3.2.3. Взаимное расположение прямых и прямой и плоскости в пространстве

1⁰. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Следующие утверждения выражают необходимые и достаточные условия соответствующего взаимного расположения двух прямых в пространстве, заданных своими каноническими уравнениями:

(3.48)

относительно декартовой прямоугольной системы координат. Введем определение.

Определение. Углом между прямыми называется угол между их направляющими векторами:.

В соответствии с определением имеем (рис.3.30 хх ):

. (3.49)

Рассмотрим различные случаи расположения двух прямых в пространстве.

1) прямые скрещиваются (не лежат в одной плоскости), если определитель

. (3.50)

В (3.50) записано условие некомпланарности векторов и направляющих векторови(и, следовательно, прямыеине лежат в одной плоскости (рис.3.31 хх )).

2) прямые пересекаются, если , но векторыинеколлинеарны (то есть если их координаты не пропорциональны).

Доказательство. Равенство определителяесть условие компланарности векторов,и– прямыеи, следовательно, лежат в одной плоскости. Так как∦, то прямые (в плоскости) пересекаются.

3) прямые параллельны, если направляющие векторы иколлинеарны:∥, но векторне коллинеарен с ними.

Доказательство. Так как∥, то прямыеипараллельны (не совпадают!), если векторне коллинеарен с ними (рис.3.32 хх )

4) прямые совпадают, если векторы,иколлинеарны (доказательство очевидно).

Замечание 1. Необходимость признаков доказывается методом от противного.

Замечание 2. Запишем условия перпендикулярности и параллельности прямых в координатной форме.

а) условие перпендикулярности прямых:

; (3.51)

б) условия параллельности прямых:

. (3.52)

Формулы (3.51) и (3.52) есть следствия формулы (3.49).

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти угол между прямой:и прямой, проходящей через начало координат и точку.

Решение. Найдем направляющие векторы прямыхии определим угол между ними (он по определению и есть угол между прямыми).

Направляющий вектор прямой есть вектор(см. пример в п.3.2.2.,6⁰). В качестве направляющего вектора прямойможно взять, например, вектор.

По формуле (3.49)

– угол – тупой.

Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно прямой.

Решение. Считаем направляющий векторискомой прямой равным направляющему вектору заданной прямой. Тогда=и канонические уравнения искомой прямой примут вид:.

2⁰. Взаимное расположение прямой и плоскости. Определим понятие угла между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется тот уголмежду прямой и ее проекцией на плоскость, который удовлетворяет условию(рис.3.33 хх ).

Таким образом, по определению,

=(3.54)

Тогда

. (3.55)

Знак выбирается так, чтобы .

Из формулы (2.30) (см.§2.2,п.8⁰) следует признак перпендикулярности прямой и плоскости (условие∥)

; (3.56)

Из формулы (3.55) следует условие параллельности прямой и плоскости (то есть условие )

. (3.57)

Получим необходимые и достаточные условия, характеризующие взаимное расположение прямой (уравнение ее возьмем в каноническом виде (3.41)) и плоскости(заданной уравнением общего вида (3.32)).

В декартовой прямоугольной системе координат

1) плоскость и прямаяпересекаются, если.

Доказательство. Запишем уравнениев параметрическом виде (3.44) и подставим координатыиz в (3.32):, или

. (3.58)

Если , уравнение (3.58) относительноtимеет единственное решение и, следовательно, прямая и плоскость имеют (лишь) одну общую точку, то есть пересекаются.

2) плоскость и прямая параллельны, если

Доказательство. Оно следует из того, что в этом случае уравнение (3.58) не имеет решений, то есть на прямой нет ни одной точки, лежащей на плоскости – прямая и плоскость параллельны.

3) прямая лежит на плоскости, если

Доказательство. Уравнение (3.58) принимает вид; оно удовлетворяетсяи, стало быть, все точки прямойлежат в плоскости– прямая и плоскость совпадают.

Замечание 1. Необходимость условий 1–3 доказывается методом от противного.

Замечание 2. Условие (3.57) является условием компланарности прямой и плоскости.

3⁰. Некоторые задачи на прямую и плоскость.

Пример 1. Найти проекцию точкина плоскость.

Решение. Проекцией точкиMна плоскость является основание перпендикуляра (точка), опущенного из точкиMна эту плоскость. Координаты точкиможно найти, решив систему, состоящую из уравнения прямойи уравнения заданной плоскости.

Так как прямая проходит через точку, а ее направляющим векторомможно считать нормальный векторданной плоскости, то уравненияесть канонические уравнения.

Запишем параметрические уравнения прямой :,,и подставим их в уравнение плоскости; получими,,,, то есть проекция точкиMна плоскость есть точка.

Пример 2. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точкина прямую:.

Решение. Искомая прямаяа) перпендикулярна данной прямой(с направляющим вектором) и, следовательно, ее направляющий векторперпендикулярен:; в таком случае имеем (формула (3.51)).

Перпендикуляр и данная прямая, очевидно, лежат в одной плоскости; таким образом, здесь выполняется условие 2) из п.1⁰–:

.

Запишем полученную систему из двух (линейных однородных алгебраических) уравнений с тремя неизвестными m, n, p:

общее решение которой можно представить в виде (см.п.1.1.7, 2⁰):m=9t,n= –8t,p= –11t. Взявt=1, найдем, что=. Пишем теперь уравнение перпендикуляра – канонические уравнения прямой:.

Пример 3. Найти уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

, перпендикулярно плоскости:и параллельной

прямой :.

Решение. Запишем уравнение искомой плоскостив виде (см.п.3.2.1., 2⁰, формула (3.32”)):, где– ее нормальный вектор.

Вектор перпендикулярен нормальному векторуплоскостии направляющему векторупрямойи можно положить, поэтому, что=и=.

Пишем уравнение искомой плоскости: ; окончательно получим уравнение:.

Этим закончим изложение параграфов аналитической геометрии.