- •Математическая статистика
- •Лабораторная работа 1 Основы статистического описания
- •Упорядочение выборки
- •Построение эмпирической функции распределения и гистограммы
- •Нахождение числовых характеристик выборки
- •Пример выполнения и оформления лабораторной работы
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 2 Проверка статистической гипотезы о законе распределения генеральной совокупности по выборке
- •Построение гистограммы и выдвижение гипотезы о распределении генеральной совокупности
- •Определение оценок параметров распределения
- •Проверка согласия теоретического и статистического распределений
- •Примеры
- •Пример выполнения и оформления лабораторной работы
- •Контрольные вопросы
- •Исходные данные для лабораторных работ 1 и 2
- •Лабораторная работа 3 Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии в случае выборки из нормальной генеральной совокупности
- •Нахождение оценок математического ожидания и дисперсии
- •Построение доверительного интервала математического ожидания
- •Построение доверительного интервала дисперсии
- •Пример выполнения и оформления лабораторной работы
- •Контрольные вопросы
- •Исходные данные для лабораторной работы 3
- •Лабораторная работа 4 Линейная регрессия
- •Построение линии регрессии
- •Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии
- •Проверка модели на адекватность
- •Заключение
- •Контрольные вопросы
- •Варианты заданий к лабораторной работе 4
- •Функция Лапласа
- •Двусторонние границы t – распределения: значения , для которых .
- •- Распределение
- •Библиографический список
Построение доверительного интервала дисперсии
В курсе математической статистики доказано, что в выборке из нормальной ге-
неральной совокупности с параметрами случайная величина,
где – оценка неизвестной дисперсии, равная, имеет распределение
с n степенями свободы. Если параметр неизвестен, то в выраженииможно заменитьна его оценку; в этом случае случайная величинатакже имеет распределение, но уже с, а не сn степенями свободы.
Пусть числа выбраны таким образом, что
, (9)
где – заданная доверительная вероятность.
Равенство (9) означает, что c вероятностью . Последнее двойное неравенство эквивалентно следующему:
. (10)
Следовательно, является доверительным интервалом дисперсии, соответствующим доверительной вероятности.
Однако по заданной вероятности можно построить множество доверительных интервалов для дисперсии. Принятовыбирать так, чтобы вероятностибыли равны и равны(рис. 1).
Соответствующие значения могут быть определены по таблице А2.
Замечание. При больших объемах выборок можно воспользоваться тем, что рассмотренные оценки математического ожидания и дисперсии распределены
асимптотически нормально.
Рисунок 1. График
плотности
- распределения с
степенями свободы
x
Пример выполнения и оформления лабораторной работы
Дана выборка объемом (табл. 1) из нормальной генеральной совокупности.
Таблица 1
№ п/п |
Элементы выборки |
№ п/п |
Элементы выборки |
№ п/п |
Элементы выборки |
№ п/п |
Элементы выборки |
1 |
0,047 |
6 |
0,496 |
11 |
-1,7888 |
16 |
0,118 |
2 |
- 0,451 |
7 |
- 0,748 |
12 |
- 0,855 |
17 |
0,242 |
3 |
1,661 |
8 |
- 0,083 |
13 |
0,095 |
18 |
1,739 |
4 |
1,290 |
9 |
- 0,312 |
14 |
1,192 |
19 |
- 0,412 |
5 |
0,380 |
10 |
-1,372 |
15 |
- 0,059 |
20 |
- 0,426 |
Найдем по формулам (1) и (3) оценки математического ожидания и дисперсии, ;
; .
Так как объем выборки невелик, для построения доверительного интервала для математического ожидания воспользуемся формулой (8):
.
Доверительную вероятность положим равной 0,95, . По таблице А3 по заданным иопределим.
Доверительный интервал для математического ожидания, соответствующий доверительной вероятности :
или .
При построении доверительного интервала дисперсии положим . Тогда.определим из условия;определим из условия(рис. 1).
По таблице А2 по заданным вероятностям Р (0,01 и 0,99) и заданному числу степеней свободы находим.
Доверительный интервал дисперсии, соответствующий доверительной вероятности , определяется по формуле (10):
.