Линейные операторы в евклидовом пространстве

Пусть линейный оператор А действует в евклидовом пространстве E_n и преобразует это пространство само в себя.

Введем определение: оператор А^* назовем сопряженным оператору А, если для любых двух векторов x,y из Е_n выполняется равенство скалярный произведений вида:

(Ax,y) = (x,A^*y)

Еще определение: линейный оператор называется самосопряженным, если он равен своему сопряженному оператору, т. е. справедливо равенство:

(Ax,y) = (x,Ay)

или, в частности (Ax,x) = (x,Ax).

Самосопряженный оператор обладает некоторыми свойствами. Упомянем некоторые из них:

1. Собственные числа самосопряженного оператора - вещественны (без доказательства);

2. Собственные векторы самосопряженного оператора ортогональны. Действительно, если x₁ и x₂ – собственные векторы, а ₁ и ₂ – их собственные числа, то: Ax₁ = ₁x; Ax₂ = ₂x; (Ax₁,x₂) = (x₁,Ax₂), или ₁(x₁,x₂) = ₂(x₁,x₂). Поскольку ₁ и ₂ различны, то отсюда (x₁,x₂) = 0, что и требовалось доказать.

3. В евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора А. Т. е. матрицу самосопряженного оператора всегда можно привести к диагональному виду в некотором ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов самосопряженного оператора.

Еще одно определение: назовем самосопряженный оператор, действующий в евклидовом пространстве симметричным оператором. Рассмотрим матрицу симметричного оператора. Докажем утверждение: чтобы оператор был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы в ортонормированном базисе его матрица была бы симметричной.

Пусть А – симметричный оператор, т. е.:

(Ax,y) = (x,Ay)

Если А – матрица оператора А, а x и y – некоторые векторы, то запишем:

координаты x и y в некотором ортонормированном базисе

Тогда: (x,y) = X^TY = Y^TX и имеем (Ax,y) = (AX)^TY = X^TA^TY

(x,Ay) = X^T(AY) = X^TAY,

т.е. X^TA^TY = X^TAY. При произвольных матрицах-столбцах X,Y это равенство возможно только при А^Т = А, а это означает, что матрица А – симметричная.

Рассмотрим некоторые примеры линейных операторов

Оператор проектирования. Пусть требуется найти матрицу линейного оператора, осуществляющего проектирование трехмерного пространства на координатную ось е₁ в базисе е₁, е₂, е₃. Матрица линейного оператора – это матрица, в столбцах которой должны стоять образы базисных векторов е₁ = (1,0,0), е₂ = (0,1,0), е₃ = (0,0,1). Эти образы, очевидно, есть: Ае₁ = (1,0,0)

Ае₂ = (0,0,0)

Ае₃ = (0,0,0)

Следовательно, в базисе е₁, е₂, е₃ матрица искомого линейного оператора будет иметь вид:

Найдем ядро этого оператора. Согласно определению ядро – это множество векторов х, для которых АХ = 0. Или

Т. е. ядро оператора составляет множество векторов, лежащих в плоскости е₁, е₂. Размерность ядра равна n – rangA = 2.

Множество образов этого оператора – это, очевидно, множество векторов, коллинеарных е₁. Размерность пространства образов равна рангу линейного оператора и равна 1, что меньше размерности пространства прообразов. Т. е. оператор А – вырожденный. Матрица А тоже вырождена.

Еще пример: найти матрицу линейного оператора, осуществляющего в пространстве V₃ (базис i, j, k) линейное преобразование – симметрию относительно начала координат.

Имеем: Ai = -i

Aj = -j

Ak = -k

Т. е. искомая матрица

Рассмотрим линейное преобразование – симметрию относительно плоскости y = x.

Ai = j (0,1,0)

Aj = i (1,0,0)

Ak = k (0,0,1)

Матрица оператора будет:

Ai Aj Ak

Еще пример – уже знакомая матрица, связывающая координаты вектора при повороте осей координат. Назовем оператор, осуществляющий поворот осей координат, - оператор поворота. Допустим, осуществляется поворот на угол :

Ai ’ = cosi + sinj

Aj ’ = -sini + cosj

Матрица оператора поворота:

Ai ‘ Aj ‘

Вспомним формулы преобразования координат точки при смене базиса – замена координат на плоскости при смене базиса:

Эти формулы можно рассматривать двояко. Ранее мы рассматривали эти формулы так, что точка стоит на месте, поворачивается координатная система. Но можно рассматривать и так, что координатная система остается прежней, а перемещается точка из положения М^* в положение М. Координаты точки М и М* определены в той же координатной системе.

Все сказанное позволяет подойти к следующей задаче, которую приходится решать программистам, занимающимся графикой на ЭВМ. Пусть необходимо на экране ЭВМ осуществить поворот некоторой плоской фигуры (например треугольника) относительно точки О’ с координатами (a,b) на некоторый угол . Поворот координат описывается формулами:

Параллельный перенос обеспечивает соотношения:

Для того, чтобы решить такую задачу, обычно применяют искусственный прием: вводят так зазываемые “однородные” координаты точки на плоскости XOY: (x, y, 1). Тогда матрица, осуществляющая параллельный перенос, может быть записана:

Действительно:

А матрица поворота:

Рассматриваемая задача может быть решена в три шага:

1^й шаг: параллельный перенос на вектор А(-а, -b) для совмещения центра поворота с началом координат:

2^й шаг: поворот на угол :

3^й шаг: параллельный перенос на вектор А(а, b) для возвращения центра поворота в прежнее положение:

Искомое линейное преобразование в матричном виде будет выглядеть:

(**)

где

По формуле (**) можно пересчитать координаты любой точки плоской фигуры, а затем построить ее на экране, осуществив тем самым ее поворот.