Высшая_математика_Том1

	y
y
1	x = 2
O	x
−2	x
	y = −1
Рис. 3.29	Рис. 3.30

y

3). Имеем

x

y2

2y

1

x

y

2

+

−

2

+

=

− −(

−

1)

= 0. Отсюда (y −1)

= x. Это — пара-

1

бола с вершиной в точке (0, 1), имеющая

параметр p = 1/2. Строим чертеж.

1

x

3.5.8. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы

В подробных курсах аналитической геометрии (например, [1, с. 170– 171]) доказываются полезные и важные в приложениях оптические свойства кривых второго порядка:

1)лучи света, выходящие из одного фокуса эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус;

2)лучи света, выходящие из одного фокуса гиперболы, после зеркального отражения от гиперболы кажутся выходящими из другого фокуса;

3)лучи света, выходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от параболы параллельны.

161

Глава 4.

Комплексные числа

Если ограничиваться только действительными числами, то многие задачи не имеют решения. Например, не существует корня четной степени из отрицательного числа. Если у квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 дискриминант D = b2 −4ac < 0, то это уравнение не имеет действительных корней. Простейшее из таких уравненией x2 + 1 = 0. В математике, если доказано, что какая-либо задача не имеет решения, стараются так расширить основные понятия, чтобы задачу можно было решить. В нашем примере получим такое расширение, если примем, что уравнение x2 + 1 = 0 имеет

корень — «мнимую» единицу i: i2 + 1 = 0. Очевидно, что тогда i2 = −1 или

i = √

1

. И теперь все квадратные уравнения будут иметь корни независимо

−

2

− 2x

+ 10 = 0 имеет два

от знака дискриминанта. Например, уравнение x

корня

√

√

√

x

=

2 ± −36

=

2 ± 36 −1

= 1

±

3i.

1,2

2

2

Это обстоятельство приводит к необходимости введения новых чисел, частным случаем которых являются действительные числа. Причем для этих новых чисел должны выполняться все основные действия и законы, которым подчиняются действительные числа.

Комплексные числа появились в XVI в. и многими, если не большинством, были восприняты как нечто нереальное. В частности это отразилось в самом названии нового числа i — мнимая единица,

Тогда же была обнаружена неожиданная вещь: действительные числа могут «прятаться» за мнимыми. Для корней кубического уравнения x3 +

162

px = q были получены формулы (формулы Кардано)

u			3	2					u			3	2
t									t
		p		+ q			+ q				p		+ q q .
x = v									v
3									3
us		27		4				2	− us		27			4	−		2

Если применить эту формулу к уравнению x3 − x = 0, очевидно, имеюще- sr

му действительные корни x1 = 0, x2,3 = ±1, то получим x =				3	−	1	−
						27
s
	r

3−271 . Формально это ноль, но выражение справа не имеет смысла на

множестве действительных чисел.

В наше время комплексные числа используются всюду, где применяются математические методы. Так, например, в электротехнике полное сопротивление цепи представляется в виде R = Ra + iRp, где Ra — активная составляющая и Rp — реактивная.

§ 4.1. Понятие комплексного числа

Комплексными числами называются числа вида z = x + iy, где x и y — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица. Числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются x = Re z (от real — действительный) и y = Im z (от imaginary — мнимый).

Если y = Im z = 0, то комплексное число z = x + i ·0 = x — действительное число. Таким образом множество R всех действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел: R C. Если x = Re z = 0, то число z = 0 + iy = iy называется чисто мнимым. Естественно обозначить 0 + 0i = 0.

Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 считаются равными (z1 = z2 ) тогда и только тогда, когда x1 = x2 и y1 = y2 . Множество C всех комплексных чисел не упорядочено, то есть запись z1 < z2 или x1 + iy1 < x2 + iy2 не имеет смысла.

Пусть на плоскости задана система координат Oxy. Каждому комплексному числу z = x + iy можно поставить во взаимно однозначное соответствие точку P(x, y). При этом действительные числа изображаются точками оси Ox и эта ось называется действительной осью. Чисто мнимые числа iy изображаются точками оси ординат и эта ось называется мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью или плоскостью z. Термины «комплексное число» и «комплексная точка» будем применять как синонимы.

163

Между точками плоскости и радиусвекторами (то есть векторами с началом в точке (0, 0)) имеется взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексное число z = x + iy можно также изобразить радиус-вектором OP = {x, y} (рис. 4.1). Длина этого вектора называется модулем комплексного числа z и обозначается |z|. Очевидно, что r = |z| — это расстояние точки z от начала координат.

y

y	P(x, y)

Oϕ

x x

Рис. 4.1 Комплексные числа, имеющие один и тот же модуль, равный r, образуют

окружность радиуса r с центром в начале координат.

Угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором точки z называется аргументом комплексного числа z и обозначается ϕ = Arg z. Для точки z = 0 аргумент не определен. Очевидно, модуль и аргумент комплексного числа z = x + iy — это полярные коорди-

наты точки (x, y). Если модуль комплексного числа z = x + iy однозначно p

определяется формулой r = |z| = x2 + y2 , то его аргумент ϕ удовлетворяет

равенству tg ϕ = y и может быть определён с точностью до слагаемого 2nπ, x

n = 0, ±1, ±2, . . . Условие равенства двух комплексных чисел можно сформулировать так: их модули должны быть равны, а аргументы могут отличаться на слагаемое, кратное 2π. Из множества значений Arg z выделим одно, лежащее в промежутке (−π, π]. Это значение будем обозначать arg z и называть

главным значением аргумента: −π < arg z 6 π. Очевидно, Arg z = arg z + 2nπ, n = 0, ±1, ±2, . . .

Так как x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, то получаем тригонометрическую форму

комплексного числа z = x + iy:

z = x + iy = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Комплексное число x −iy называется сопряженным с комплексным числом z = x + iy и обозначается z. Например, −2 + 3i = −2 − 3i. Очевидно, точки z и z симметричны относительно действительной оси и при этом

|z| = |z|, arg z = −arg z.

164

§4.2. Операции над комплексными числами

На множестве комплексных чисел определим операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня.

Суммой z1 + z2 двух комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 называется комплексное число z = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ).

Очевидно, так определенная операция сложения обладает свойствами:

1)коммутативности: z1 + z2 = z2 + z1 и

2)ассоциативности: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).

Для любого комплексного числа z = x + iy существует единственное комплексное число (т. е. число −x − iy), дающее в сумме с z нуль. Тем самым определена операция вычитания z1 − z2 = z1 + (−z2). Очевидно, z1 −z2 = (x1 −x2 ) + i(y1 −y2 ).

y				Используя геометрическую интер-
				претацию комплексных чисел как векто-
		z1 + z2
				ров на плоскости, получаем, что вектор
	z1
z1 −z2				z1 + z2 является диагональю параллело-
				грамма, построенного на векторах z1 и z2 .
				Вектор z1 −z2 равен разности векторов z1
				и z2 и направлен из точки z2 в точку z1
		z2		(рис. 4.2).
			x	Отсюда следует, что модуль разности
O
				чисел |z1 − z2 | равен расстоянию между
Рис. 4.2
				точками z1 и z2 .

Пользуясь этим, легко написать уравнение окружности радиуса R с цен-

тром в точке a: для точек z этой окружности (и только для них) расстояние до центра a постоянно и равно R. Искомое уравнение |z −a| = R. Например, |z − i| = 1 — уравнение единичной окружности с центром в точке a = i. Аналогично, неравенству |z − a| < R удовлетворяют те и только те точки комплексной плоскости, которые лежат внутри круга радиуса R с центром в точке a, а неравенствам r < |z − a| < R, где r < R, удовлетворяют точки, лежащие в кольце между двумя концентрическими окружностями радиусов r и R с общим центром a и только они.

Отметим, что для модулей комплексных чисел справедливы неравенства

|z1 + z2| 6 |z1 |+ |z2|,

		|z1 −z2|.
|z1	|−|z2| 6

Справедливость этих неравенств можно уяснить из рис. 4.2, если учесть, что в любом треугольнике сумма двух любых его сторон больше третьей стороны и любая сторона больше разности двух других сторон.

165

Умножение комплексных чисел определим равенством
z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2) = (x1 x2 −y1 y2 ) + i(x1y2 + x2 y1 ).	(4.2.1)

Непосредственным вычислением по этой формуле нетрудно убедиться

втом, что операция умножения обладает свойствами:

1)коммутативности z1 z2 = z2z1 ,

2)ассоциативности (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ),

а операции сложения и умножения совместно обладают свойством дис-

трибутивности: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1z3 .

Если в формуле (4.2.1) положить x1 = x2 = 0, y1 = y2 = 1, то получим равенство i ·i = i2 = −1. Умножая обе части равенства i2 = −1 на i, получаем i3 = −i; аналогично i4 = 1. Легко понять, что i4k+m = im Очевидно, для любого комплексного числа z справедливо равенство 1 ·z = z.

Отметим еще одну важную формулу, получающуюся из формулы (4.2.1) zz = x2 + y2 = |z|2 . Таким образом произведение сопряженных комплексных чисел является числом действительным.

Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению: частным от деления комплексного числа z1 на число z2 6= 0 называется такое комплексное число z3 , для которого z3 z2 = z1 . Очевидно, если

z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 , то

x1 x2 + y1 y2

x2 y1 −x1 y2

z3

=

z1

=

z1

z2

=

+ i

.

z2 z2 z2

x2

+ y2

x2

+ y2

2

2

2

2

При сложении и вычитании комплексных чисел целесообразнее использовать алгебраическую форму этих чисел z = x + iy. При умножении, делении и возведении в степень комплексных чисел рациональнее использовать тригонометрическую форму. Пусть

z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ).

Тогда

z1 z2 = r1 r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 −sin ϕ1 sin ϕ2 )+

+ ir1 r2 (cos ϕ1 sin ϕ2 + sin ϕ1 cos ϕ2 ) =

= r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )). (4.2.2) Отсюда следует, что при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются: |z1 z2 | = |z1 ||z2 |. Это равенство, очевидно, справедливо и для произвольного количества сомножителей |z1 z2 . . . zn| = |z1 ||z2|. . . |zn|. В

частности (если все сомножители одинаковы), |zn| = |z|n, n = 1, 2, . . .

Аргумент произведения двух комплексных чисел равен (с точностью до 2kπ) сумме их аргументов: Arg(z1 z2 ) = Arg z1 + Arg z2 . Это равенство, очевидно, справедливо и для произвольного количества сомножителей и, в частности, Arg zn = n Arg z.

Геометрически это означает, что при умножении числа z1 на z2 радиусвектор точки z1 растягивается в |z2 | раз и поворачивается на угол Arg z2 .

166

ПРИМЕР 4.2.1. Найти вершины правильного шестиугольника, вписанного в окружность |z| = 2, если одна вершина находится в точке z1 = 1.

РЕШЕНИЕ. Так как в правильном шестиугольнике угол между радиус-

векторами двух соседних вершин равен

2π

=

π

, то k-я вершина рав-

на zk = |z1 | cos

6

3

(k −31)π

+ i sin

(k −31)π

. Подставляя последовательно k =

2, 3, 4, 5, 6, получим искомые вершины

π

π

cos

= 1 + i√3,

z2 = 2

+ i sin

3

3

2π

2π

z3 = 2

cos

+ i sin

= −1 + i√3,

3

3

z4 = 2

cos

3π

+ i sin

3π

= −1,

3

3

cos

4π

4π

z5 = 2

+ i sin

= −1 −i√3,

3

3

cos

5π

5π

z6 = 2

+ i sin

= 1 −i√3.

3

3

Для операции деления можно провести аналогичные рас-

суждения,

но проще

поступить

так:

используя

тождество z1

=

z1

z1

z1

z

z

z

= z2

z2 ,

получаем

|z1 |

= z2

|z2 |

и

Arg z1 = Arg

z2

+ Arg z2

и,

значит,

1

1

1

= Arg z1 −Arg z2 .

|

|

Arg z2

z2

= |z2

|,

Итак,

1

1

r

z

=

(cos(ϕ1 −ϕ2 ) + i sin(ϕ1 −ϕ2 )) .

(4.2.3)

z2

r2

Обозначим выражение cos ϕ + i sin ϕ символом eiϕ

eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ,

(4.2.4)

не придавая пока этой записи никакого другого значения, кроме как обозначение. Ниже покажем, что символ eiϕ обладает основными свойствами показательной функции. Но у eiϕ появляется новое свойство — он имеет период 2π. Используя этот символ, комплексное число можно представить в форме

z = |z|ei Arg z = reiϕ

(4.2.5)

и будем называть её тригонометрической формой комплексного числа.

167

Используя операции умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме, будем иметь

z1 z2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) = r1 r2 ei(ϕ1 +ϕ2 ),

z1

r1

r1

=

(cos(ϕ1 −ϕ2 ) + i sin(ϕ1 −ϕ2 )) =

ei(ϕ1

−ϕ2 ).

z2

r2

r2

Обобщая на несколько сомножителей, получаем

z1 z2 . . . zn = r1 r2 . . . rnei(ϕ1 +ϕ2 +...+ϕn ).

Полагая здесь z1 = z2 = . . . = zn = eiϕ, будем иметь

zn = reiϕ

n = rneinϕ.

(4.2.6)

Это показывает, что введенные

символы e

iϕ1

и e

iϕ2

перемножаются, де-

лятся и возводятся в целую степень по правилам показательной функции y = ex.

Записывая комплексные числа в правой и левой частях равенства (4.2.6)

в тригонометрической форме, получаем формулу Муавра
(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ.	(4.2.7)

Определим корень натуральной степени n из комплексного числа z как такое число w, которое при возведении в степень n дает число z, то есть wn = z. Записывая эти числа в показательной форме z = reiϕ, w = ρeiψ, получим

ρneinψ = reiϕ = rei(ϕ0 +2kπ),

где ϕ0 = arg z — главное значение аргумента. Сравнивая модули и аргументы

левой и правой частей, получим

√n

ϕ

ϕ0 + 2kπ

ρ =

r,

ψ

=

=

, k = 0, ±1, . . .

n

n

Таким образом,

w = √n

= n

i arg z + 2kπ

(4.2.8)

n

|z|e

,

k = 0, ±1, . . .

z

Эта формула

показывает, что модули всех значений корня одинаковы,

p

а их аргументы отличаются на слагаемое, кратное 2π . Отсюда следует, что n

корень n-й степени из любого числа z 6= 0 имеет n различных значений

и что эти значения располагаются в вершинах правильного n-угольника,

√

вписанного в окружность радиуса ρ = n r с центром в начале координат. Эти значения можно получить из формулы (4.2.8), полагая k = 0, 1, 2, . . . , n −1.

При z = 0 все значения корня равны между собой и равны нулю.

√

ПРИМЕР 4.2.2. Вычислить 3 i.

168

РЕШЕНИЕ. Для числа z = i имеем |z| = 1, arg z = π2 , следовательно, по формуле (4.2.8)

		π		+ 2kπ
	wk = √3 i = ei		2
				3 .

Полагая здесь последовательно k = 1, 2, 3, получим

π√

= ei

= cos

π

+ i sin

π

3

+ i

1

,

w1

6

=

6

2

2

6

5π

5π

5π

√

1

i

3

6

w2

= e

= cos

+ i sin

= −

+ i

,

6

6

2

2

i

9π

9π

9π

3π

3π

6

w3

= e

= cos

+ i sin

= cos

+ i sin

= −i.

6

6

2

2

При извлечении корня из комплексного числа понятие «арифметического корня» не вводится и все n значений равноправны. Поэтому при преобразованиях алгебраических выражений содержащих кор-

ни нужно следить, какие значения корня имеются в виду. Например,

формула √

√

= √

верна только при определенном выборе зна-

z1

z2

z1 z2

чения корня

√

, если только значения для корней

√

и

√

уже

z1 z2

z1

z2

выбраны. Иначе возможны «противоречия» типа −1 = i

2

=

√

√

−1 −1 =

= p(−1)(−1) = √1 = 1.

§4.3. Показательная, тригонометрические и гиперболические функции комплексного переменного.

Полное и систематическое определение функций комплексного переменного возможно только после изучения математического анализа. Но некоторые разделы математического анализа используют эти функции (например, ряды и интеграл Фурье).

Понятие функции комплексного переменного вводится так же, как и понятие функции действительного переменного. Говорят, что на множестве E комплексной плоскости задана функция комплексного переменного, если задано правило по которому каждой точке множества E ставится в соответствие одно или несколько комплексных чисел. Это соответствие обозначается, как и для функций действительного переменного,в виде w = f (z). Переменную z называют независимым переменным, или аргументом, а w — зависимой переменной, или функцией.

169

Если каждому значению z E соответствует только одно значение w, то функция w = f (z) называется однозначной, а если несколько значений — то

многозначной. Например, функции w = z2 , w = |z|— однозначные, а функции

√

w = n z, w = Arg z — многозначные.

Так как каждое комплексное число определяется парой действительных чисел, то задание комплексной функции w = f (z) = u + iv комплексного аргумента z = x + iy эквивалентно заданию двух действительных функций u и v двух действительных аргументов x и y:

w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y).

Функция u(x, y) называется действительной, а функция v(x, y) — мнимой частью функции w = f (z).

Так как множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел, то, естественно, определяемая функция комплексного аргумента (например, w = ez) должна совпадать с аналогичной функцией действительного аргумента.

В теории функций комплексного переменного доказывается теорема единственности, по которой для широкого класса функций из совпадения двух функций на оси Ox следует их тождественное равенство на всей комплексной плоскости.

Показательная функция

Определим функцию комплексного переменного w = ez, задав её дей-

ствительную и мнимую части формулами
u(x, y) = ex cos y, v(x, y) = ex sin y.
И, таким образом,
ez = exeiy = ex (cos y + i sin y).	(4.3.1)

На действительной оси y = 0 эта функция совпадает с действительной функцией ex . Можно было бы определить функцию w = ez равенством

ez = lim			z		n
		1 +			, которая также совпадает с ex на действительной оси
			n
	n→∞
и, по	теореме единственности, будет совпадать с функцией, определенной

формулой (4.3.1).

Символ eiy обладает свойствами показательной функции, поэтому очевидны следующие свойства функции ez:

1) ez1 ez2 = ex1 eiy1 ex2 eiy2 = ex1 +x2 ei(y1 +y2 ) = ez1 +z2 ,

2)	ez1	ex1 eiy1		= ex1 −x2 ei(y1 −y2 ) = ez1	−z2 ,
		=
	ez2		ex2 eiy2
3) (ez)n = (ex)n(eiy)n = enxeiny = enz.

Функция ez является периодической с чисто мнимым периодом T = 2πi; действительно, для любого целого k имеем

ez+2kπi = eze2kπi = ez(cos 2kπ + i sin 2kπ) = ez.

170