3.2.2. Прямая в пространстве

1⁰. Линия в пространстве и ее уравнение. В аналитической геометрии любая линия в пространстве рассматривается как множество точек пересечения двух поверхностей. Отсюда, система уравнений

(3.39)

определяет (вообще говоря) некоторую линию в пространстве.

Таким образом, каждая линия задается системой (3.39) двух уравнений с тремя переменными, а каждая совместная система (3.39) определяет некоторую линию.

Здесь также (как и на плоскости) основными считаются две задачи: а) дана система уравнений вида (3.39), найти определяемую ими линию; б) дана линия, найти определяющую ее систему уравнений.

Пример. Система линейных уравненийопределяет прямую линию, проходящую через точкуи параллельную оси, ибо первое уравнение системы определяет плоскость, параллельную плоскости, а второе – плоскость, параллельную плоскости.

2⁰. Общее уравнение прямой. Из п.1⁰следует, что прямую в пространстве можно определить как общую часть двух плоскостей

(3.40)

Система (3.40) называется системой общих уравнений прямой. Конечно, предполагается, что нормальные к плоскостям ивекторыине коллинеарны (то есть).

Замечание 1. Одну и ту же прямую, очевидно, можно задать различными системами общих уравнений.

Замечание 2. Отдельно взятые коэффициенты каждого из уравнений системы (3.40) не связаны с положением прямой относительно системы координат, что ограничивает использование ее в конкретных задачах.

3⁰. Канонические уравнения прямой. Задать прямуюв пространстве можно точкой лежащей на ней точкой:и, так называемым, «направляющим вектором» ее().

Чтобы в этом случае составить уравнение прямой, возьмем текущую точку ее и построим вектор(рис.3.29 хх ). Очевидно, в таком случае, векторы║, а для любой точкиM, не лежащей на прямой, коллинеарность не имеет места.

Запишем условие коллинеарности векторов в координатной форме (см.§2.2,п.8⁰, формула (2.30)):

. (3.41)

Уравнения (3.41) называются каноническими уравнениями прямой.

Пример. Прямую, заданную общими уравнениями прямой (см. пример из п.1⁰) записать в каноническом виде.

Решение. Прямая параллельна оси; следовательно, в качестве направляющего вектораможно взять орт:==. Запишем канонические уравнения прямой (3.41):(см. также замечание к формуле (3.10’), п.3.1.3, 2⁰).

4⁰. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть прямаяпроходит через две заданные точкии. За направляющий векторэтой прямой возьмем вектор:==. Взяв за точку, лежащую на прямой, точку, запишем для прямойканонические уравнения (3.41):

. (3.42)

Следствие. Для того, чтобы три точкилежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы

. (3.43)

5⁰. Параметрические уравнения прямой. Пусть прямаязадана каноническими уравнениями (3.41). Тогда для любой точкидроби из (3.41) имеют определенное значение (свое для); обозначим эти отношения черезt. Тогда

,

откуда

(3.44)

– уравнения прямой в параметрической форме. В (3.44) параметрtменяется в пределах отдо.

Замечание. Умножая первое уравнение из (3.44) на орт, второе – наи третье – наи складывая результаты, придем к векторному уравнению прямой

. (3.45)

6⁰. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду.Решение этой задачи складывается из двух этапов.

1) найдем направляющий вектор прямой. Очевидно, вектор | и | (перпендикулярен каждому из направляющих векторовиплоскостейи, определяемых уравнениями (3.40).

Одним из таких векторов есть векторное произведение направляющих векторов и:

==. (3.46)

2) найдем точку . По крайней мере, одна из координат вектораотлична от нуля; пусть это координата. Полагая в уравнениях (3.40), придем к системе из двух уравнений с двумя неизвестными с главным определителем:

(3.47)

Система (3.47) имеет некоторое (единственное) решение и точкаи есть искомая точка. Рассмотрим пример.

Пример. Написать канонические уравнения прямой, заданной общими уравнениями.

Решение. Найдем по формуле (3.46) направляющий вектор прямой– вектора(здесь нормальные векторы имеют вид:,):

=.

Составим систему (2.40), полагая ; имеем систему,, решение которой,. По (3.41) пишем канонические уравнения прямой:.