Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

При рассмотрении евклидового пространства мы вводили определение квадратичной формы. С помощью некоторой матрицы

строится многочлен второго порядка вида

который называется квадратичной формой, порождаемой квадратной матрицей А.

Квадратичные формы тесно связаны с поверхностями второго порядка вn- мерном евклидовом пространстве. Общее уравнение таких поверхностей в нашем трехмерном евклидовом пространстве в декартовой системе координат имеет вид:

Верхняя строка - это не что иное, как квадратичная форма, если положить x₁=x,x₂=y,x₃=z:

- симметричная матрица (a_ij=a_ji)

положим для общности, что многочлен

есть линейная форма. Тогда общее уравнение поверхности есть сумма квадратичной формы, линейной формы и некоторой постоянной.

Основной задачей теории квадратичных форм является приведение квадратичной формы к максимально простому виду с помощью невырожденного линейного преобразования переменных или, другими словами, замены базиса.

Вспомним, что при изучении поверхностей второго порядка мы приходили к выводу о том, что путем поворота осей координат можно избавиться от слагаемых, содержащих произведение xy,xz,yzилиx_ix_j(ij). Далее, путем параллельного переноса осей координат можно избавиться от линейных слагаемых и в конечном итоге свести общее уравнение поверхности к виду:

В случае квадратичной формы приведение ее к виду

называется приведением квадратичной формы к каноническому виду.

Поворот осей координат есть не что иное, как замена одного базиса другим, или, другими словами, линейное преобразование.

Запишем квадратичную форму в матричном виде. Для этого представим ее следующим образом:

L(x,y,z) = x(a₁₁x+a₁₂y+a₁₃z)+

+y(a₁₂x+a₂₂y+a₂₃z)+

+z(a₁₃x+a₂₃y+a₃₃z)

Введем матрицу - столбец

Тогда - гдеX^T=(x,y,z)

- матричная форма записи квадратичной формы. Эта формула, очевидно, справедлива и в общем случае:

Канонический вид квадратичной формы означает, очевидно, что матрица Аимеет диагональный вид:

Рассмотрим некоторое линейное преобразование X=SY, гдеS- квадратная матрица порядкаn, а матрицы - столбцы Х и У есть:

Матрица Sназывается матрицей линейного преобразования. Отметим попутно, что всякой матрицеn-ного порядка при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор.

Линейное преобразование X=SYзаменяет переменныеx₁,x₂,x₃новыми переменнымиy₁,y₂,y₃. Тогда:

гдеB=S^TAS

Задача приведения к каноническому виду сводится к отысканию такой матрицы перехода S, чтобы матрица В приобрела диагональный вид:

(*)

Итак, квадратичная форма с матрицей Апосле линейного преобразования переменных переходит в квадратичную форму от новых переменных с матрицейВ.

Обратимся к линейным операторам. Каждой матрице А при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор А. Этот оператор имеет, очевидно, некоторую систему собственных чисел и собственных векторов. Причем, отметим, что в евклидовом пространстве система собственных векторов будет ортогональна. Мы доказывали на предыдущей лекции, что в базисе собственных векторов матрица линейного оператора имеет диагональный вид. Формула (*), как мы помним, это формула преобразования матрицы линейного оператора при смене базиса. Положим, что собственные вектора линейного оператораАс матрицей А - это вектора у₁,y₂, ...,y_n.

Т. е.

А это означает, что если собственные вектора у₁,y₂, ...,y_nвзять за базис, то матрица линейного оператора в этом базисе будет диагональной

или В = S^-1АS, гдеS– матрица перехода от первоначального базиса {e} к базису {y}. Причем в ортонормированном базисе матрицаSбудет ортогональной.

Т. о. для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора А, имеющего в первоначальном базисе матрицу А, которая порождает квадратичную форму, перейти к базису собственных векторов и в новой системе координат построить квадратичную форму.

Обратимся к конкретным примерам. Рассмотрим линии второго порядка.

или

С помощью поворота осей координат и последующего параллельного переноса осей это уравнение можно привести к виду ( переменные и коэффициенты переобозначены х₁ = х, х₂ = у):

1) если линия центральная,₁  0, ₂  0

2) если линия нецентральная, т. е. один из_i = 0.

Напомним виды линий второго порядка. Центральные линии:

1. эллипс;

2. гипербола;

3. точка;

4. две пересекающиеся прямые.

Нецентральные линии:

5) х² = а² две параллельные линии;

6) х² = 0 две сливающиеся прямые;

7) у² = 2рх парабола.

Для нас представляют интерес случаи 1), 2), 7).

Рассмотрим конкретный пример.

Привести к каноническому виду уравнение линии и построить ее:

5х²+ 4ху + 8у²- 32х - 56у + 80 = 0.

Матрица квадратичной формы есть . Характеристическое уравнение:

Его корни:

Найдем собственные векторы:

При ₁ = 4: u₁ = -2u₂; u₁ = 2c, u₂ = -c или g₁ = c₁(2i – j).

При ₂ = 9: 2u₁ = u₂; u₁ = c, u₂ = 2c или g₂ = c₂(i+2j).

Нормируем эти векторы:

Составим матрицу линейного преобразования или матрицу перехода к базису g₁,g₂:

- ортогональная матрица !

Формулы преобразования координат имеют вид:

или

Подставим в наше уравнение линии и получим:

Сделаем параллельный перенос осей координат. Для этого выделим полные квадраты по х₁и у₁:

Обозначим. Тогда уравнение приобретет вид: 4х₂²+ 9у₂²= 36 или

Это эллипс с полуосями 3 и 2. Определим угол поворота осей координат и их сдвиг для того, чтобы построить эллипс в старой системе.

Построим:

Проверка: при х = 0: 8у² - 56у + 80 = 0 у²– 7у + 10 = 0. Отсюда у_1,2= 5; 2

При у =0: 5х²– 32х + 80 = 0 Здесь нет корней, т. е. нет точек пересечения с осьюх!