- •Математическая статистика
- •Лабораторная работа 1 Основы статистического описания
- •Упорядочение выборки
- •Построение эмпирической функции распределения и гистограммы
- •Нахождение числовых характеристик выборки
- •Пример выполнения и оформления лабораторной работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 2 Проверка статистической гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по выборке
- •Построение гистограммы и выдвижение гипотезы о распределении генеральной совокупности
- •Определение оценок параметров распределения
- •Проверка согласия теоретического и статистического распределений
- •Примеры
- •Пример выполнения и оформления лабораторной работы
- •Контрольные вопросы
- •Исходные данные для лабораторных работ 1 и 2
- •Лабораторная работа 3 Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии в случае выборки из нормальной генеральной совокупности
- •Нахождение оценок математического ожидания и дисперсии
- •Построение доверительного интервала математического ожидания
- •Построение доверительного интервала дисперсии
- •Пример выполнения и оформления лабораторной работы
- •Контрольные вопросы
- •Исходные данные для лабораторной работы 3
- •Лабораторная работа 4 Линейная регрессия
- •Построение линии регрессии
- •Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии
- •Проверка модели на адекватность
- •Заключение
- •Контрольные вопросы
- •Варианты заданий к лабораторной работе 4
- •Функция Лапласа
- •Двусторонние границы t – распределения: значения , для которых .
- •- Распределение
- •Библиографический список
Лабораторная работа 3 Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии в случае выборки из нормальной генеральной совокупности
Порядок выполнения работы
1. По данной выборке найти оценки математического ожидания и дисперсии.
2. Найти доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности .
3. Найти доверительный интервал для дисперсии, соответствующий доверительной вероятности .
4. Составить отчет, в котором привести исходный статистический материал, использованные расчетные формулы, результаты счета.
5. Ответить устно на контрольные вопросы.
Нахождение оценок математического ожидания и дисперсии
По данной выборке находим оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности:
, (1)
(2)
или , (3)
где n - объем выборки, – элементы выборки.
Построение доверительного интервала математического ожидания
Полученные на первом этапе оценки называютсяточечными и являются случайными величинами, изменяющимися от выборки к выборке. Использование точечных оценок, построенных по выборкам малого объема (n ~ 10), может привести к существенным ошибкам. Например, среднее арифметическое , как оценка математического ожидания, имеет дисперсию. При большихn дисперсия оценки мала, и реализация оценки весьма тесно концентрируется около своего математического ожидания, равного. При малых объемах выборки дисперсия оценкиможет быть большой.
В случае использования точечных оценок, построенных по выборкам малого объема, необходимо указать, с какой степенью уверенности можно говорить о том, что отклонение оценки а* от оцениваемого параметра а не превзойдет определенную величину.
По заданной вероятности (как правило, 0,9; 0,95; 0,99) определим число, такое, что, или, что то же самое,
(4)
Интервал , с вероятностьюсодержащий истинное значение оцениваемого параметра, называетсядоверительным интервалом; границы его - случайные величины. Вероятность называетсядоверительной вероятностью.
Доверительный интервал может быть несимметричным относительно оцениваемого параметра.
В случае выборки из нормальной генеральной совокупности оценка имеет
нормальное распределение с параметрами , где- параметры нормаль-
ной генеральной совокупности. Если параметр известен, то
, (5)
где - функция Лапласа. Из равенства
, (6)
используя таблицу А1, можно определить . Интервалявляется доверительным интервалом для математического ожидания, соответствующим доверительной вероятности.
Если параметр не известен, то простая замена этого параметра в формуле (5) его оценкойв случае малой выборки может привести к существенным ошибкам.
В этом случае можно воспользоваться случайной величиной , где- математическое ожидание генеральной совокупности,- оценки параметров нормальной генеральной совокупности. В курсе математической статистики доказывается, что случайная величина t в выборке из нормальной генеральной совокупности имеет распределение Стьюдента (t - распределение) с (n-1) степенями свободы, распределение, не зависящее от параметров генеральной совокупности.
Пусть число таково, что, (7)
где – заданная доверительная вероятность.
Равенство (7) означает, что с вероятностью. Последнее
неравенство эквивалентно следующему:
. (8)
Следовательно, интервал является доверительным интервалом математического ожидания, соответствующим доверительной вероятности.
Значения , зависящие оти числа степеней свободы, могут быть определены по таблице А3.