kozinova_a.t._praktikum_po_ekonometrike_fup

2.5.Прогнозы количественного показателя экономики

Если модель регрессии значима в целом, предположение о незначимости отклоняется по всем параметрам функции регрессии, не нарушены предпосылки МНК, причем все выводы сформулированы с приемлемой надежностью, то модель может быть использована для анализа и прогнозов количественного показателя экономики. Условно «лучшей» моделью для анализа и прогнозов исследуемого показателя можно считать ту, для которой:

показатель детерминации (R2 ) – выше,

стандартная ошибка (SE ) – меньше,

доверительный интервал прогноза уже.

Различают точечный и доверительный (интервальный) прогнозы

моделируемого показателя (y). Точечный прогноз	(yˆ * = yˆ (X * )) получают путем
подстановки в функцию регрессии значений	факторов (X * ), и он имеет

нулевую вероятность. Интервальный прогноз показателя (y) с заданной доверительной вероятностью ( P = 1 − α ) имеет вид:

yˆ (X * )− y ≤ y(X * )≤ yˆ (X * )+ y ,

где
y ≈ t1−α ;n−m−1 SE –							максимальное отклонение от точечного прогноза,
		2
					ESS
SE =		SE =					– стандартная ошибка модели регрессии,
					n−m−1
n –	количество вариантов значений показателей,
m –	количество параметров функции регрессии при факторах.

2.6.Примеры регрессионного анализа макроэкономических показателей Российской Федерации

Пример 2.6.1. Рассмотрим различные варианты моделей для макроэкономического показателя – оборот розничной торговли России. Очевидно то, что на покупательную активность населения оказывают влияние доходы граждан и цены товаров и услуг. Будем использовать показатели Федеральной службы государственной статистики Российской Федерации:

I RT –	оборот розничной торговли (y),
I RR –	реальные денежные доходы на душу населения (x1),
I NWP – номинальная заработная плата на душу населения (x2 ),
I RWP –		реальная заработная плата на душу населения (x3 ),
I PC –	индекс потребительских цен товаров и услуг (x4 ),
IPC F –		индекс потребительских цен продуктов питания (x5 ),
IPC G –		индекс потребительских цен непродовольственных товаров (x6 ),
IPC S –		индекс потребительских цен платных услуг населению (x7 ).
		21

(x5 )

Данные представлены в табл. 2.7.1, в одинаковых единицах измерения, как темпы изменения, а именно, на конец месяца в процентах к предыдущему

месяцу, с января 2008 г. по июнь 2010 г.

Расчеты выполним c помощью надстройки «Анализ Данных» MS EXCEL. Вначале выполним корреляционный анализ макроэкономических показателей. Результаты расчетов приведены в табл. 2.6.1.1.

Таблица 2.6.1.1

Корреляционный анализ

коэффициенты	I RT	I RR	I NWP	I RWP	I PC	IPC F	IPC G
корреляции	(y)	(x1)	(x2 )	(x3 )	(x4 )	(x5 )	(x6 )
I RR (x1)	0,803
I NWP (x2 )	0,935	0,842
I RWP (x3 )	0,942	0,841	0,999
IPC (x4 )	-0,645	-0,462	-0,524	-0,563
IPC F (x5 )	-0,238	-0,091	-0,129	-0,172	0,819
IPC G (x6 )	-0,088	0,077	-0,126	-0,143	0,339	0,294
IPC S (x7 )	-0,813	-0,700	-0,702	-0,723	0,817	0,389	-0,019

Согласно приведенной таблице 2.6.1.1 коэффициентов линейной парной корреляции, можно сделать следующие выводы:

наблюдалась сильная прямая связь темпа изменения оборота розничной торговли с темпами изменения реальных располагаемых денежных доходов на душу населения, номинальной и реальной заработных плат;

имелась сильная обратная связь между темпами изменения оборота розничной торговли и цен платных услуг населению;

присутствовала умеренная обратная связь между темпами изменения оборота розничной торговли и потребительских цен товаров и услуг в целом;

имелась слабая связь между темпами изменения оборота розничной торговли и цен продовольственных и непродовольственных товаров;

обратная связь темпов изменения доходов и заработных плат россиян с темпами изменения цен платных услуг населению и потребительских цен товаров и услуг в целом была менее существенной, чем связь данных показателей с темпом изменения оборота розничной торговли.

Результаты корреляционного анализа говорят о возможности построения линейных моделей регрессии для темпа изменения оборота розничной торговли РФ. Согласно требованиям, факторы, включаемые в модель линейной регрессии, должны быть существенно связаны с моделируемым показателем. Следовательно, нельзя включать в модель темпы изменения цен продовольственных и непродовольственных товаров (x6 ). Можно

22

предложить к рассмотрению следующие варианты линейной функции регрессии с одним существенным фактором:

yˆ = a1 yˆ = a2 yˆ = a3 yˆ = a4 yˆ = a7

+b1 x1

+b2 x2

+b3 x3

+b4 x4

+b7 x7

Согласно требованиям, факторы, включаемые в модель линейной регрессии, не должны быть связаны функционально. Нельзя включать в модель одновременно показатели, связанные с точки зрения методики их расчета:

реальные располагаемые денежные доходы на душу населения (x1) и номинальную заработную плату (x2 ),

реальные располагаемые денежные доходы на душу населения (x1) и реальную заработную плату (x3 ),

номинальную заработную плату (x2 ) и реальную заработную плату (x3 ),

индекс потребительских цен товаров и услуг (x4 ) и индекс потребительских цен платных услуг населению (x7 ).

Согласно требованиям, факторы, включаемые в модель линейной регрессии, должны быть связаны друг с другом менее существенно, чем с моделируемым показателем. Можно предложить к рассмотрению следующие варианты линейной функции регрессии с двумя факторами:

yˆ = a14 yˆ = a24 yˆ = a34 yˆ = a17 yˆ = a27 yˆ = a37

+b1 x1 + b4 x4

+b2 x2 + b4 x4

+b3 x3 + b4 x4

+b1 x1 + b7 x7

+b2 x2 + b7 x7

+b3 x3 + b7 x7

Следует отметить то, что количество вариантов значений по всем показателям (n = 30) вполне достаточно, чтобы включить в модель два фактора.

Оценим параметры предложенных моделей регрессии, с помощью метода наименьших квадратов, реализованного в инструменте Регрессия Анализа Данных MS EXCEL. Модели принимают вид:

1.	yˆ = 60,86 + 0,39 x1	6.	yˆ = 629,17 + 0,31x1 − 5,56 x4
2.	yˆ = 6,70 + 0,92 x2	7.	yˆ = 361,45 + 0,81x2 − 3,41x4
3.	yˆ = 8,64 + 0,91x3	8.	yˆ = 288,15 + 0,81x3 − 2,68 x4
4.	yˆ = 1137,84 − 10,29 x4	9.	yˆ = 404,12 + 0,22 x1 − 3,23 x7

5. yˆ = 639,23 − 5,33 x7	10. yˆ = 233,47 + 0,71x2 − 2,03 x7
	11. yˆ = 212,16 + 0,71x3 − 1,82 x7
	23

При оценке качества моделей регрессии было установлено:

все модели значимы в целом согласно F - критерию с приемлемым уровнем значимости не более 5%;

предположение о незначимости отклоняется, согласно t - критерию, с уровнем значимости не более 5% по всем параметрам для девяти моделей из одиннадцати, за исключением функций регрессии (2) и (3);

остатки всех моделей регрессии случайны, поскольку их графики имеют большое количество локальных экстремумов;

математическое ожидание остатков всех моделей регрессии равно нулю, т.к. их среднее значение практически равно нулю (ε < 10−12 );

нет оснований отклонить предположение об отсутствии автокорреляции остатков, согласно d - критерию, для моделей (1), (4), (5), (7), (8);

нет оснований отклонить предположение о наличии нормального закона распределения у остатков для моделей (7) и (8).

Таблица 2.6.1.2

Анализ качества функций регрессии (7) и (8)

n = 30, m = 2

yˆ = 361,45 + 0,81x2 − 3,41x4

yˆ = 288,15 + 0,81x3 − 2,68 x4

F - статистика

132,51

130,40

уровень значимости

1,1*10-14≤0,05

1,3*10-14≤0,05

F - статистики

максимальный

уровень значимости

0,004≤0,05

0,03≤0,05

t - статистик

параметров модели

число локальных

экстремумов

23

23

остатков

M (ε ) ≈

≈

-1,1*10-13≈0

-7,5*10-14≈0

ε

d - статистика

2,22

2,20

α = 0,05

2

< d < 4 − dU

2 < d < 4 − dU

dU = 1,57

εi

≤ 2 ( i =

)

εi

≤ 2 ( i =

)

1,30

1,30

SE

SE

R2 = 1−

ESS

0,9527

0,9519

TSS

SE =

ESS

3,068

3,090

n − m −1

y ≈ t0,95;27 SE

6,29

6,34

24

В табл. 2.6.1.2 приведена характеристика двух «лучших» моделей. Обе модели близки по качеству. Немного лучше модель (7), включающая темпы изменения номинальной заработной платы и индекса цен товаров и услуг.

Для оценивания гомоскедастичности остатков данной функции регрессии используем критерий Гольдфельда – Квандта.

Все наблюдения факторов уже упорядочены по фактору – время.

Исключать из рассмотрения центральные наблюдения не будем, т.к. общее количество наблюдений невелико.

Разделим наблюдения на две равные группы, и, с помощью МНК, по каждой группе данных получим функцию регрессии с двумя факторами:

1)yˆ = 562,54 + 0,8178 x2 − 5,35 x4

2)yˆ = 493,50 + 0,75 x2 − 4,66 x4

Обе модели значимы в целом по критерию Фишера, предположение о незначимости параметров функций регрессии отклоняется с уровнем значимости α < 0,065 (немного выше 5%).

Определим остаточные суммы квадратов для обеих функций регрессии (ESS1, ESS2 ), и вычислим их отношение.

Поскольку

R = ESS1 = 0,9453 < F0,05;12,12 = 2,69 ,

ESS2

то с приемлемым уровнем значимости α = 0,05 не нарушена предпосылка о гомоскедастичности остатков.

Рис. 2.6.1. Фактические (I RT ) и теоретические значения (^ I RT ) темпа изменения оборота розничной торговли РФ

Итак, с точки зрения всех статистических критериев, «удачной» можно назвать модель (7) темпа изменения оборота розничной торговли с двумя

25

факторами – темпы изменения номинальной заработной платы и индекса цен товаров и услуг:

yˆ = 361,45 + 0,81x2 − 3,41x4

Согласно модели (7), с ростом номинальной заработной платы на душу населения на 1% оборот розничной торговли в среднем увеличивается на 0,81%, а с ростом индекса цен на 1% падает на 3,41%. На рис.2.6.1 приведены графики фактических значений оборота розничной торговли РФ и теоретических значений, полученных с помощью данной модели.

Используя модель (7), и значения факторов такие же, как в 2009г., годом ранее, с надежностью 95% получен и приведен в табл. 2.6.1.3 прогноз оборота розничной торговли РФ (в процентах к предыдущему месяцу) на период июль – август 2010г.

Таблица 2.6.1.3

Прогноз оборота розничной торговли РФ

	I NWP*	I PC*	^ I RT	*	(yˆ (X * )− y; yˆ (X * )+ y)
месяц	(x* )	(x* )	(yˆ * )
	2	4
июль 10	98,2	100,6	98,55		(98,55-6,29; 98,55+6,29)
авг. 10	97,4	100,0	99,94		(99,94-6,29; 99,94+6,29)

Пример 2.6.2. Рассмотрим различные варианты моделей для макроэкономического показателя – оборот розничной торговли Российской Федерации (в рублях), с фактором – номинальная заработная плата (в рублях). Для моделирования будем использовать показатели Федеральной службы государственной статистики РФ:

RT – (y) оборот розничной торговли (в млрд. руб.),

NWP – (x) номинальная заработная плата на душу населения (в руб.).

Данные по показателям за период с первого квартала 2003 г. по первый

квартал 2010 г. представлены в табл. 2.7.2.

При наличии существенной связи между показателями можно рассмотреть линейную функцию парной регрессии: yˆ = a + b x

С точки зрения экономической теории, интересен коэффициент эластичности оборота розничной торговли по фактору – номинальная заработная плата. И, следовательно, полезно рассмотреть нелинейную степенную функцию регрессии:

yˆ = a xb

Процедура линеаризации и использования МНК при оценке степенной функции регрессии состоит в следующем. Сначала логарифмируется функция регрессии:

ln yˆ = ln a + b ln x .

26

Затем определяются ln yi ,ln xi – значения преобразованных показателей ( i = 1, n). Согласно требованиям к фактору линеаризованной модели парной

регрессии должна иметься существенная связь преобразованных показателей (ln y, ln x). Параметры (ln a, b) линеаризованной функции регрессии

подбираются так, чтобы выполнялось условие:

S = ∑(ln yi − ln yˆ xi )2 = ∑(ln yi − ln a − b ln xi )2 → min

	i	i
Составляется система уравнений:
	'
S ln a = 0
	'	= 0
S
	b

После преобразований система принимает вид:

		ln a + b ln x = ln y
						2
							x = ln y ln x1
	ln a ln x + b ln

Решая систему уравнений, получаем параметры функции регрессии:

b =

ln y ln x

−

ln y

ln x

, ln a =

− b

.

ln y

ln x

2

ln2 x −

ln x

Расчеты выполним с помощью надстройки «Анализ Данных» MS EXCEL. Вначале выполним корреляционный анализ макроэкономических показателей. Согласно коэффициентам линейной парной корреляции, можно сделать следующие выводы:

между оборотом розничной торговли (y) и номинальной заработной платой (x), имеется сильная прямая связь, т.к. ryx = 0,9956 ;

существует сильная прямая связь и между преобразованными показателями (ln y, ln x), т.к. r ln y, ln x = 0,9970 .

Результаты корреляционного анализа говорят о возможности построения двух моделей регрессии, а именно, с линейной и степенной функциями регрессии. Оценим параметры функций регрессии, с помощью МНК:

1)yˆ = 54,349 + 0,196 x

2)ln yˆ = −1,376 + 0,976 ln x

Проверяя значимость моделей в целом и по параметрам можно установить:

обе модели значимы в целом согласно критерию Фишера с приемлемым уровнем значимости не более 5%;

предположение о незначимости отклоняется с уровнем значимости не более 5% по всем параметрам, согласно критерию Стьюдента, только для

второй модели.

Проверяя предпосылки МНК для модели (2), было установлено:

остатки (Ei = ln yi − ln yˆ i ) случайны, поскольку их график имеет большое количество локальных экстремумов (14);

27

математическое ожидание остатков равно нулю, т.к. их среднее значение практически равно нулю (E ≈ 6,6 *10−15 );

не нарушено предположение о гомоскедастичности остатков, т.к. согласно критерию Гольдфельда – Квандта, после исключения (C = 4)

центральных наблюдений, деления оставшихся на две равные группы, построения двух степенных функций регрессии, было получено

R =	ESS1	≈ 0,554 < F		≈ 2,98;
	ESS2	0,05;10,10
нет оснований отклонить			предпосылку		об отсутствии автокорреляции
остатков,		согласно	d -критерию,		т.к.	1,48 = dU < d = 1,99 ≤ 2

(n = 28; m = 1;α = 0,05; dL = 1,33; dU = 1,48);

не нарушено предположение о наличии нормального закона

распределения				у		остатков,	т.к.	выполняется	неравенство
	Ei S E		≤ 2, i =		;
				1,28
Функция степенной регрессии yˆ = 0,253 x0,976 с фактором –									номинальная

заработная плата, оказалась вполне пригодной для анализа оборота розничной торговли РФ. Согласно модели, с ростом номинальной заработной платы на 1% оборот розничной торговли в РФ в среднем увеличивается на 0,976%.

Рис. 2.6.2. Фактические (RT ) и теоретические значения (^ RT ) оборота розничной торговли РФ

На рис.2.6.2 приведены графики фактических значений оборота розничной торговли РФ и теоретических значений, полученных с помощью

модели (2). Используя модель yˆ = 0,253 x0,976 , и, предполагая увеличение

номинальной заработной платы в среднем на 10% за год, с надежностью 95% получен и приведен в табл. 2.6.2 прогноз оборота розничной торговли РФ на первый и второй кварталы 2010 г.

28

Таблица 2.6.2

Прогноз оборота розничной торговли РФ

* *

*

ˆ *

(eln y(X

)− ln y ; eln y(X

)+ ln y )

RT (y)

месяц

NWP (x

)

^ RT

(y

)

ˆ

*

ˆ

*

млрд. руб.

руб.

млрд. руб.

млрд. руб.

1 кв. 10

19485

3870,697

(3607,617; 4152,962)

3615,900

2 кв. 10

20734

4112,589

(3833,068; 4412,493)

3919,400

Следует отметить, прогноз оправдался, фактические значения попали в доверительный интервал.

Пример 2.6.3. Рассмотрим различные варианты моделей для макроэкономического показателя – прирост номинальной заработной платы в России. Классическим вариантом является внутренне линейная модель английского экономиста А.В. Филлипса (построенная в конце 50-х годов 20-го века на основе данных более чем за столетний период), характеризующая связь между нормой безработицы (x) и процентом прироста заработной платы (y):

= + 0.1842 yˆ 0.00679

x

Следует отметить то, что согласно требованиям к факторам, включаемым в модель, необходима существенная связь между процентом прироста заработной платы (y) и обратной величиной нормы безработицы (x).

Для моделирования будем использовать показатели Федеральной службы государственной статистики Российской Федерации:

NWP – прирост номинальной заработной платы на душу населения России (y),

N OW – норма безработицы, а именно, отношение числа безработных к количеству экономически активного населения России (x),

(NOW )−1 – обратная величина к норме безработицы (x−1).

Данные представлены в табл. 2.7.3, в одинаковых единицах измерения, а именно, на конец квартала в процентах к предыдущему кварталу, с первого

квартала 2004 г. по первый квартал 2010 г.

Процедура линеаризации и использования МНК при оценке гиперболической функции регрессии состоит в следующем. Рассматривается линейная модель парной регрессии:

yˆ = a + bt ,

где t = x−1, ti = xi−1 – значения преобразованного показателя ( i = 1, n). Для оценки параметров функции регрессии используется МНК:

S = ∑(y(ti ) − yˆ (ti ))2 → min

i

Составляется и решается система уравнений:

29

'

= 0

y x − y 1 x

S

a

b =

, a = y − b1 x

,

'

= 0

2

S

2

1 x

−1 x

b

Расчеты выполним с помощью надстройки «Анализ Данных» MS EXCEL. Вначале выполним корреляционный анализ макроэкономических показателей. Согласно коэффициентам линейной парной корреляции, можно сделать следующие выводы:

наблюдалась не сильная, но существенная обратная связь между приростом номинальной заработной платы на душу населения и нормой безработицы, т.к. ryx = −0,502 ;

имелась еще менее существенная прямая связь между приростом номинальной заработной платы на душу населения и обратной величиной к норме безработицы, ryx−1 = 0,462 .

Оценим параметры предложенных моделей регрессии, с помощью МНК:

1)yˆ = 27,05 − 3,03 x

2)yˆ = −15,05 + 0,014

x

Проверяя значимость моделей в целом и по параметрам с помощью статистических критериев, можно установить:

обе модели значимы в целом согласно критерию Фишера с приемлемым уровнем значимости не более 5%;

предположение о незначимости отклоняется с уровнем значимости не более 5% по всем параметрам, согласно критерию Стьюдента, только для модели (1).

Первая модель на данном этапе анализа качества оказалась лучше, что вполне согласуется с приведенными выше результатами корреляционного анализа по тесноте связи используемых макроэкономических показателей.

Проверяя предпосылки МНК для модели (1), можно установить:

остатки случайны, поскольку их график имеет максимально большое количество локальных экстремумов (23);

M (ε ) = 0 , т.к. ε < 10−12 ;

нет оснований отклонить предположение о наличии нормального закона распределения у остатков;

нарушена предпосылка об отсутствии автокорреляции остатков, согласно критерию Дарбина – Уотсона, имеется существенная автокорреляция соседних остатков, т.к.

2,71 = 4 − dL < d = 3,14 ≤ 4 (n = 25, m = 1,α = 0,05, dL = 1,29).

Итак, обе модели оказались непригодными для анализа прироста номинальной заработной платы на душу населения РФ. При построении моделей, вероятнее всего, оказались неучтенными существенные факторы.

30