Высшая_математика_Том1

Соответствующей однородной системой будем называть систему
Ax = 0	(1.6.14)

стой же матрицей A.

Вдополнение к свойствам однородных систем, рассмотренным в предыдущем пункте, определим во взаимосвязи свойства систем (1.6.13)–(1.6.14).

Свойство 1.6.3. Если z — какое-нибудь решение неоднородной системы (1.6.13), а x — любое решение соответствующей однородной системы (1.6.14), то y = z + x — решение неоднородной системы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу сформулированных условий, выполняются следующие равенства:

Az = b, Ax = 0.

Складывая эти равенства, получим

Az + Ax = b A(z + x) = b,

откуда и следует, что y = z + x есть решение неоднородной системы (1.6.13). Совершенно аналогично можно доказать следующее

Свойство 1.6.4. Если y и z — какие-нибудь два решения неоднородной системы (1.6.13), то их разность x = y −z является решением однородной системы (1.6.14).

Следствие 1.6.4. Всякое решение y неоднородной системы (1.6.13) представимо в виде суммы некоторого (частного) решения z неоднородной системы и какого-то решения x соответствующей однородной системы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть y произвольное решение неоднородной системы (1.6.13), а z — некоторое частное решение той же системы. Тогда, по свойству 1.6.4, их разность x = y −z есть некоторое решение соответствующей однородной системы (1.6.14), откуда y = z + x.

Теорема 1.6.3. Пусть z — какое-нибудь частное решение неоднородной системы (1.6.13), а e1 , e2 , . . . , en−r — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы (1.6.14). Тогда все множество решений неоднородной системы может быть представлено в виде

	=		+ c1		1 + c2		2 + . . . + cn−r		n−r ,	(1.6.15)
y		z		e		e		e

где c1 , c2 , . . . , cn−r — произвольные действительные постоянные.

81

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно следствию 1.6.4 произвольное решение системы (1.6.13) представимо в виде y = z + x, где x — решение однородной системы. Но любое решение однородной системы по теореме 1.6.2 может быть представлено в виде линейной комбинации решений фундаментальной системы

x = c1 e1 + c2 e2 + . . . + cn−r en−r

при некоторых значениях постоянных c1 , c2 , . . . , cn−r . Подставляя это выражение для x в предыдущее равенство, получим (1.6.15).

Как и для однородной системы, выражение (1.6.15) называется общим решением неоднородной системы линейных уравнений.

ПРИМЕР 1.6.2. Найти общее решение неоднородной системы линейных уравнений и выразить его через фундаментальную систему решений соот-

ветствующей однородной системы:
	+ 7x2 + 3x3 + x4 = 6;
2x1
3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4;
9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2.
РЕШЕНИЕ. Как и в случае	однородной системы, используем метод Гаусса,

но элементарные преобразования (только со строками!) будем проводить с расширенной матрицей системы. Как и прежде, приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду

				2	7	3	1			6		1			2	1	1		2
A = (A		) =		3	5	2	2			4		2			−7	−3	1		−6
	b
|				9	4	1	7			2		9			4	1	7		2
	1		−2 −1			1			−2				| 1 −2 −1					1			−2	.
	0		11		5	−1			10					0	11		5	| −1			10
	0		22		10	−2			20
														0	0		0	0			0

Видим, что число ненулевых строк ступенчатых матриц, как основной, так и расширенной, равно 2. Следовательно, Rg A = Rg A = 2, и по теореме Кронекера–Капелли система совместна. Так как число неизвестных системы n = 4, то по теореме 1.6.2 система имеет фундаментальную систему из n −r = 2 решений. В качестве базисного минора обеих матриц удобно выбрать минор треугольного вида, расположенный на пересечении первых двух (ненулевых) строк и первого и четвертого столбцов (элементы которых отмечены в последней матрице). Тогда базисными неизвестными будут x1 , x4 , остальные — свободными. Как и раньше, выпишем систему, соответствующую последней (ступенчатой) матрице, затем свободные неизвестные

82

перенесем в правые части уравнений:
x1 −2x2 −x3 + x4 = 2,
(11x2 + 5x3	−	x4 = 10−,		(
					x1 + x4 = 2 + 2x2 + x3 ,
					−	x4	= 10	−	11x2	−	5x3 .
								−

Решая последнюю системуотносительно базисных неизвестных «снизувверх», находим общее решение неоднородной системы

			x1			−	8	9x2 4x3
			4				−	2	3
	y	=	x2		=			x2−		,	(1.6.16)
			x					x3
			x3				10 + 11x + 5x
где базисные неизвестные				выражены			через свободные, а свободные могут

принимать произвольные значения.

Из общего решения неоднородной системы легко получить частное решение этой системы. Для этого достаточно в равенстве (1.6.16) подставить вместо свободных неизвестных какие-нибудь конкретные значения, проще всего — нулевые: x2 = 0, x3 = 0. Полученное частное решение неоднородной

системы				0
z =
				8
				10
				−
				0
вычтем из общего решения (1.6.16) неоднородной						системы. По свойству1.6.4

эта разность является решением соответствующей однородной системы

								9x2 −4x3
								x2		(1.6.17)
x = y z =
						−			.
								x3
			−
							11x2 + 5x3

В этом решении базисные неизвестные x1 , x4 выражены через свободные x2 , x3 , которые принимают произвольные значения. Следовательно, равенство(1.6.17) представляет общее решение однородной системы, соответствующей данной неоднородной. Как и при решении предыдущего примера, найдем фундаментальную систему решений однородной системы, подставляя в (1.6.17) поочередно значения свободных неизвестных: x2 = 1, x3 = 0 и

x2 = 0, x3 = 1,					−9							−4
e1			=		11		,	e2		=		5
					1							0	.
					0							1

83

Используя найденную фундаментальную систему решений, общее решение неоднородной системы можно записать в виде (1.6.15)

										8					−9				−4
y = z + x2 e1 + x3 e2								=			10		+ x2		11		+ x3		5		,
										0					1				0
										−
															0				1
										0

где свободные неизвестные играют роль произвольных постоянных.

84

Глава 2.

Векторная алгебра

§2.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами

Величины для задания которых достаточно указать их числовые значения, называются скалярными величинами, или просто скалярами. Примеры скалярных величин: длина отрезка, угол, площадь, объем, время, работа, масса, температура и т. д. Простейшие скалярные величины — отвлеченные (т. е. не имеющие размерности) числа.

Наряду со скалярами существуют и другие величины, для полной характеристики которых недостаточно задания их числовых значений. Например, для характеристики действия силы мало знать ее величину — надо знать направление, в котором эта сила действует. Такие величины, как скорость, ускорение, сила, напряженность электромагнитного поля и т. д., требующие для своего задания не только числового значения, но и направления, называются векторными величинами, или векторами.

Для наглядного изображения векторов используют геометрические векторы — прямолинейные отрезки, имеющие не только определенную длину, но и определенное направление.

Вектором будем называть направленный отрезок.

Вектор полностью характеризуется заданием:

a)своей начальной точки (точки приложения вектора);

b)направления;

c)длины.

Векторы обозначаются буквами или со стрелкой, или с чертой, или вы-

делением жирным шрифтом: ~ , , , . Так как вектор — это направленный

F s¯ P v

отрезок, то его иногда удобнее обозначать двумя буквами с чертой (или

85

−→ −→

стрелкой) вверху: AB, AB, BA и т. д., при этом первая буква обозначает начало вектора, а вторая — конец.

Длиной вектора AB называется расстояние между его начальной и конечной точками. Длину вектора, которую чаще называют модулем вектора, обозначают |AB|, |a| и т. д. В физике принято модуль вектора обозначать той же буквой, что и вектор, но без черты (стрелки) сверху: если~v — скорость, то v — величина скорости.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или

на параллельных прямых.
		Коллинеарные векторы могут иметь
		или одинаковое (например, векторы a и
a	b	cна рис. 2.1) или противоположное (на-

cпример, векторы a и b на рис. 2.1) направления. Коллинеарность векторов a и b бу-

Рис. 2.1 дем обозначать a k b. Введем важное понятие равенства векторов.

Определение 2.1.1. Два вектора считаются равными (a = b), если они удовлетворяют трем условиям:

1)имеют одинаковую длину;

2)коллинеарны;

3)имеют одинаковое направление.

Из этого определения следует, что положение точки приложения вектора не имеет значения, т. е. при параллельном переносе вектор не меняется. Поэтому всегда можно переместить данные векторы так, чтобы они были приложены к одной точке. Заметим, что такие векторы, определяемые только своей длиной и направлением, называют свободными.

Понятие свободного вектора не является единственно возможным. Например, в физике твердого тела действующую силу можно перенести в любую другую точку, но на той же прямой. И только в этом случае эффект действия силы не изменится. Следовательно, нельзя считать равными векторы, расположенные на параллельных прямых, даже если они имеют одинаковые длину и направление. Такие векторы называются скользящими.

Наконец, в электродинамике вектор напряженности поля зависит от точки приложения. Если векторы электромагнитного поля перенести в другие точки, даже с сохранением направления и длины, то получится поле с иными физическими характеристиками. Такие векторы называются связанными.

Итак, мы рассматриваем только свободные векторы. Но это не умаляет ценностей излагаемой теории, так как и связанные, и скользящие векторы

86

можно выразить через свободные векторы.

2.1.1. Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называют операцию сложения векторов, операцию вычитания векторов и операцию умножения векторов на действительные числа.

Определение 2.1.2. Суммой двух векторов a и b, называется вектор c, идущий из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a.

Обозначается сумма c = a + b (рис 2.2).

B C

b + a

b

b

b + a

a			a
	O			A
Рис. 2.2			Рис. 2.3

Это определение называют «правилом треугольника» сложения векторов. Если векторы a и b коллинеарны, то, хотя треугольника и нет, определение 2.1.2 применимо.

Если дополнить треугольник OAC (рис. 2.3) до параллелограмма OABC, то получим — ведь противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны — «правило параллелограмма» сложения векторов: чтобы сложить два вектора a и b, приводим их к общему началу O, строим на них параллелограмм. Его диагональ, выходящая из той же вершины O, является

суммой двух данных векторов.
	a3			Если нужно сложить более двух век-
	a2			торов, то, обобщая «правило треуголь-
	a4	a5		ника», получаем «правило многоугольни-
	a1			ка»: чтобы построить сумму любого числа
				векторов, надо из конца первого вектора
				построить второй вектор, из конца второ-
	c = a1 + a2 + a3 + a4 + a5			го — третий и т. д. Вектор, связывающий
	Рис. 2.4			начало первого вектора с концом

последнего (т. е. замыкающий вектор), и будет суммой всех данных векторов (рис. 2.4).

Если конец последнего вектора совпадает с началом первого, то это означает, что вектор — сумма имеет длину, равную нулю. Такой вектор

называется нулевым вектором (нуль-вектором) и обозначается	~	или	¯
	0		0,

87

или 0, или просто 0 (без черты, стрелки). Очевидно, нулевой вектор — это вектор, модуль которого равен нулю (начало вектора совпадает с его концом). Очевидно, что нулевой вектор не имеет направления, а поэтому его можно считать коллинеарным любому вектору.

Если два вектора имеют одинаковую длину, но противоположное направление, то их сумма равна нулю. Такие векторы называются противоположными. Очевидно, для любого вектора a найдется противоположный ему вектор −a и выполняется равенство a + (−a) = 0.

Сложение векторов подчиняется основным законам сложения чисел:

1)a + b = b + a — закон коммутативности;

2)(a + b) + c = a + (b + c) — закон ассоциативности;

3)a + 0 = a;

4)a + (−a) = 0.

Первое свойство следует из «правила параллелограмма» сложения двух векторов и свойств параллелограмма — противоположные его стороны рав-

ны и параллельны.

B

Для доказательства второго свойства

A

b

приложим вектор b к концу вектора a и

c

вектор c к концу вектора b (рис. 2.5). Тогда

a

b

+

(a + b) + c = (OA + AB) + BC = OB + BC

c

b

+

= OC. С другой стороны, a + (b + c) =

a

+

) =

+

= =

,

=

OA

+ (

AB

BC

OA

AC

OC

C

O

a + b + c

что и доказывает свойство 2).

Рис. 2.5

Вычитание векторов определяется как операция, обратная сложению. Именно

Определение 2.1.3. Разностью a − b двух векторов a и b называется такой вектор c, который в сумме с вектором b даёт вектор a.

		c =
	Из этого определения и из «правила тре-	a −b
	угольника» сложения векторов вытекает
	правило построения вектора c = a − b:	a
	чтобы построить вектор c = a − b, надо
	привести к общему началу векторы a и b,	b
	тогда a −b — это вектор, идущий из конца
	вектора b в конец вектора a (т. е. вектор
	разности направлен в сторону того векто-
	ра, из которого вычитали)(рис. 2.6).

Рис. 2.6

Ясно, что вычесть из вектора a вектор b, значит прибавить к первому a вектор −b противоположный второму: a −b = a + (−b).

88

Геометрически операция умножения вектора на число означает, что вектор a растягивается в λ раз, если λ > 1, сжимается в λ раз, если 0 < λ < 1, а при отрицательном λ происходит еще изменение направления вектора на противоположное (рис. 2.8).

	Если использовать «правило паралле-
	лограмма» сложения двух векторов,то по-	c =
	лучим: вектор c = a −b — это диагональ	a	−b
		b
	параллелограмма, построенного на век-
	торах a и b, приведенных к общему началу
	и направленная в сторону уменьшаемого	a
	вектора a (рис. 2.7).	Рис. 2.7

Определение 2.1.4. Произведением λ ·a действительного числа λ на вектор a называется вектор, коллинеарный вектору a, имеющий длину, равную |λ||a|, и направление, совпадающее с направлением a, если λ > 0 и ему противоположное, если λ < 0.

-2a

2a

-a

a/2

a

Рис. 2.8

Если мы любой ненулевой вектор a разделим на его длину |a|, то получим вектор a0 ,который будет совпадать по направлению с вектором a, но его длина будет равна единице. Такой вектор a0 называется ортом вектора a.

Легко проверяются следующие свойства операции умножения вектора на число.

1)λ(a + b) = λa + λb — дистрибутивность относительно суммы векто-

ров;

2)(λ + µ)a = λa + µa — дистрибутивность относительно суммы чисел;

3)λ(µa) = (λµ)a — ассоциативность числовых сомножителей;

4)1 ·a = a.

Для доказательства свойства 1) следует использовать подобие треугольников, построенных на векторах a, b и λa, λb, а для доказательства свойств 2) и 3) рассмотреть все возможные знаки чисел λ и µ. Предлагаем читателю самостоятельно провести подробные доказательства.

Свойства операций сложения векторов и умножения вектора на число важны, так как позволяют делать преобразования в векторной алгебре по тем же правилам , по которым производятся аналогичные преобразования в обычной алгебре .

ПРИМЕР 2.1.1. Длина вектора m равна единице, длина вектора n равна двум и эти векторы перпендикулярны. Построить векторы, совпадающие

89

с диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a = 2m + n и
b = m −n.
РЕШЕНИЕ. Диагонали параллелограмма совпадают с векторами d1 = a + b
и d2 = a −b (рис. 2.3 и 2.7). Используя свойства
линейных операций, можно избежать по-
строения векторов a и b по указанным	3m	d1
векторам m и n.			d2
Имеем, d1 = a + b = (2m + n) + (m −	m
2n) = (2m + m) + (n −2n) = 3m −n. Ана-		n	3n
логично d2 = m + 3n.		Рис. 2.9
В заключение данного раздела получим важный во многих приложе-
ниях критерий коллинеарности двух векторов. Из определения операции
умножения вектора на число следует, что если a = λb, то векторы a и b
коллинеарны. Справедливо и обратное: если a k b и b 6= 0, то найдется чис-
ло λ такое, что a = λb. В самом деле, приложим векторы a и b к общему
началу O. Тогда эти векторы расположатся на одной прямой. Возможны два
случая: 1) векторы a и b направлены в одну сторону; 2) они направлены в
противоположные стороны.
Очевидно, в первом случае точка B де-	b		a
лит отрезок OA в некотором отношении λ:	O	B		A
OA = λ. Отсюда OA = λOB, т. е. OA = λOB.		a	b
OB
Во втором случае рассуждения аналогич-	A		O	B
ны.
		Рис. 2.10
Итак, ненулевые векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда
существует число λ такое, что a = λb.
Заметим, что если a = 0, то равенство 0 = 0b выполняется для любого
вектора b и, следовательно, нулевой вектор можно считать коллинеарным
любому вектору.
Рассмотрим несколько примеров.

ПРИМЕР 2.1.2. В параллелограмме ABCD обозначены AB = a и AD = b. Выразить через a и b векторы MA, MB, MC и MD, где M — точка пересечения диагоналей параллелограмма (рис. 2.11).

РЕШЕНИЕ. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Значит (рис. 2.11), MC = 1/2AC = 1/2(a + b); MA = −MC = −1/2(a + b); MD = −MB = −(a −b)/2 = (b −a)/2.

ПРИМЕР 2.1.3. Каким условием должны быть связаны векторы a и b, чтобы вектор a + b делил угол между ними пополам?

90