Ортогональные матрицы и их свойства

Рассмотрим теперь, какими свойствами обладает матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому в евклидовом пространстве. Вспомним перехода от одного базиса к другому: если , то. Матрицу А^Т мы называли матрицей перехода от одного базиса к другому. Столбцы этой матрицы представляют собой координаты векторов в базисе.

Введем сначала определение: матрица Т с вещественными коэффициентами называется ортогональной, если Т’ = T^-1 – транспонированная матрица равна обратной. Т.е. Т Т’ = T’ T = E. Отсюда следует det (T T’) = det T  det T’ = det E = 1 или det T = 1.

Обратная матрица T^-1 также ортогональна:

, или .

Запишем еще свойства ортогональной матрицы, вытекающие из того, что

, или:

или: сумма квадратов элементов какой – либо строки (или столбца) равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов разных строк (столбцов) равна 0.

Предположим, имеем два ортонормированных базиса в евклидовом пространстве: и. Если, то координаты некоторого вектора Х в старом базисе х и новом х’ связаны соотношением:, где А^T – матрица перехода.

Теорема: матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

Доказательство: положим имеем два вектора

Запишем матрицы – столбцы координат этих векторов:

Скалярное произведение этих двух векторов:

, или, в матричной записи:

(*)

Если матрица перехода от одного базиса к другомуестьS, то:

X = S X₁ ; Y = S Y₁

Подставим в (*):

Отсюда S^TS = E или S^T = S^-1. Т.е. матрица S – ортогональная.

К примеру, матрица, осуществляющая поворот осей координат в одной из предыдущих лекций – это матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Она является ортогональной.

detT = 1, T^-1 = T^` =

Линейные операторы.

Пусть L₁и L₂– линейные пространства, размерности которых соответственно n и m. Будем называть оператором, действующим из L₁в L₂отображение L₁L₂, если задан закон, по которому каждому векторуxL₁ставится в соответствие единственный векторyL₂. При этомуназывается образомх, ах– прообразомудля оператора. Обозначаем преобразованиеу=х. Операторпредставляет собой в некотором смысле обобщение известного из анализа определения функции на случай, когда областью задания функции является произвольное линейное пространство L₁, а область значений принадлежит пространству L₂.

Оператор будем называть линейным, если для любых элементовх₁, х₂пространства L₁и любого вещественного числавыполняются два условия:

1⁰(х₁+ х₂) =х₁+х₂(свойство аддитивности оператора).

2⁰(х) =х (свойство однородности оператора).

Если пространство образов L₂совпадает с пространством прообразов L₁, то линейный оператор в этом случае отображает пространство само в себя. Такой оператор называют такжелинейным преобразованиемпространства.

Действия над линейными операторами

Во множестве всех операторов, действующих из L₁в L₂можно определить операции суммы таких операторов и умножения на скаляр:

а) суммой двух операторов иназовем оператор (+), для которого (+) х =х +х;

б) произведением оператора на скалярназовем оператор, для которого () х =(х);

в) нулевым оператором 0 назовем оператор, который действует по правилу 0х = 0 для любогох;

г) для каждого оператора определим противоположный оператор -посредством соотношения -= (-1).

Тогда множество всех линейных операторов М(L₁, L₂) с указанными выше операциями и с выбранными нулевым и противоположным оператором образует, очевидно, линейное пространство.

Рассмотрим свойства множества операторов М(L,L), т.е. операторов, действующих из L в L (пространство само в себя).

Назовем единичным оператор , действующий по правилух = х.

Введем понятие произведения линейных операторов из множества М(L, L) ипо правилу: () х =(х ). Отметим, вообще говоря, что.

Введя эти два определения, можно определить обратный оператор для данного оператора : если==.

В этом случае оператор называется обратным операторуи обозначается^-1.

Из определения оператора ^-1следует, что для любогохV выполняется соотношение^-1х = х.

Будем говорить, что линейный оператор действует взаимно однозначно, из L в L, если любым двум различным х₁и х₂отвечают различныех₁их₂.

Отметим без доказательства, что для того, чтобы линейный оператор из М(L, L) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из L в L.

Введем понятие ядра и образа линейного оператора.

Ядром линейного оператора называется множество всех тех элементовх пространства L, для которыхх = 0.

Ядро обозначается символом ker . (привести пример – система линейных однородных уравнений).

Если ker = 0, то оператордействует взаимно однозначно из L в L. Действительно, в этом случае еслих = 0, то х = 0. Или у₁=х₁, у₂=х₂. Если у₁= у₂, то у₁– у₂= 0 =х₁-х₂=(х₁– х₂)х₁– х₂= 0.

Условие ker = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы операторимел обратный.

Образом линейного оператора назовем множество всех элементов у пространства L, представляемых в виде у =х.

Образ обозначается символом im (отличается от Im, используемого для обозначения мнимой части z).

Очевидно, что если ker = 0, то im= L и наоборот. Очевидно, что ядро и образ линейного оператораявляются линейными подпространствами пространства L. Поэтому можно говорить о размерности dim (ker) и dim (im).

Запишем без доказательства следующую теорему:

Пусть размерность пространства L равна n и пусть - линейный оператор из M(L, L). Тогда dim (ker) + dim (im) = n.