Высшая_математика_Том1

				1			1
228.		1				. 229.				x
	f (x) = x arctg		x2	+	x −1		f (x) =	x	arctg	x + 1	.

230–239. Для заданных функций f (x), g(x) и h(x) найти первую и вторую производные. Вычислить значения этих производных в заданных точках x0 .

Для функции f (x) найти уравнение касательной и нормали в точке x0 .

230. f (x) = ln tg

x

+

π

,

x0 = 0;

x

2

4

g(x) = e−

1/

,

x0 = 1;

h(x) = arccos

1 −x

,

x

= 0.

√2

0

√

x0 = 0;

2

),

231. f (x) = arctg(x +

1 + x

1

1

1

x0 = e−1 ;

g(x) =

ln

−

,

x

x

x

h(x) = 2sin 2x,

x0 = 0.

√

x

2

232. f (x) = x

4 −x

+

4 arcsin

,

x0 = 0;

2

cos 2x

π

;

g(x) =

,

x0 =

2 sin2 x

2

h(x) = e−2x2 ,

x0 = 0.

233. f (x) = arctg

1 + x

,

x0 = 0;

1 −x

π

g(x) = tg2 x + ln cos2 x,

x0 =

;

4

h(x) = x−2 − 2−x,

x0

= 1.

234. f (x) = ln tg

x

,

x0

=

π

;

2

2

g(x) =

√

x

,

x0 = 0;

4

x2

x

−

h(x) = ee

,

x0 = 0.

235. f (x) =

sin2 x

cos2 x

x0 = π;

+

,

1 + ctg x

1 + tg x

g(x) = arctg e−x,

x0 = 0;

h(x) = ln r

ex

,

x0 = 0.

ex + 1

236. f (x) =

x

(cos ln x + sin ln x),

x0 = 1;

2

g(x) = 1

arctg

x2

−1

,

x

= 1;

√2

x√2

0

271

h(x) = ex2 +2x,

x0 = 0.

π

237. f (x) =

1 + cos 8x

,

x0 =

;

tg 2x −ctg 2x

8

g(x) = log2 (x2 + 1),

x0 = 0;

h(x) = e−√

, x0 = 0.

x

238. f (x) =

sin x

,

x0

= 0;

1 + cos x

√

√

1

2

g(x) = √

arctg

,

x0 =

2;

x

2

h(x) = ln

1 −e2x

,

x0

=

1

ln

1

;

2

e2x

2

π

239. f (x) = ln(1 + cos x),

x0

=

;

2

g(x) = arctg

1 + x

,

x0 = 0;

x

1 −x

h(x) = 23 ,

x0 = 0.

dy

d2 y

240–249. Найти первую

и вторую

производные функций, задан-

dx

dx2

ных параметрически.

240.	x =	(t −1)2 (t −2),
	y = (t −1)2(t −3).
	x =	2 + 3t	t3 ,
242.	y = t−+ 2t2 +−t3 .
	x = cos t + ln tg			t	,
244.	( y = sin t.		2
246.	x = (t3 −2t2 + 4t −4)et ,
	y = (t3 −2t2 + 3t −4)et .

248.x = t cos t, y = t sin t.

	( x = ln sin	t	,
241.
		2

(y = ln sin t.

x = 2cos2 t ,

243.y = 2sin2 t .

245.x = ln(1 + sin t), y = ln(1 −cos 2t).

	x = ln tg t,
247.	( y = ln tg	t	.
		2

x = t2 + 6t + 5,

249.y = t3 −54 .

t

250–259. Используя формулы Тейлора для основных элементарных функций, найти первые пять отличных от нуля членов разложения функции f (x) по степеням (x −x0 ).

272

250. f (x) =		x2			251. f (x) = (x + 1)e−x/2 ,
			, x0 = 0.					x0 = −1.
	2x + 3
252. f (x) = ln(2x + 1), x0 = 1/2.					253. f (x) = x cos2 2x, x0 = 0.
254. f (x) = 32+x, x0 = 1.					255. f (x) = sin πx, x0 = 1.
256. f (x) = √				, x0 = 1.	257. f (x) = xe−x2 /2 ,
		x + 3					x0 = 0.
258. f (x) = sin x ·cos x, x0 = 0.					259. f (x) = ch x =	ex + e−x
									, x0 = 0.
							2

260-269. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на задан-

ных отрезках.

260.

=

+ p

−

.

√3

2−

2x)2 ,

y

1

3 (x2

x

[

1; 2]

261. y =

2x −3

x [−1; 1].

x ,

262. y =

p

x [−2; 2].

1 − 3

(x2 −x −2)2,

263. y = −

3

x [−2; 4].

x (x −2),

2

264.

=

3

+3

p

,

[−

].

(

2+

)

y

2xp

3 3

x

2

2

x

3; 6

265. y =

x [0; 4].

(x

−6x

+ 9x),

266.

=

p

[−

].

(33

+

2) ,

y

3

x

1

2

x

1; 1

xp

267. y =

x [−1; 3].

1 −3 2x (x −3),

268. y =

1 +

p+ 1

) , x [−1; 2].

(1 −x

3p

2

2

3

x

269. y = r(

)2 ,

x [−2; 0].

x −4

270.Найти уравнение прямой, проходящей через точку M(2, 3) и отсекающей от первого координатного угла треугольник наименьшей площади.

271.Из круглого бревна радиуса R вытесывается балка с прямоугольным сечением. Считая, что прочность балки пропорциональна ah2 , где a —

основание, h — высота прямоугольника, найти отношение a , при котором

h

балка будет иметь наибольшую прочность.

272.Найти высоту и диаметр основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса R.

273.Вычислить наибольшую площадь трапеции, вписанной в полукруг радиуса r так, что нижнее основание трапеции совпадает с диаметром полукруга.

273

274.Для уменьшения трения воды о стенки канала, площадь, смачиваемая жидкостью должна быть наименьшей. Найти лучшую форму открытого прямоугольного канала с заданной площадью S поперечного сечения.

275.На гиперболе x2 −2y2 = 2 найти точку, ближайшую к точке A(3, 0).

276.Открытый бак с квадратным основанием должен вмещать V литров. При каких размерах на изготовление бака потребуется наименьшее количество материала?

277.Зритель находится напротив картины, расположенной вертикально. Нижний край картины расположен выше уровня глаз зрителя на a, верхний край на b. На каком расстоянии от картины должен стоять зритель, чтобы угол под которым он видит картину, оказался наибольшим?

278.Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Определить радиус полукруга, при котором окно будет пропускать максимальное количество света, если задан периметр окна.

279.Из трех досок одинаковой ширины нужно сколотить желоб. При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

280–289. Построить графики функций, проведя полное исследование (найти область определения, точки разрыва, интервалы монотонности, точки экстремума, направление выпуклости, точки перегиба, асимптоты).

280.a) y = (x −1)2 (x + 2); b) y = x −ln(x + 1).

x3

282. a) y = x2 −1 ;

b) y = x2 ln x − x2 .

2 4

284.a) y = x(x −1)3 ; b) y = x arctg x.

x3

286. a) y = 3 −x2 ; b) y = x ln2 x.

x2

288. a) y = 2(x + 1)2 ; b) y = lnxx .

x3

281. a) y = x −1 ;

b) y = x −2 arctg x.

283. a) y = (x −1)3 ;

(x −2)2

b)y = ln x −x + 1.

285.a) y = x + 7 − 3 ; x x2

b)y = x2 −2 ln x.

x3

287. a) y = x −1 ;

1

b) y = arctg x .

1

289. a) y = x −1 + x −1 ; b) y = ln x −arctg x.

274

Литература

[1]Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1974. 320с.

[2]Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее применения. М.: Наука, 1971. 407с.

[3]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М: Наука, 1971. 232с.

[4]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1978. 296с.

[5]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Наука, 1971. Ч. 1. 600с.

[6]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. М.: Высшая школа, 1973. Т.1. 616с.

[7]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. М.: Высшая школа, 1973. Т.2. 472с.

[8]Лаптев Г.Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1976. 336с.

[9]Мышкис А.Д. Математика. Специальные курсы. М.: Наука, 1971. 632с.

[10]Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука, 1973. Т.1. 432с.

[11]Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Наука, 1973. Т.2. 392с.

[12]Очан Ю.С. Методы математической физики. М.: Высшая школа, 1965. 384с.

275

[13]Федорюк М.В.Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 352с.

[14]Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и инегрального исчисления. М.: Наука, 1966. Т.I. 607с.

[15]Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и инегрального исчисления. М.: Наука, 1966. T.II. 800с.

[16]Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и инегрального исчисления. М.: Наука, 1966. T.III. 656с.

[17]Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965. 424с.

276