- •Линейные пространства
- •Некоторые свойства произвольных линейных пространств.
- •Размерность и базис линейного пространства.
- •Действия над векторами в координатной форме.
- •Замена базиса
- •Евклидовы пространства.
- •Неравенство Коши-Буняковского
- •Норма вектора. Нормированное пространство
- •Ортонормированный базис конечномерного Евклидового пространства
- •Ортогональные матрицы и их свойства
- •Линейные операторы.
- •Действия над линейными операторами
- •Матрица линейного оператора.
- •Изменение матрицы линейного оператора
- •Собственные числа и собственные векторы
- •Линейные операторы в евклидовом пространстве
- •Рассмотрим некоторые примеры линейных операторов
- •Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду
Евклидовы пространства.
Из курса аналитической геометрии нам знакомо понятие скалярного произведения векторов. На прошлой лекции мы ввели понятие линейного пространства. Введем теперь в рассмотрение линейное пространство, для элементов которого каким либо способом определено правило, ставящее в соответствие двум элементам число, называемое скалярным произведением. Такие пространства называются евклидовыми линейными пространствами.
Определение евклидового пространства. Линейное пространство R называется евклидовым пространством, если выполнены два требования:
Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства x и y ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначается символом (x, y).
Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:
10 (x, y) = (y, x) – переместительное свойство (или симметрия).
20 (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y) (распределительное свойство).
30 ( x, y) = (x, y) (для любого вещественного ).
40 (x, x) > 0, если x 0 и (x, x) = 0, если x = 0.
Пример 1. Рассмотрим пространство V3 всех свободных векторов. Скалярное произведение определим, как это сделано было в аналитической геометрии. Все аксиомы 10 - 40 при введенном нами ранее определении скалярного произведения
будут выполняться. Стало быть, линейное пространство V3 со скалярным произведениям – евклидово пространство.
Пример 2. Рассмотрим бесконечно – мерное пространство C[a, b] всех функций a t b. Скалярное произведение определим как интеграл от этих функций в пределах от a до b:
Можно проверить справедливость аксиом 10 - 40. Т.е. это бесконечно - мерное евклидово пространство.
Пример 3. Рассмотрим линейное пространство An упорядоченных совокупностей n вещественных чисел - пространство координат элементов. Положим
x = ( x1 x2 x3 … xn )
y = ( y1 y2 y3 … yn )
тогда введением скалярного произведения в виде
(x, y) = x1y1 + x2y2 + …+ xn yn
можно получить, как не трудно убедиться, евклидово пространство. Определим несколько шире скалярное произведение.
Пример 4. Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:
(*)
С помощью этой матрицы составим однородный многочлен второго порядка относительно переменных x1, x2, …, xn
Такой многочлен называется квадратичной формой, порождаемой квадратной матрицей А (*). Квадратичная форма называется положительно определенной, если она принимает строго положительные значения для всех значений переменных, одновременно не равных нулю и равна нулю лишь при условии, что x1 = x2 = … = xn = 0. Потребуем, чтобы матрица А удовлетворяла двум условиям:
10 порождала положительно определенную квадратичную форму
20 была симметричной относительно числовой диагонали, т.е. aik = aki для всех i = 1, 2, …, n ; k = 1, 2, …, n. С помощью матрицы, удовлетворяющей двум этим условиям, определим скалярное произведение двух элементов пространства An
(**)
Посмотрим на аксиомы 20 и 30 . Они, очевидно, удовлетворяются при совершенной произвольной матрице A. Справедливость 10 вытекает из симметричности матрицы, а 40 – квадратичная форма матрицы А – положительно определенная. Т.о. пространство An со скалярным произведением, определяемым равенством (**) при условиях 10 и 20 , налагаемых на матрицу А, является евклидовым пространством. Если в качестве матрицы А взять единичную матрицу, то мы получим евклидово пространство, рассмотренное в примере 3, обозначаемое как Еn.