Лабораторная работа № 1 измерение времени соударения упругих тел

В данной работе проводится измерение времени упругого соударения двух одинаковых стальных шаров с помощью секундомера.

Целью работы является сравнение экспериментально полученной зависимости времени соударения шаров от диаметра шара с теоретической.

1. Описание установки и эксперимента

Два металлических шара, радиусы и массы которых одинаковы, подвешены на проводящих нитях (см. рис. 1, вводное занятие). Один шар отводится в сторону (при этом поднимается на высоту ) до соприкосновения с электромагнитом. При отключении электромагнита с помощью тумблера «ПУСК» шар 1 падает и происходит соударение. При этом шары замыкают электрическую цепь. В процессе соударения (в течение времени контакта шаров) в цепи протекает импульсный ток. В электрическую цепь, состоящую из генератора периодических импульсов, соединительных проводов (на них и подвешены шары) и стальных шаров, включен также счетчик импульсов (выполняет роль секундомера). Время прохождения импульсного тока (фактически – количество прошедших за время контакта электрических импульсов в цепи) считается временем соударения (удара) шаров.

2. Зависимость времени соударения от размера шаров

Рассмотрим движение шаров в двух инерциальных системах отсчёта (ИСО): в лабораторной системе отсчёта (ЛСО) и в системе центра инерции (СЦИ).

В лабораторной системе отсчета (ЛСО) шар , начиная двигаться с высоты, к моменту соударения приобретает скорость, которую обозначим. При этом импульс шара в ЛСО равен. Заметим, что шар 1 всегда начинает двигаться с одинаковой высоты, равной разности уровней электромагнита и покоящегося шара. Поэтому скорость налетающего шара в момент соударения не изменяется от соударения к соударению:. Шардо соударения находится в покое. Из законов сохранения импульса и механической энергии для центрального упругого удара одинаковых шаров следует, что после соударения шаростановится, а шарполучит импульс. Изменение импульса шара 2 за время соударения.

Из второго закона Ньютона для времени соударения имеем

, (1)

где – среднее (за время соударения) значение модуля упругой силы, с которой первый шар действует на второй. Обозначим это среднее значение буквой, а время соударения шаров – буквой, тогда

.

В нерелятивистском случае иодинаковы во всех ИСО. Следовательно, итоже одинаковы во всех ИСО. При решении конкретной задачи выбирают такую ИСО, в которой решение наименее громоздко. Для определениямы рассмотрим соударение шаров в системе центра инерции (СЦИ), называемой также системой центра масс. Радиус-вектор центра инерции системы двух материальных точек определяется по формуле, где– массы и радиусы-векторы точек соответственно. Отсюда для скорости движения центра инерции относительно ЛСО имеем:; при,,получаем.

Определим скорости шаров до и после удара в СЦИ. Из теоремы сложения скоростей Галилея следует, что скорость относительного движения тела (относительно движущейся системы отсчёта) равна разности абсолютной скорости движения этого тела(относительно неподвижной системы отсчёта) и скорости переносного движения (скорости движущейся системы отсчёта относительно неподвижной):

.

В нашем случае абсолютной скоростью является скорость шара в ЛСО, относительной – в СЦИ, а переносной – скорость СЦИ в ЛСО .

Для первого шара до удара скорость в СЦИ есть , а для второго шара.

Обозначим импульсы первого и второго шаров в СЦИ до удара и, а после соударения –и. Закон сохранения импульса в СЦИ имеет вид:

. (2)

Следовательно, ;.

Если соударение упругое, то кинетические энергии шаров до и после соударения равны (закон сохранения энергии): , или. В этом случае,.

Шары взаимодействуют друг с другом с упругими силами, равными по величине и противоположными по направлению (третий закон Ньютона). Процесс упругого соударения шаров в СЦИ можно представить в виде следующих двух этапов:

1. на первом этапе оба шара одновременно тормозятся и упруго деформируются, пока кинетическая энергия шаров полностью не превратится в энергию упругой деформации;

2. на втором этапе величина упругой деформации уменьшается до нуля, энергия упругой деформации превращается в кинетическую энергию шаров.

Закон сохранения механической энергии для первого этапа соударения шаров имеет вид:

, т. е. , (3)

где – максимальная величина продольной деформации, одинаковая для каждого из шаров. Отсюда средняя величина упругой силы

. (4)

Подставляя в (1) это выражение (напомним, что мы ввели обозначение ), получаем, что время соударения шаров

. (5)

Из (5) следует, что пропорционально.

Для определения зависимости от радиусанеобходимо найти зависимостьот. Для этого рассмотрим сначала грубую физическую модель, в которой шар диаметромзаменен телом кубической формы с ребром(рис. 1).

Считаем, что при упругом соударении двух стальных кубов, когда при соударении соприкасающиеся грани идеально совпадают, упругая сила пропорциональна величине деформации (закон Гука): , где– коэффициент жёсткости. В иной форме закон Гука можно записать:

, (6)

где – модуль Юнга;– площадь поперечного сечения деформируемого тела. Из (6) следует, что

. (7)

Закон сохранения механической энергии для первого этапа соударения можно записать так:

.

Подставим из (7), тогда:, отсюдаи. Так как, где– плотность тела, а– его объём (для куба), получаем:

. (8)

Подставляя найденное выражение для в формулу (5), для времени соударения кубических тел получаем

. (9)

Закон Гука в виде (6) справедлив лишь для равномерно сжатого вдоль одного из рёбер прямоугольного параллелепипеда (или цилиндра). Для шара картина принципиально другая. В этом случае зависимость от величины продольной деформации является нелинейной:

, (10)

где .

Из (10) следует, что растет быстрее, чем величина деформации; это случай так называемой системы с жесткой характеристикой.

В этом случае закон сохранения механической энергии для первого этапа соударения шаров можно записать так:

.

Учитывая, что для шара , дляполучаем

. (11)

Подставляя найденное выражение для в формулу (5), для времени соударения шаров получаем:

. (12)

Следовательно, для стальных шаров в рамках модели системы с жёсткой характеристикой, так же как и для тел кубической и цилиндрической формы, максимальная величина продольной деформации пропорциональна размерам тел – радиусу. То есть обе модели приводят к линейной зависимости времени соударения стальных шаров от их диаметра:

, (13)

где – коэффициент пропорциональности, который в случае модели двух цилиндров (кубов) равен, а в случае системы с жёсткой характеристикой.

Именно эту теоретически полученную зависимость (13) отнеобходимо подтвердить (или опровергнуть) экспериментально, измеряя время соударения шаров микросекундометром. При этом следует ответить на вопрос: какая из двух рассмотренных выше моделей более адекватно описывает соударение реальных шаров. Значения диаметров шаров приведены в паспорте установки.