3.1.3. Прямая линия на плоскости

1⁰. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.Введем понятие направляющего вектора прямой.

Определение.Направляющим вектором прямой называется любой (ненулевой) вектор, коллинеарный этой прямой.

Покажем, что в декартовой прямоугольной системе координат уравнение прямой L, проходящей через точкус направляющим векторомимеет вид

. (3.9)

Уравнение (3.9) называется каноническим уравнением прямой (на плоскости).

Получим уравнение (3.9). Пусть – текущая точка прямойL,– радиусы-векторы точекиMсоответственно (см.§2.2, п.7⁰).

Очевидно, условием принадлежности точки прямойLявляется коллинеарность векторов:║(рис.3.10 хх ). Запишем для них условие (2.30) (см.§2.2,п.8⁰) для плоского случая – придем к уравнению (3.9).

Замечание. Уравнение (3.9) можно также записать в виде

=0. (3.9’)

2⁰. Общее уравнение прямой. Сформулируем теорему.

Теорема. В прямоугольной декартовой системе координат любая прямая выражается уравнением первой степени

Ax+By+C=0. (3.10)

Обратно, любое уравнение первой степени (3.10) в прямоугольной декартовой системе координат является уравнением прямой.

Доказательство. 1) запишем уравнение (3.9) в виде. Полагая здесьm=A,–l=B,=C, сведем его к виду (3.10).

2) пусть коэффициенты A иB (оба) не равны нулю и пустьесть какое-либо решение уравнения (3.10), то есть. Вычитая это соотношение из (3.10), придем к уравнению, которое можно записать в виде (используя свойство пропорций)

. (3.10’)

Это уравнение (а, следовательно, и уравнение (3.10)) является каноническим уравнением прямой с направляющим вектором , проходящей через точку.

Если же один из коэффициентов равен нулю (пусть для определенности A=0; заметим, что оба коэффициента не могут обратиться в нуль одновременно, ибо (3.10) есть уравнение первой степени), уравнение принимает видBy+C=0, или, которому удовлетворяют точки– здесьx. Имеем прямую, параллельную оси.

Уравнение (3.10’) пишут и в этом случае (то есть и при A=0), но в таком случае считают, что числитель.

Замечание 1. Уравнение (3.10) называется общим уравнением прямой (на плоскости).

Замечание 2. Из доказательства п.2) теоремы следует, что в уравнении прямой (3.10) коэффициенты–B иAслужат проекциями направляющего вектора. Можно доказать, что необходимым и достаточным условием коллинеарности вектораи прямойявляется условие

. (3.11)

Из (3.11) следует, что вектор ортогонален к прямой (3.10). Он называется нормальным (к прямойL) вектором.

3⁰. Параметрические уравнения прямой. Покажем, что параметрические уравнения прямойL, проходящей через точкус направляющим вектором, в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид:

. (3.12)

Пусть – текущая точка прямойL. ТочкаMлежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор=t(см.§2.1,п.2⁰, формула (2.7)). Записав это равенство в координатной форме, придем к уравнениям (3.12).

Замечание. Так как=, то

. (3.12’)

Уравнение (3.12’) называется векторно-параметрическим уравнением прямой, проходящей через точку с направляющим вектором.

4⁰. Уравнения прямых – следствия из пп.1⁰ – 3⁰.Уравнение прямой, проходящей через две заданные точкии, записывается в одном из следующих видов:

; (3.13)=0; (3.13’)

; (3.13”) (3.13”’)

Замечаниек доказательству. Здесь за направляющий векторследует взять вектор; далее применить результаты предыдущих трех пунктов.

2) пусть прямая Lпересекает осьв точке, ось– в точке(a иb

называются «отрезками», отсекаемыми прямой на осях координат). Тогда по

(3.13”), раскрывая определитель, в этом случае получим

(3.14)

– уравнение прямой в отрезках.

3) получим уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Определение. Угловым коэффициентом прямой с направляющим векторомназывается отношение– угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси(от осидо направляющего вектора этой прямой).

Уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициентk, как следует из (3.9), запишется в виде

. (3.15)

Если прямая имеет угловой коэффициент kи пересекает осьв точке, то ее уравнение имеет вид:

. (3.16)

5⁰. Взаимное расположение двух прямых. Пусть прямые заданы уравнениями:

. (3.17)

Необходимым и достаточным условием того, что эти прямые

1) пересекаются, есть не пропорциональность коэффициентов

; (3.17’)

2) параллельны, является условие

; (3.17”)

3) совпадают, есть пропорциональность коэффициентов:

. (3.17”’)

Доказательство сводится к исследованию двух линейных уравнений с двумя неизвестными (см.п.1.1.7, 2⁰): система (3.17) может быть определенной, несовместной и неопределенной.

6⁰. Две задачи на прямую. 1) получим формулу для определениярасстояния d от точки до прямой.

Решение. Пусть– произвольная точка данной прямой. Так как вектор– нормальный вектор к прямойв декартовой прямоугольной системе координат, то (рис.3.11 хх )

. (3.18)

2) угол между двумя прямыми; условие перпендикулярности двух прямых.

Определим формулу для угла между прямыми (3.17) (под углом между двумя прямыми понимается один из углов между их направляющими векторами).

Нормальными векторами к прямым (3.17) являются и; по формуле (2.40) (см.п.2.3.1,3⁰)

(3.19)

Замечание. Рассматривая рис.3.12 хх , найдем, что; тогда

. (3.19’)

Из (3.19) следует условие перпендикулярности двух прямых:

(3.20)

(см. также (2.39) – условие перпендикулярности двух векторов).

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (1, 3) параллельно прямой.

Решение. Искомое уравнение можно взять в виде; так как эта прямая проходит через точку (1, 3), то 3+15+C=0, откудаC= –18.

Уравнение: есть уравнение параллельной прямой.

Замечание. Конечно, этот способ решения не единственный. Можно было бы исходить из уравнения прямой вида.

Пример 2. Определить угол между прямымии.

Решение. По формуле (3.19) имеем:и угол.

Пример 3. Основанием равнобедренного треугольника служит прямая, а одной из боковых сторон – прямая. Составить уравнение другой боковой стороны, зная, что она проходит через точку (4, 2).

Решение. Угловой коэффициент стороны основания. Угловой коэффициент данной боковой стороны. По формуле (3.19’) тангенс угла между основанием и заданной боковой стороной.

Тангенс угла между основанием и другой боковой стороной равен по абсолютной величине, но имеет противоположное значение:. По формуле (3.19’) имеем, откуда.

Уравнение искомой боковой стороны: или. Ограничимся этими примерами.