Высшая_математика_Том1

vср =

Глава 6.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

§ 6.1. Производная и дифференциал

6.1.1.Вычисление скорости прямолинейного движения

Процесс движения точки вдоль прямой называется прямолинейным движением точки и определяется законом движения S = ϕ(t), указывающим координату S на числовой оси в момент времени t. Согласно этому закону за каждый определенный промежуток времени t = t −t0 , отсчитываемый от момента времени t0 , точка проходит расстояние S = ϕ(t) −ϕ(t0 ) = ϕ(t + t) −ϕ(t0 ) со средней скоростью

S

t

Чем меньше временной промежуток t, тем точнее измеряется средняя скорость перемещения S за время t. Принято считать, что в процессе уменьшения интервала t мы будем получать значение средних скоростей в момент времени t0 . Таким образом, мы приходим к понятию истинной скорости в момент времени t0 , определяемой пределом

lim	ϕ(t0 +	t) −ϕ(t0)	= lim	S	= v(t0 ).
t→0		t	t→0	t

Заметим, что если этот предел не существует, то величина скорости в момент времени t0 не определена.

201

. Найти скорость в момент времени t = 1.

ПРИМЕР 6.1.1.

1. Закон движения задается зависимостью координаты x от времени t x = gt2

2

(t + t)2

t2

g t2

Имеем x = x(t +

t) −x(t) = g

−g

= gt

t +

,

2

2

2

( ) = t→0

x

=

t→0

+

t

=

.

t

2

v t

lim

lim

gt

g

gt

При t = 1 получаем v(1) = g.

2. Закон движения задается зависимостью

1 x(t) = (t −t0 ) sin t −t0

Найти скорость в момент времени t = t0

Вначале заметим, что функция x(t) при t = t0 имеет устранимый разрыв и становится непрерывной, если ее доопределить значением x(t0 ) = 0 (см. устранимый разрыв в п 5.3.7). Учитывая это, находим

x = x(t0 +	t) −x(t0) =		t ·sin		1	.
					t
Поэтому предел
lim	x	= lim sin	1
			t
t→0	t t→0

не существует (см. пример 5.3.5).

Таким образом, точка, выполняющая прямолинейное движение по заданному закону x(t) в момент времени t = t0 истинной скорости не имеет.

6.1.2. Понятие производной

Представление о процессах, происходящих в окружающем мире, связано с понятием скорости изменения тех или иных величин. Мы рассмотрели простейший процесс — прямолинейное движение точки. В других процессах указан закон y = f (x) изменения величины y в зависимости от аргумента x и понятие «скорости» изменения y относительно x приводит к вычислению предела отношения приращения функции f = f (x + x) − f (x) к приращению аргумента x.

Определение 6.1.1 (производной). Если существует предел отношения приращения функции f (x) в точке x к приращению независимого аргумента x, то он называется производной функции f (x) по переменной x и обозначается f ′(x)

lim	f (x +	x)	− f (x)	= lim	f	= f ′(x).
		x
x→0				x→0	x

202

Приняты различные способы обозначения производной: f ′(x), d f , y′(x), dx

fx′ и др.

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Если f ′(x) существует во всех точках интервала (a, b), то говорят, что f (x) имеет производную f ′(x) на (a, b) или f (x) дифференцируема на

(a, b).

6.1.3.Вычисление производной основных элементарных функций y = ax + c,

y = sin x, y = loga x

1. Для ax + b находим

y = a(x +

x) + c −(ax + c) = a x,

y′ = lim

y

= lim

a

x

= a.

x→0

x

x→0

x

В частности, для постоянной функции y = C — const приращения

y = 0

при любых

x , поэтому

(C)′ = 0,

(C — const).

2. Для y = sin x приращение

y = sin(x +

x) − sin x представим в виде

x) −sin x = 2 cos x +

x

sin

x

sin(x +

. Тогда, используя первый замеча-

2

2

тельный предел, получим

sin

x

y

x

2

=

+

=

x→0

x

x→0

2

x

lim

lim cos

x

2

sin

x

x

= x→0

x

+

x→0

2

=

cos x

.

2

x

lim cos

lim

2

Таким образом,

(sin x)′

= cos x.

УПРАЖНЕНИЕ 6.1.1. Получить аналогичным образом формулу (cos x)′

=

−sin x.

3.

Для

y = loga x

преобразуем

y

= loga(x +

x) − loga x

=

203

= loga

1 +

x

. Используя второй замечательный предел, находим

x

loga 1 +

x

=

lim

y

= lim

1

x

x→0 x

x→0 x

x

x

x

1

x

1

1

lim log

1

x

e

= x

+ x

= x loga

= x ln a .

Таким образом

x→0

a

1

1

(log

x)′

=

log

e =

.

a

a

x

x ln a

В частности, для натурального логарифма при a = e

(ln x)′

=

1

.

x

6.1.4. Дифференциал функции

По теореме о необходимом и достаточном условии существования пре-

дела мы имеем два эквивалентных условия

lim

f

= f

′(x)

f

= f ′(x) + α(

x)

x→0

x

x

→ 0. Обозначим

где α(

x) — бесконечно малая функция от x при

α(

x)

x = o(

x) и напомним, что o-малое от

x обозначает свойство

o(

x)

→ 0 при

x → 0.

x

Учитывая сказанное, запишем условие существования f ′(x) в виде

f = f ′(x)

x + o(

x).

(6.1.1)

lim

o(

x)

= 0.

(6.1.2)

x→0

x

Таким образом, нами доказано следующее утверждение

Теорема 6.1.1. (о необходимом и достаточном условии дифференцируемости). Функция f (x) дифференцируема в точке x тогда и только тогда, когда ее приращение представляется в виде (6.1.1) и в этом представлении выполняется условие (6.1.2).

Обратим внимание на то, что: 1) в представлении (6.1.1) выражение f ′(x) x является линейной функцией по x в фиксированной точке x; 2) бесконечно малая функция o( x) имеет более высокий порядок малости, чем x. В силу этих двух свойств представления (6.1.1) выражение f ′(x) dx называют линейной частью приращения f . Поэтому существует другое определение дифференцируемости.

204

Определение 6.1.2 (дифференцируемости). Функция f (x) называется дифференцируемой в точке x, если ее приращение f в этой точке имеет главную линейную часть, т. е. представляется в виде

f = A(x) x + o( x), где lim	o(	x)	= 0.
x→0		x

При этом величина A(x) = f ′(x) называется производной функции f (x) в точке x, а главная линейная часть f ′(x) x называется дифференциалом и обозначается

df = f ′(x) dx.

6.1.5.Геометрический смысл производной и дифференциала

В декартовой системе координат Oxy изобразим график функции y = f (x). Две

точки M0 (x0 , f (x0 )) и M1 (x1 , f (x1 )) этого графика соединим отрезком прямой, ко-

торую назовем секущей, рис. 6.1.

y
f (x1 )		M1
	M0			y
f (x0 )
O	α	x
	x0		x1	x
	Рис. 6.1

Уравнение этой секущей ищем в виде y = kx + b. Учитывая, что угловой

коэффициент k = tg α = f , запишем уравнение секущей в виде y = f x + b. x x

Так как эта прямая проходит через точку (x0 , f (x0 )), то выполняется условие

f (x0 ) =	f			+ b,
		x0
	x
откуда находим коэффициент b = f (x0 ) −				f			. Подставляя найденное зна-
					x0
				x
чение b в искомое уравнение секущей y =				f		+ b и выполняя группировку,
получаем уравнение секущей в виде				x

					f
	y − f (x0) =					(x −x0 ).
					x
	Устремим теперь точку M1 к точке M0 . Тогда приращение
	и если существует предел
	lim	f		= f ′(x0 ),
		x
	x→x0

то одновременно выполняются два условия:

(6.1.3)

x = x −x0 → 0

(6.1.4)

205

1)секущая M1 M0 стремится при M1 → M0 занять предельное положение, которое мы назовем касательной в точке (x0 , f (x0 )) к графику функции f (x);

2)угловой коэффициент касательной в точке (x0 , f (x0 )) равен f ′(x0 ), а само уравнение касательной получается из уравнения (6.1.3) предельным переходом в правой части при x = x1 −x0 → 0 и принимает вид

y		y − f (x0) = f ′(x0 )(x −x0)				(6.1.5)
f (x0 +	x)		C	y = f (x)
			B		y − f (x0) = f ′(x0 )(x −x0 )
f (x0 )		M0	A
O		α0
		x0	x0 +	x	x
			Рис. 6.2

Вывод 1 (геометрический смысл производной). Производная f ′(x0 ) в

точке x0 есть угловой коэффициент касательной в этой точке, т. е. равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ox, (рис. 6.2)

f ′(x0 ) = k0 = tg α0 .

Вернемся к уравнению касательной (6.1.5) и заметим, что приращение зависимой переменной линейной функции, определяемой (6.1.5) и соответствующей приращению независимого аргумента x равно дифференциалу функции, вычисленному в точке касания x0 :

y = f ′(x0 ) x

(6.1.6)

Вывод 2 (геометрический смысл дифференциала). Дифференциал d f = f ′(x0 ) x, вычисленный при заданных x0 и x, равен приращению y координаты y уравнения касательной, проведенной к графику y = f (x) в

точке (x0 , f (x0 )).

На рис. 6.2 величина дифференциала d f обозначается отрезком AB. Отрезок AC равен приращению функции f , а отрезок BC представляет бесконечно малую более высокого порядка малости o( x) = BC. В этих обозначениях формула приращения функции (6.1.1) принимает вид AC = AB + BC. Геометрический смысл формулы приближенного вычисления (6.1.1) состоит в том, что мы пренебрегаем величиной отрезка BC (при достаточно малых значениях x!) и считаем, что приближенно выполняется равенство f (x0 + x) ≈ f (x0 ) + AB (рис. 6.2).

206

ЗАМЕЧАНИЕ 6.1.1. На рис. 6.1 и рис. 6.2 мы ограничились изображением случая x = x1 −x0 > 0, полагая, что существование предела (6.1.4) соответствует совпадению левого предела при x = x1 −x0 < 0 и правого предела при x > 0, когда x → 0. Может случится, что в точке x0 существуют левый

и правый пределы

lim

f

= f

′(x

−

0),

lim

f

= f ′(x

+ 0),

x

0

x

0

x

→

x0

−

→

x0 +0

x

0

f ′(x0

−

6

не равные между собой:

0) = f ′(x0 + 0). Тогда говорят, что в точ-

ке x0 существуют левая и правая производные, не равные друг другу. Это означает, что в точке x0 существуют

	y
левая касательная с угловым коэффици-
ентом k1 = = tg α1 = f ′(x0 −0) и правая			α2
касательная с угловым коэффициентом	O		α1
k2 = tg α2 = f ′(x0 + 0) (рис. 6.3).
				x
			x0
			Рис. 6.3
УПРАЖНЕНИЕ 6.1.2. Показать, что функция
sin x, при x 6 0
f (x) = ( x sin 1 , при x > 0
x

в точке x0 = 0 имеет левую производную и левую касательную и не имеет правой производной и правой касательной.

6.1.6. Непрерывность и дифференцируемость

Функция f (x), дифференцируемая в точке x0 , будет в этой точке непрерывной. Это следует из формулы для приращений (6.1.2) для дифференцируемой функции. Действительно, согласно этой формуле и свойству абсо-

лютных величин, имеем неравенство

|

f

|

6

|

f

′(x ) x

+

|

x

|

|o( x)|

=

0

||

|

| x|

= | x|

|f ′(x0 )|+ |

|( x|)|

6 | x|C,

o x

где

|

f

′(x0 ) + |o(

x)|

6 C — const.

|

|

x

|

Согласно этому неравенству для любого ε > 0 достаточно взять δ < ε ,

C

тогда будет

| x| < δ = | f | < C,

207

что означает непрерывность в точке x0 .

Обратное утверждение в общем случае не верно. Функция, непрерывная в точке x0 может в этой точке не иметь производной. Рассмотрим два примера.

ПРИМЕР 6.1.2. y = x

x0

|

=

x −x0 , при x > x0 ,

Здесь y′(x0 + 0) =

1 =

1 = y′(x0

−

0).

| −

−(x −x0 ), при x < x0 .

6 −

(

1

, при x 6= 0,

ПРИМЕР 6.1.3. y =

x sin

x

0, при x = 0.

В этом примере при x = 0 не существует ни левая, ни правая производная, хотя эта функция непрерывная в точке x = 0.

Не имеет производной при x = 0 функция f (x) из упражнения 6.1.2 предыдущего пункта. Для нее f ′(x0 −0) = cos 0 = 1, а f ′(0 + 0) не определена.

§6.2. Свойства операции дифференцирования

Множество элементарных функций определялось в п 0.6.4 вводится как результат арифметических операций ±, ×, div, а также взятия обратной функции f −1 и композиции двух и более функций f ◦g ◦. . . ◦ϕ совершаемых в начале над тремя основными функциями ax + b, sin x, loga x, а затем над уже полученными функциями. Поэтому, чтобы выполнить дифференцирование произвольной элементарной функции, надо вывести правила дифференцирования исходных основных элементарных функций и указанных выше операций. Производные трех основных элементарных функций мы вычислили в п 6.1.3. В этом параграфе мы научимся дифференцировать указанные выше три типа операций.

6.2.1.Дифференцирование арифметических операций

Теорема 6.2.1. (арифметические свойства производной). Пусть функции f (x) и g(x) дифференцируемы в точке x, тогда

a) их сумма и разность дифференцируемы в x, причем

(f (x) ±g(x))′ = f ′(x) ±g′(x);

b)их произведение дифференцируемо в точке x, причем

( f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x),

208

( f (x) ±g(x))′ = lim

вчастности (C f (x))′ = C f ′(x), если C —const;

c)их частное дифференцируемо в x, и, если g(x) 6= 0, то

(x) ′ = f (x)′g(x) − f (x)g′(x) . (x) g2 (x)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. a) используя определение производной и свойство предела суммы, запишем

f (x + x) ±g(x + x) −( f (x) ±g(x)) =

x→0	x	f			g
	= lim		±	lim		= f ′(x)	±	g′(x);
		x
	x→0			x→0	x
b) для доказательства этого свойства запишем f (x + x) = f (x) + f ,

g(x + x) = g(x) + g. Тогда, по определению производной, с учетом арифметических свойств предела, находим

( f g)′(x) = lim

f (x +

x)g(x +

x) − f (x)g(x)

=

x

x→0

= lim

( f (x) +

f )(g(x) +

g) − f (x)g(x)

=

x

x→0

f

g

f

= lim

g(x) + lim f (x)

+ lim

g =

x→0 x

x→0

x

x→0 x

= f ′(x)g(x) + f (x)g′(x) + f ′(x) lim g.

x→0

Приращение дифференцируемой функции

g является бесконечно ма-

лой функцией, см. п 6.1.6, поэтому

g → 0 при

x → 0 и мы получаем требу-

емое правило b). Правило (C f (x))′

= C f ′(x) следует отсюда, если g(x) = C —

const, так как C′ = 0;

c) вначале преобразуем отношение приращения функции f (x)/g(x) к приращению аргумента x, предварительно заметив, что из дифференцируемости g(x) в точке x следует непрерывность g(x) и то, что g(x) =6 0 влечет это свойство g(x + x) =6 0 в некоторой окрестности x, поэтому определено

частное

f (x + x)

−

f (x)

f (x) +

f

−

f (x)

f

g

g(x) − f (x)

g(x + x)

g(x)

g(x) +

g

g(x)

=

=

x

x

.

x

x

g2 (x) + g(x) g

Теперь, учитывая, что

g → 0 при

x → 0, и используя арифметические

свойства предела, заключаем, что левая часть этих равенств стремится по

определению производной к величине		f (x)		′
				, а правая часть — к величине
		g(x)
f ′g −g′ f	. Правило c), а вместе с ним и теорема 6.2.1 доказаны.
g2

209

210

Следствие 6.2.1. Пусть f (x) = C1 f1 (x) + C2 f2(x) + ...+ +Cn fn(x), где C1 ,

C2 , . . . , Cn — const и все функции f1 (x), f2 (x), . . . , fn(x) дифференцируемы,

тогда

f ′(x) = C1 f1′(x) + . . . + Cn fn′(x).

Это следует из многократного применения свойств a) и b) теоремы 6.2.1.

Следствие 6.2.2. Если f (x) = u(x)v(x)w(x) и функции u(x), v(x), w(x) дифференцируемы, то, применяя правило b) дважды, получим

((uv)w)′ = (uv)′w + uvw′ = u′vw + uv′w + uvw′.

Аналогично дифференцируется произведение большего числа сомножителей.

Следствие 6.2.3. Пусть f (x) и g(x) дифференцируемы в точке x, тогда: a) определен дифференциал их суммы и разности:

d( f ±g) = d f ±g; b) определен дифференциал их произведения d( f g) = g d f + f dg,

в частности при g = C — const d(C f ) = C d f ;

c) определен дифференциал их частного и, если g(x) 6= 0, то
g				g2
d	f		=	g d f − f dg	.

Проверка этих свойств основана на связи между дифференциалом и производной функции f (x) = f ′ dx:

a) d( f ±g) = (g ±g)′dx = f ′ dx ±g′ dx = d f ±dg;

b) d( f g) = ( f g)′dx = ( f ′ dx)g + f (g′ dx) = g d f + f dg, в частности если

g = C — const, то dg = C′ dx = 0 и мы получаем d(C f ) = C d f ;
g			g			′		g2		g2
c) d	f	=		f			dx =	( f ′ dx)g − f (g′ dx)	=	g d f − f dg	.

Теорема 6.2.1 позволяет расширить список функций, которые мы уже умеем дифференцировать. Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 6.2.1.

1. Вычислим (tg x)′.

Так как (sin x)′ = cos x, а (cos x)′ = −sin x, см. п 6.1.3, то согласно правилу

c) теоремы 6.2.1 находим

sin x

′

(

sin x

)′

cos x

sin x cos x

)′

(tg x) =

=

−

(

=

cos x

′

cos2 x

cos2 x + sin2 x

1

=

=

.

cos2 x

cos2 x