только за один год. Для анализа тенденции индексов цен используем их графики и возможности инструмента «Добавить линию тренда» мастера «Диаграмм»

MS EXCEL.

Рис. 3.4.1.1. Индекс потребительских цен в РФ

38

Таблица 3.4.1.1 Анализ качества моделей тренда для индекса потребительских цен в РФ

модель			Tt = 101,83 − 0,1713t	T = 102,85 − 0,6064t + 0,0335t2
				t
F - статистика			23,33	84,19
уровень				1,5*10-6
значимости			0,0007
F - статистики
максимальный
уровень
значимости			0,0007	9,4*10-5
t -статистик
параметров
модели
число локальных
экстремумов			3	8
остатков
M (ε ) ≈		≈
	ε		-1,2*10-14≈0				-2,1*10-14≈0
α = 0,05			m = 1;	m = 2;
n = 12			0 < d ≈ 0,62 < dL = 0,97;	dU = 1,58 < d ≈ 1,68 < 2;
наличие					εt		≤ 2 ( t =		)
распределения			–					1,12
					SE
Гаусса у остатков

Выбирая функцию тренда (рис.3.4.1.1) для индекса потребительских цен в РФ, убедимся в ее хорошем качестве (табл. 3.4.1.1). Так как полиномиальная модель тренда значима в целом и по параметрам, выполняются все предпосылки МНК с приемлемым уровнем значимости, то она может использоваться для анализа и прогнозов индекса потребительских цен в РФ.

Получим точечный и доверительный прогнозы (табл. 3.4.1.2) показателя на январь – февраль 2010г. и сравним их с фактическими данными на этот период. Отклонение от точечного прогноза определим по формуле:

y ≈ t0,95;9 SE ≈ 0,42 .

Таблица 3.4.1.2

				Прогноз индекса потребительских цен в РФ
					доверительный		фактические
					прогноз
	месяц	t	*	точечный прогноз			значения
					T * − y	T * + y	показателя
							(%)
					t	t
	январь 2010г	13		100,62	100,20	101,04	101,6
	февраль 2010г.	14		100,92	100,50	101,34	100,9

Следует отметить существенные недостатки предложенной модели тренда индекса потребительских цен:

39

она не отражает реальную тенденцию снижения индекса потребительских цен в России в феврале по сравнению с январем;

прогноз на январь не оправдался, сказалось то, что для показателя характерно резкое повышение в январе в течение многих лет.

Рис. 3.4.1.2. Индекс потребительских цен продовольственных товаров в РФ

Таблица 3.4.1.3 Анализ качества моделей тренда для индекса цен продовольственных товаров в РФ

	модель			Tt = 101,67 − 0,1776t	T = 102,7 − 0,6166t + 0,0338t2
					t
	F - статистика			10,06	9,16
	уровень
	значимости			0,00996	0,00676
	F -статистики
	число
	локальных			6	4
	экстремумов
	остатков
	максимальный
	уровень
	значимости			0,00996	0,06005
	t -статистик
	параметров
	M (ε ) ≈		≈
		ε		5,9*10-15≈0	0
	α = 0,05			m = 1;	m = 2;
	n = 12			dL = 0,97 < d ≈ 1,0 < dU = 1,33;	dL = 0,81 < d ≈ 1,42 < dU = 1,58;

Выбирая функцию тренда для индекса цен продовольственных товаров в РФ (рис.3.4.1.2) из двух вариантов, выполним анализ их качества (табл. 3.4.1.3). Обе модели тренда значимы в целом и по параметрам (с почти приемлемым уровнем значимости 6%), нарушена предпосылка МНК об отсутствии

40