Решение

Так как конденсатор после зарядки отключили от источника напряжения, то величина заряда на его обкладках остается постоянной. Заряд конденсатора связан с его емкостью и разностью потенциалов соотношением q = CU, поэтому можно записать, что

С₁U₁ = C₂U₂ .

Здесь - емкость конденсатора с диэлектриком,

- емкость конденсатора без диэлектрика.

Тогда получается, что диэлектрическая проницаемость диэлектрика ε равна

Но диэлектрическая восприимчивость связана с диэлектрической проницаемостью соотношением κ = ε – 1, то есть κ = 2.

Известно, что поверхностная плотность связанных зарядов на диэлектрике равна проекции вектора поляризации на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика. В плоском конденсаторе вектор поляризации перпендикулярен поверхности диэлектрика, поэтому σ_св = Р.

В однородных изотропных диэлектриках вектор поляризации пропорционален напряженности поля P = κ ε₀ E.

Напряженность электрического поля в диэлектрике легко найти, так как поле плоского конденсатора является однородным: . Тогда выражение для поверхностной плотности связанных зарядов диэлектрика примет вид

.

Вычислим

Ответ: κ = 2, σ_св = 5,3·10^-6 Кл/м².

Пример 4. Определить электроемкость сферического конденсатора с радиусами обкладок R₁ = 1 см и R₂ = 5 см, который заполнен изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью, изменяющейся по закону , где а = 5 м³ – постоянная, r – расстояние от центра конденсатора.

Решение

Мысленно зарядим конденсатор. На его внутренней обкладке появится свободный заряд q, а на внешней – такой же по модулю отрицательный заряд -q (рис.2.3). По методу Гаусса рассчитаем напряженность электрического поля внутри диэлектрика. При этом теорему Гаусса следует применить для электрического смещения , чтобы не учитывать свойства диэлектрика. Проведем между обкладками гауссову поверхность в виде сферы радиусаr. Поток вектора электрического смещения через эту поверхность равен . Свободный заряд, попавший внутрь данной сферы, – это заряд внутренней обкладкиq. Используем теорему Гаусса:

D·4 π r² = q и выразим отсюда D:

.

Когда изотропный диэлектрик, полностью заполняет пространство между эквипотенциальными поверхностями (как в данном случае), то электрическое смещение связано с напряженностью поля простым соотношением: D = εε₀E. Тогда напряженность поля внутри конденсатора равна

Рис.2.3

.

Найдем теперь разность потенциалов между обкладками конденсатора:

.

Теперь, по определению, емкость конденсатора равна

.

Вычислим значение емкости:

Ответ: С = 4,67·10^-7 Ф.

Пример 5. На два последовательно соединенных конденсатора с емкостями С₁ = 100 пФ и С₂ = 200 пФ подано постоянное напряжение U = 300 В. Определить энергию, запасенную в каждом конденсаторе.