Высшая_математика_Том1

функции будем вводить в зависимости от порядка матрицы (и определителя). Начнем с определителей низших порядков.

Определителем первого порядка называется число, совпадающее с единственным элементом определителя:

det A = det(a11 ) = |a11 | = a11 .

(1.2.9)

Здесь || — символ определителя, но не знак абсолютной величины.

Определителем второго порядка называется число, вычисляемое через элементы соответствующей матрицы по формуле

det A = det	a11		a12	=			a11				a12			= a11 a22 −a21 a12 . (1.2.10)
	a21		a22				a21				a22
Примеры.
			det		1		2	=				1		2	= 1
det(−3) = −3;					3		4					3		4			·4 −3			·2 = −2;
det	1		0	=		1			0					(			3		0 =		5.
			5			3			5		= 1				5)	−		·		−
3		−						−						· −

Определители, так же как и матрицы, широко используются в мате-

матике и ее приложениях. В качестве примера рассмотрим опять систему линейных уравнений:

a11 x + a12 y = b1 ,
(a21 x + a22 y = b2 .	(1.2.11)

Действуя точно так же, как при решении системы (1.0.1), умножим первое уравнение нашей системы на a22 , второе — на −a12 и сложим полученные уравнения. Тогда получим

a11 a22 x −a21 a12 x = b1 a22 −b2 a12 ,
откуда (если a11 a22 −a21 a12 6= 0) находим x
x =	b1 a22	−b2 a12	.	(1.2.12)
	a11 a22	−a21 a12

Аналогично находим y, умножая первое уравнение системы (1.2.11) на −a21 , а второе — на a11 и складывая полученные уравнения,

y =	b2 a11	−b1 a21	.	(1.2.13)
a11 a22		−a21 a12

Можно заметить, что в правых частях равенств (1.2.12)–(1.2.13) в числителях и знаменателях стоят выражения, напоминающие определители некоторых матриц. А именно, обозначим через определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы (1.2.11),

		a11	a12
=		a21	a22		= a11 ·a22 −a21 ·a12 ,

41

42

а через 1 и 2 — определители, полученные из заменой первого столбца (или второго столбца соответственно) столбцом из свободных членов системы (1.2.11),

1

=

b1

a12

= b1 ·a22 −b2 ·a12 ;

b2

a22

=

a11

b1

= a11

b2

a21

b1 .

2

a21

b2

·

−

·

Тогда решение системы (1.2.11) (если			= 0), представленное равенствами
			6
(1.2.12)–1.2.13, можно записать в виде
x =	1	,	y =	2	.	(1.2.14)

Эти формулы, позволяющие сразу вычислять решение системы (1.2.11) в случае если определитель отличен от нуля, называются формулами Крамера. Их лаконичность и простота очевидны.

Прежде чем дать общее определение детерминанта (определителя) порядка n, введем определитель третьего порядка.

Определителем третьего порядка называется число, которое ставится в соответствие матрице третьего порядка с помощью следующего равенства:

a11

a12

a13

a11

a12

a13

det A = det a21

a22

a23

=

a21

a22

a23

=

a31

a32

a33

a31

a32

a33

= a11

a22

a23

a12

a21

a23

+ a13

a21

a22

.

(1.2.15)

a32

a33

−

a33

a31

a32

a31

Определители второго порядка

M11 =

a22

a23

,

a21

a23

a21

a22

a32

a33

M12 =

a31

a33

,

M13 =

a31

a32

называются минорами элементов a

, a

12

, a

13

исходного определителя тре-

11

порядка

тьего

.

det A =

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a

31

a

a

33

32

Они могут быть построены с помощью следующего правила: минор M эле-

i j

мента a определителя порядка n есть определитель порядка n

1, который

i j

−

получается из исходного определителя вычеркиванием той его строки и того столбца, на пересечении которых находится элемент ai j (в данном случае вычеркиванием i-й строки и j-го столбца). Тогда равенство (1.2.15) можно переписать в виде

a11

a12

a13

a

a

a

−

·

det A =

= a11 M11

a12 M12

+ a13

M13

,

a21

a22

a23

31

32

33

или еще по-другому:

a11 det A = a21

a31

a12	a13
a22	a23		= a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 ,	(1.2.16)
a32	a33

где выражения Ai j представляются через соответствующие миноры равенством

Ai j = (−1)i+ j Mi j .

(1.2.17)

Выражение Ai j называется алгебраическими дополнением элемента ai j .

ПРИМЕР 1.2.2. Вычислить определитель третьего порядка

					−0		2	6
					1		2	3
		det A =			3	−		5
						−4			.
Р	ЕШЕНИЕ	. В соответствием с	формулой (1.2.16) нужно вычислить алгеб-

раические дополнения элементов первой строки. Для этого находим последовательно:

1+1

−

4

5

a11 = 1,

M11 =

2 6

= 34,

11

−

11

= (

1)

11 =

M

A

M

= 34;

1+2

3

5

12

M12 =

−0 6

= −18,

a12 = −2,

A

= (

−

1)

−

M12 =

M12 = 18;

3

−

4

a13 = 3,

M12 =

−0

2

= 6,

A13 = (−1)1+3 M13 = M13 = 6.

Теперь det A вычисляем по формуле (1.2.16):

det A = 1 ·34 + (−2) ·18 + 3 ·6 = 16.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.2.2. Если раскрыть определители второго порядка в правой части формулы (1.2.15) и объединить члены, входящие со знаками (+) и

(−), то получим соотношение											−
	a		a	a
	a11		a12	a13
det A =	a21		a22	a23		= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13
		31	32		33		−	−	−
								a31 a22 a13 a21a12 a33		a32 a23 a11 . (1.2.18)

43

Отметим, что здесь шесть слагаемых и в каждом из них берется произведение элементов из разных строк и столбцов. Нетрудно убедиться, что в сумме присутствуют все такие комбинации. Отсюда, в частности, следует, что если в определителе какая-либо строка состоит из нулей, то такой определитель равен нулю.

Для вычисления определителей 3-го порядка с помощью последней формулы можно сформулировать следующее правило вычисления — правило треугольника: определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов, соединенных в треугольники на нижеследующем рисунке, взятых со знаками (+) и (−) соответственно.

e

e

e

e

e

e

A

=

e

e

e

e

e

e

| |

e

e

e

e

e

e

Рис. 1.1. Правило треугольника.

Более точно, первые три произведения берутся с теми знаками, которые получились в результате перемножения чисел, а в последних трех — знаки этих произведений следует сменить.

ПРИМЕР 1.2.3. Вычислим определитель третьего порядка из предыдущего примера с помощью правила треугольника.

РЕШЕНИЕ.							−4					= 1					6 + (		3) (	2) 3 + 0 ( 2) 5
det A =						3				5					4
						1			2	3
							−
					−0				2	6					· ·			− · − ·			· − · −
−		·				(		) (				·		−		· − ·					−		−
	0		4	·		− −	3		· −				6		1				5 = 24	+ 18 + 0		0		36 + 10	= 16.
				3						2)							( 2)

Введем теперь определитель порядка n методом математической индукции. Напомним, что метод математической индукции (доказательства или определения) состоит из двух шагов: во-первых, устанавливается справедливость доказываемого утверждения при n = 1; во-вторых, доказывается его справедливость при n = k + 1 в предположении, что оно выполняется при n = k. Отсюда вытекает справедливость утверждения при всех натуральных n.

44

Определение 1.2.1. 1) Если A = (a11 ) — квадратная матрица первого порядка, то полагаем det A = a11 .

2) Предположим, что введен определитель порядка n −1. Определителем порядка n, соответствующим матрице A = (ai j )n×n, назовем число, вычисляемое по формуле

a11

a12

···

a1n

det A =

a21

a22

a2n

= a

A

11

+ a

12

A

12

+ . . . + a

A

1n

, (1.2.19)

. . . . . . . . . . .···. . . . . . .

11

·

·

1n

·

an1

an2

ann

где

A

···

дополнение

элемента a

i j

.

i j —

алгебраическое

Применив это определение для вычисления определителей второго и третьего порядка, получим введенные ранее формулы (1.2.10)–(1.2.15). Равенство (1.2.19) называется разложением определителя det A по первой строке.

ПРИМЕР 1.2.4. Показать, что определитель треугольного вида равен про-

изведению элементов главной диагонали:

a21

a22

0

···

0

det A =

a11

0

0

···

0

= a a

a

a .

(1.2.20)

a

a

a

0

. . . . . . . . . . . . . . . .···. . . . . . .

···

31

32

33

11

22 33

nn

Р

.

···

an1

an2

an3

ann

ЕШЕНИЕ Воспользовавшись

формулой

(1.2.19), разложим данный опре-

делитель по первой строке:

det A = a11 ·A11 + 0 ·A12 + . . . + 0 ·A1n = a11 A11 .

Заметим, что алгебраическое дополнение A11 представляет собой такой же определитель треугольного вида, как и исходный, но порядка (n −1), поэтому он в свою очередь разлагается по первой строке:

A

=

a32

a33

···

0

=

a22

0

0

11

. . . . . . . . . . .···. . . . . . .

···

·

·

·

−

an2

an3

ann

11′

+

12′

+ ... +

1′

=

11′

,

22

A

0

A

0

A

,n

1

a

22

A

= a

где символами A′1k обозначены алгебраические дополнения элементов определителя A11 . Таким образом, исходный определитель представляется в виде

														a33		0		···	0	.
det A = a	11	A	11	= a	11	a	22	A′	= a	11	a	22		a43		a44			0
								11						. . . . . . . . . . .···. . . . . . .
														an		an			ann
															3		4	···

45

Продолжая этот процесс, получим доказываемое равенство (1.2.20). Применим результат примера 1.2.4 к квадратным матрицам, у которых

все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Такие матрицы называют диагональными. Из равенства (1.2.20) следует, что определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:

		λ11		0		···	0	= λ
det Λ =		0	λ22				0				11	λ	22		λ	nn	.	(1.2.21)
		. . . . . . . . . . .···. . . . . . .												···
		0		0			λnn
						···
В частности, определитель единичной матрицы равен единице:
							···
					1	0		0
		det E =			0	1		0		= 1.
				. . . . . . .			···. . . . . .

0 0 ··· 1

1.2.3.Свойства определителей

Очевидно, определители тем проще вычислять, чем больше у них нулевых элементов. А уж диагональные и треугольные определители вообще вычисляются "в уме". Возникает естественный вопрос: нельзя ли так преобразовать определитель, чтобы при этом его величина не изменилась, но получился бы, например, треугольный определитель?

Рассмотрим свойства определителей порядка n, которые облегчают их вычисление. Для определителей второго и третьего порядков эти свойства проверяются непосредственными вычислениями (и мы их не будем проводить), а для определителей порядка n эти свойства доказываются довольно сложно и громоздко. С доказательствами этих свойств можно ознакомиться в рекомендуемой литературе. Начнем с формулировки теоремы, которая равноправие всех его строк и столбцов.

1) Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (какого-нибудь столбца) на их алгебраические дополнения:

a11

a12

···

a1n

n

n

a21

a22

a2n

det A =

= ∑ a

A

= ∑ a

A

.

(1.2.22)

. . . . . . . . . . .···. . . . . . .

k=1

ik

ik

k=1

k j

k j

an1

an2

ann

···

2) При транспонировании матрицы ее определитель не меняется, т. е.
		T	.	(1.2.23)
	det A = det A

46

ЗАМЕЧАНИЕ 1.2.3. Ввиду свойства 1.2.23, строки и столбцы определителя равноправны в том смысле, что любое утверждение, касающееся строк, остается справедливым и для столбцов определителя.

В примере 1.2.4 был вычислен определитель треугольного вида, у которого все элементы, расположенные выше главной диагонали, равнялись нулю. Свойство 1.2.23 позволяет легко вычислить определитель треугольного вида с элементами ниже главной диагонали, равными нулю:

a11

a12 ···

a1n

a11

0 ···

0

. . . . . . . . . . .···. . . . . . .

=

. . . . . . . . . . .···. . . . . . .

0

a22

a2n

a12

a22

0

=

(1.2.23)

1

2

···

···

···

0

0

ann

a n

a n

ann

= a11 a22 ann,

то есть любой определитель треугольного вида равен произведению диагональных элементов.

3) При перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак.

Пусть столбец с номером j матрицы A представлен в виде
a j = λ p + µq,	(1.2.24)

где λ и µ — некоторые числа. Тогда определитель det A можно представить в виде

det A = λ ·det Ap + µ ·det Aq,

(1.2.25)

где Ap и Aq — матрицы, полученные из A заменой j-го столбца соответственно столбцами p и q. Аналогичное свойство справедливо для строк.

Доказанные свойства 1.2.22–1.2.25 являются основными в том смысле, что все другие свойства (и даже само определение детерминанта) могут быть выведены из них в качестве следствий.

Следствие 1.2.1. Общий множитель какой-нибудь строки или столбца можно выносить за знак определителя.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО получается из свойства 1.2.25, если в нем положить

µ = 0.
В частности, для определителя второго порядка имеем:
	λa	λb						a1	b1
	a21	b21		= λa1 b2 −a2 λb1	= λ(a1 b2	−a2 b1 ) = λ		a2	b2
										.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.2.4. Иначе формулируя следствие 1.2.1, можно сказать, что умножить определитель на число λ означает умножить какую-нибудь строку (одну!) или столбец на это число. Напомним, что умножить на число λ матрицу означает умножить на это число все элементы матрицы.

47

Сравните:

=

a2

b2

, λ

a2

b2

= λa2

λb2

.

λ

a2

b2

a1

b1

λa1

λb1

a1

b1

λa1

λb1

Следствие 1.2.2. Если определитель содержит нулевую строку, то есть строку, все элементы которой равны нулю, то он равен нулю. Аналогично, определитель, содержащий нулевой столбец, равен нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО вытекает из следствия 1.2.1, если общий множитель, о котором там идет речь, равен λ = 0. Однако мы приведем еще другое доказательство, основанное на свойстве 1). Пусть строка с номером i — нулевая. Разлагая определитель по этой строке, то есть применяя первое из равенств (1.2.22), получим:

det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + . . . + a1nAin = 0 ·Ai1 + 0 ·Ai2 + . . . + 0 ·Ain = 0.

Следствие 1.2.3. Если определитель имеет две одинаковых строки (или два одинаковых столбца), то он равен нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поменяем местами одинаковые строки. Тогда, с одной стороны, определитель не изменится, с другой — по свойству 3) — он поменяет знак. Отсюда следует, что det A = −det A, что возможно лишь в случае det A = 0.

Следствие 1.2.4. Если в определителе две строки (или два столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть пропорциональны строки с номерами i и j, т. е. ai = λ ·a j . Вынесем из i-й строки определителя det A общий множитель λ. Получим: det A = λ det A′, при этом у матрицы A′ окажутся две одинаковые строки с номерами i и j. В силу следствия 1.2.3, det A′ = 0, а значит и det A = 0.

Следствие 1.2.5. Определитель не изменится, если какой-либо его столбец (или строку) заменить суммой этого столбца (строки) и любого другого столбца (строки), умноженного на любое число.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть матрица A′ получена из матрицы A заменой j-го столбца a j столбцом a′ j = a j + αai. Покажем, что det A′ = det A. Для этого воспользуемся свойством 1.2.25, применив его к матрице A′

det A′ = det A + α det A′′,

(1.2.26)

где матрица A′′ получена из матрицы A заменой столбца a j на столбец ai. Но тогда матрица A′′ имеет два одинаковые столбца: с номерами i и j. Следовательно, det A′′ = 0, и равенство det A′ = det A вытекает из (1.2.26).

48

Это свойство обычно используется в несколько иной формулировке:

определитель не изменится, если к какому-либо его столбцу (или строке) прибавить или вычесть другой (другую), умножив его предварительно на любое число. Эффективность этого приема иллюстрируется следующим примером.

ПРИМЕР 1.2.5. Вычислить определитель:
				1	3	6
				1	1	1
	det A =			1	2	3
							.
ЕШЕНИЕ	. Вместо применения	правила треугольника или разложения по
Р

строке или столбцу вычтем первую строку определителя последовательно из второй, а потом из третей. По свойству 1.2.4, определитель не изменится:

		1	3	6				0	2	5
		1	1	1				1	1	1
		1	2	3				0	1	2
det A =						=					.
	строки вторую, умноженную на 2, получим опре-
Вычитая теперь из третьей
делитель треугольного вида
	0	2	5				0	0	1
	1	1	1				1	1	1
	0	1	2				0	1	2
det A =				=						= 1.
Обращаем внимание на то, что мы получали										нули нем где попало, а

целенаправлено — ниже диагонали.

Для формулировки очередного свойства введем следующее

Определение 1.2.2. Линейной комбинацией столбцов a1 , a2 , . . . , ak од-

ного размера называется столбец a вида
a = λ1 a1 + λ2a2 + . . . + λk ak .	(1.2.27)

Аналогично определяется линейная комбинация строк.

Следствие 1.2.6. Если какой-нибудь столбец (или строка) квадратной матрицы A есть линейная комбинация других столбцов (строк) этой матрицы, то det A = 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проведем для частного случая линейной комбинации двух столбцов. В общем случае можно использовать метод математической индукции. Пусть j-й столбец матрицы A представлен в виде линейной комбинации двух других столбцов:

a j = λ1 ai + λ2 ak .

49

По свойству 1.2.25 определитель det A представим в виде:

det A = λ1 det A1 + λ2 det A2 ,

где матрицы A1 и A2 получены из A заменой j-го столбца соответственно столбцами ai и ak . Очевидно, обе эти матрицы имеют по два одинаковых столбца и их определители равны нулю в силу свойства 1.2.3. Значит, и det A = 0.

Следствие 1.2.7. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю:

n	(i 6= j).
∑ aik ·A jk = 0,		(1.2.28)
k=1
n	(i 6= j).
∑ aki ·Ak j = 0,		(1.2.29)

k=1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим определитель det A′, полученный из данного определителя det A заменой его j-й строки на i-ю. Этот определитель равен нулю, так как имеет две одинаковые строки. Разлагая его по j-й строке, получим

n
0 = det A′ = ∑ a	ik	A	jk	,	(i = j),
k=1					6

что совпадает с (1.2.28). Аналогично доказывается (1.2.29). Следствие 1.2.7 и свойство 1) можно объединить в одну теорему:

Теорема 1.2.1. Для любой квадратной матрицы A = (ai j )n×n выполняются равенства:

	n			jk =	det A,	если	i = j,
	k=1	ik	A					= δi j	det A	,	(1.2.30)
					0,	если	i 6= j,
	∑ a
	n			k j =	det A,	если	i = j,
	k=1	ki	A					= δi j	det A	,	(1.2.31)
					0,	если	i 6= j,
	∑ a

где символ δi j , называемый символом Кронекера, предназначен для краткой

записи предыдущего выражения и определяется равенством:

	δi j =	1,	если	i = j,	(1.2.32)
		0,	если	i 6= j.

Заключительное свойство сформулируем в форме теоремы, которую называют теоремой умножения определителей.

50