30. Частные случаи уравнений плоскости.

1) пусть в уравнении (3.32) коэффициент A=0. Тогда уравнение плоскости имеет видBy+Cz+D=0. Нормальный к плоскости вектор, то есть вектор│, откуда следует, что плоскость параллельна оси(рис.3.23, а хх ).

Аналогично, уравнению соответствует плоскость, параллельная оси(рис.3.23, б хх ). Уравнениеопределяет плоскость, параллельную оси(рис.3.23, в хх ).

2) при D=0 уравнение (3.32) имеет вид. Очевидно, точкаудовлетворяет этому уравнению – такая плоскость проходит через начало координат.

3) пусть в уравнении (3.32) коэффициенты A=D=0 и оно, следовательно, имеет вид:. По результатам пп.1 и 2 заключаем, что осьлежит в данной плоскости (рис.3.24 хх ).

Аналогично разбираются и другие случаи; опустим их.

4) если в уравнении (3.32) два коэффициента при неизвестных обращаются в нуль (например, A=B=0), уравнение принимает вид– имеем плоскость, параллельную координатной плоскости. В случае равенстваD=0, имеем саму эту координатную плоскость:z=0 – уравнение координатной плоскости.

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через осьи через точку.Решение. Из п.3) следует, что уравнение плоскости можно взять в виде. Полагая здесьB=1, подставляя координаты точкив это уравнение, придем к уравнению –2+C=0; отсюдаC=2 и искомое уравнение есть.

4⁰. Некоторые задачи на плоскость.

1) Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку компланарно двум неколлинеарным векторам. Пусть плоскостьпроходит через точкукомпланарно двум неколлинеарным векторами. Возьмем– некоторую текущую точку плоскости. Очевидно, в этом случае векторы,икомпланарны (рис.3.25 хх ).

Запишем условие их компланарности (см.2.3.3,п.2⁰,1)):

. (3.33)

2) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Пусть даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через такие точки обязательно проходит (и лишь одна) плоскость. Получим ее уравнение.

Вводим на плоскости текущую точку(рис.3.26 хх ). Считая точкуначальной точкой, построим натри вектораи. В случае, если точка, эти три вектора компланарны.

По формуле (3.33) запишем уравнение искомой плоскости:

. (3.34)

3) Уравнение плоскости в отрезках. Пусть плоскостьпересекает оси координат в точкахи, отличных от начала координат (рис.3.27 хх ).

По (3.34) запишем уравнение в виде:

.

Раскрывая определитель, придем к уравнению: bcx+acy+abz=abc. Разделив обе части этого уравнения наabc, получим окончательно

(3.35)

– уравнение плоскости в отрезках.

Замечание. Уравнение (3.35) удобно использовать при построении плоскости. Пусть, например, уравнение плоскости есть. Запишем это уравнение как уравнение плоскости в отрезках:, откуда имеем отрезки. Откладывая эти величины на (соответствующих) осях координат, соединяя прямыми полученные точки, построим искомую плоскость.

5⁰. Угловые соотношения между плоскостями. Рассмотрим две плоскости

и. Введем определение.

Определение. Под углом между плоскостямиипонимается один из двугранных углов между этими плоскостями (рис.3.28 хх ).

Угол между нормальными векторамиик плоскостями, очевидно, равен одному из указанных смежных двугранных углов. Таким образом (см.п.2.3.1,3⁰, формула (2.40))

. (3.36)

Из формулы (3.36) следует, в частности, условие

(3.37)

– условие перпендикулярности двух плоскостей и из условия коллинеарности нормальных к плоскостям ивекторовипропорциональность компонент

(3.38)

– условие параллельности плоскостей. Приведем примеры.

Пример 1.Через осьпровести плоскость, составляющую с плоскостьюугол.

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через ось, должно иметь вид:и нормальный вектор искомой плоскости. Для заданной в условии плоскости нормальный вектор; по формуле (3.36) имеем:

,

откуда ,и дляB находим два значения:и. Условию задачи удовлетворяют две плоскости:и.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точкии перпендикулярной плоскости.

Решение. Обозначим нормальный искомой плоскости вектор. Уравнение плоскости, проходящей через точку, должно иметь вид (формула (3.32”)):или.

Подставим сюда координаты точки , записывая условие (3.37) перпендикулярности двух плоскостей, получим для определения неизвестных коэффициентов два уравнения;с тремя неизвестными. Вычитая из второго уравнения первое, получим:. Положим здесьA=4; найдем тогда, что.

Искомое уравнение имеет вид: .

Пример 3. Через точкупровести плоскость, перпендикулярную плоскостями.

Решение. Плоскостииимеют, соответственно, нормальные векторы=и=. Нормальный искомой плоскости векторперпендикулярен иии в качестве вектораможно взять векторное произведение векторови(п.2.3.2, формула (2.44)):

==.

Отсюда . Подставляя в уравнение (3.32”) эти значения и координаты точки, получимили после преобразований– уравнение искомой плоскости.